第三章

圓5確定圓的條件

【激趣導學】問題1（1）丁丁不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，丁丁應該帶哪一塊玻璃碎片去商店配制？【激趣導學】問題1（2）商店配玻璃的師傅，要配制一塊與原來大小一樣的圓形玻璃，他必須要知道什么？為什么？

（3）作圓的關鍵是什么？【目標導學】學習目標：1、經歷探索過程，了解“不在同一直線上的三個點確定一個圓”．2、會過不在同一直線上的三個點作圓．3、了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形等概念．【導思點撥】問題2我們知道經過一點可以作無數條直線，經過兩點只能作一條直線，那么，經過一點能作幾個圓？經過兩點、三點呢？動手畫一畫：（1）作圓，使它經過已知點A．你能作出幾個這樣的圓？為什么有這樣多個圓？（2）作圓，使它經過已知點A、B．你是如何做的？依據是什么？你能作出幾個這樣的圓？其圓心分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？（3）作圓，使它經過已知點A、B、C（A、B、C不在同一直線上）．你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？為什么？【導思點撥】結論：（1）以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A所連線段為半徑就可以作一個圓．由于圓心是任意的，因此這樣的圓有無數個．【導思點撥】結論：（2）經過A、B兩點的圓，其圓心到A、B兩點的距離一定相等，所以圓心應在線段AB的垂直平分線上．另一方面，線段AB的垂直平分線上的點到點A、B兩點的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任意取一點為圓心，都可以作一個經過A、B兩點的圓．因此這樣的圓也有無數個．【導思點撥】結論：（3）要作一個圓經過A、B、C三點，就要確定一個點作為圓心，使它到三點的距離相等．到A、B兩點距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到B、C兩點距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，兩直線的交點到A、B、C三點的距離相等，即所作圓的圓心，利用尺規過不在同一直線上的三點作圓的方法如下：【導思點撥】【設問尋疑】問題3根據問題2的作圖，回答問題：（1）不在同一直線上的三個點為什么只確定一個圓？（2）三角形的三個頂點確定幾個圓？【診斷反饋】問題4經過同一條直線上的三個點能不能作出一個圓？證明：（反證法）如圖，假設過同一直線l上的A、B、C三點可以作一個圓，設這個圓的圓心為P，那么點P既在線段AB的垂直平分線上，又在線段BC的垂直平分線上，即點P為與的交點，而，，這與我們以前所學的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾．所以，過同一直線上的三點不能作圓．【診斷反饋】追問：通過上面的學習，現在解決一開始提出的“配玻璃問題．帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是哪一塊？為什么？【診斷反饋】學生練習課本144頁隨堂練習．【診斷反饋】課堂小結：本節課學到那些知識？發現了什么？在運用所學的知識解決問題時應注意什么？1、概念：三角形的外接圓，三角形的外心．2、不在同一直線上的三點確定一個圓．3、會用尺規過不在同一直線上的三個點作圓．【拓展延伸】問題5某地出土一古代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復制該瓷盤確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺和圓規畫出瓷盤的圓心．【拓展延伸】布置作業：1、教科書習題3.6第1題、第2題．（必做題）2、教科書習題3.6第3題、第4題．（選做題）第三章

圓3.5確定圓的條件

知識回顧問題

構成圓的基本要素有哪些?兩個條件:圓心半徑or情景引入假如旋轉木馬真如短片所說，是中國發明的，你能將旋轉木馬破碎的圓形底座還原，以幫助考古學家畫進行深入的研究嗎？想一想：要確定一個圓必須滿足什么條件?獲取新知探索一經過一個已知點A能確定一個圓嗎?A●O1●O2●O3●O5●O4經過一個已知點能作無數個圓因為圓心不定，所以半徑也就不定，所以可以作無數個圓探索二經過兩個已知點A，B能確定一個圓嗎?AB●O1●O2●O3●O4到A和B距離相等的點，即圓心在線段AB的垂直平分線上，所以圓心和半徑均不確定

經過兩個已知點A，B能作無數個圓過不在同一直線上的三點A,B,C能不能確定一個圓?探索三假設經過A，B，C三點的⊙O存在.（1）圓心O到A，B，C三點距離

（填“相等”或”不相等”）.（2）⊙O要經過AB，則圓心應在AB的

上；

⊙O要經過AC，則圓心應在AC的

上；（3）點O的位置應在

.半徑為___________________相等垂直平分線垂直平分線AB，AC垂直平分線的交點OA或OB或OC的長度NMFEOABC過如下三點能不能作圓?為什么?ABC不能.因為圓心不存在不在同一直線上的三點確定一個圓位置關系有且只有例題講解例1

如圖①是一個殘破的圓輪，李師傅想要再澆鑄一個同樣大小的圓輪，你能想辦法幫助李師傅嗎？解：如圖②：(1)在圓輪所在的圓弧上任取三

點A，B，C，并連接AB，BC；(2)分別作AB，BC的垂直平分線DE，FG，DE，FG相交于點O；(3)以O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O就是圓輪所在的圓獲取新知經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形.CABO如圖：⊙O是△ABC的外接圓，△ABC是⊙O的內接三角形，點O是△ABC的外心.性質：三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.作圖：三角形三條邊的垂直平分線的交點.●O分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出它們的外接圓，觀察并敘述各三角形與它的外心的位置關系.ABCABCCAB┐●O●O銳角三角形：內部直角三角形：斜邊中點鈍角三角形：外部例題講解例2

如圖，將△AOB置于平面直角坐標系中，O為原點，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點D(0，3)．(1)求∠DAO的度數；(2)求點A的坐標和△AOB外接圓的面積．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；(2)∵點D的坐標是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝

，AD＝2OD＝6，∴點A的坐標是(，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD是圓的直徑，∴△AOB外接圓的面積是9π.隨堂演練1.下列命題不正確的是（）A.過一點有無數個圓.B.過兩點有無數個圓.C.弦是圓的一部分.D.過同一直線上三點不能作圓.C2.三角形的外心具有的性質是（）A.到三邊的距離相等.B.到三個頂點的距離相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形內.3.等腰三角形底邊上的高與一腰的垂直平分線的交點是（）A.重心B.垂心C.外心D.無法確定.BC4.過兩點A,B的圓有

個,這些圓的圓心都在線段AB的

上;過

_

的三點的圓有且只有一個.無數垂直平分線不在同一直線上5.如圖,△ABC的外接圓的圓心坐標為

.（6,2）6.如圖，在△ABC中，點O在邊AB上，且點O為△ABC的外心，求∠ACB的度數．解：∵點O為△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.7.小明家的房前有一塊矩形的空地,空地上有三棵樹A,B,C,如圖,小明想建一個圓形花壇,使三棵樹都在花壇的邊上.(1)請你幫小明把花壇的位置畫出來(尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,試求小明家圓形花壇的面積.解:(1)如圖所示,☉O就是花壇的位置