中考數學專題復習題型：壓軸函數大綜合

1.如圖1,拋物線y—x2+Cm-2）x-2m（/?>0）與x軸交于A、B兩點（A在B左邊）,與y軸交于點C.連

接4C、BC,。為拋物線上一動點（。在8、C兩點之間），。。交8C于E點.

（1）若△ABC的面積為8,求〃?的值；

（2）在（1）的條件下，求器的最大值；

（3）如圖2,直線y=fcv+b與拋物線交于M、N兩點（M不與A重合，M在N左邊），連作

軸于H，過點”作交y軸于點P,PH交MN于點、Q,求點Q的橫坐標.

圖1圖2

2.如圖，已知拋物線y=ox2+6x+c的圖象與*軸的一個交點為B(5,0),另一個交點A,且與y軸交于點

C(0,5).

(1)求直線BC與拋物線的解析式.

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN〃y軸交軸BC于點N,求MN的最大

值.

(3)在(2)的條件下，取得最大值時，若點尸是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以8C為邊作

平行四邊形CBPQ,設平行四邊形CBPQ的面積為51,△ABN的面積為52,且51=652,求點P的坐標.

3.在平面直角坐標系X。）■中，拋物線、=加-4or+3a的最高點的縱坐標是2.

（1）求拋物線的對稱軸及拋物線的表達式；

（2）將拋物線在之間的部分記為圖象G],將圖象Gi沿直線x=l翻折，翻折后的圖象記為G2,

圖象Gi和G2組成圖象G.過（0,、作與y軸垂直的直線/,當直線/和圖象G只有兩個公共點時，將

這兩個公共點分別記為P|Cx\,yi）,P（X2，J2），求b的取值范圍和X1+X2的值.

4.如圖，拋物線y=-^x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且0A=2,0C=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)作Rt^OBC的高。￡?,延長。。與拋物線在第一象限內交于點E,求點E的坐標；

(3)①在x軸上方的拋物線上，是否存在一點P,使四邊形0BEP是平行四邊形？若存在，求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由；

②在拋物線的對稱軸上，是否存在上點Q,使得ABEQ的周長最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存

在，請說明理由.

5.如圖，拋物線yi=x2-1交x軸的正半軸于點A,交)，軸于點3,將此拋物線向右平移4個單位得拋物線

九，兩條拋物線相交于點C.

(1)請直接寫出拋物線的解析式；

(2)若點P是x軸上一動點，且滿足求出所有滿足條件的P點坐標；

(3)在第四象限內拋物線以上，是否存在點。，使得△QOC中0C邊上的高〃有最大值？若存在，請

求出點。的坐標及力的最大值；若不存在，請說明理由.

6.如圖，拋物線y=-j^+bx+c經過點A,B,C,已知點A(-1,0),點C(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)P為線段BC上一點，過點尸作y軸的平行線，交拋物線于點。，當ABOC的面積最大時，求點尸

的坐標；

(3)設E是拋物線上的一點，在x軸上是否存在點兒使得A,C,E,尸為頂點的四邊形是平行四邊形?

若存在，求點E,F的坐標；若不存在，請說明理由.

7.在平面直角坐標系xOy中拋物線y--x1+bx+c經過點A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖1,P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點。，當ABC。的面積最大時,

求點尸的坐標；

(3)如圖2,拋物線頂點為E,EFLx軸于B點，N是線段EF上一動點,MCm,0)是x軸上一動點，

若NMNC=90。,直接寫出實數，〃的取值范圍.

8.已知，拋物線ynoAsc+b(a￥o)與直線y=2x+"有一個公共點M(1,0),且

(1)求。與〃的關系式和拋物線的頂點。坐標(用。的代數式表示)：

(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求^DMN的面積與a的關系式；

(3)。=-1時，直線y=-2r與拋物線在第二象限交于點G,點G、“關于原點對稱，現將線段G”沿

y軸向上平移f個單位(r>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求f的取值范圍.

9.如圖1,拋物線>="2+—+3交x軸于點A(-1,0)和點8(3,0).

(1)求該拋物線所對應的函數解析式;

(2)如圖2,該拋物線與y軸交于點C,頂點為F,點。(2,3)在該拋物線上.

①求四邊形ACFD的面積;

②點P是線段AB上的動點(點P不與點A、B重合)，過點P作PQLx軸交該拋物線于點Q,連接AQ、

DQ,當AA。。是直角三角形時，求出所有滿足條件的點Q的坐標.

10.如圖所示，已知拋物線y="2(afO)與一次函數的圖象相交于A(-1,-1),B(2,-4)

兩點，點P是拋物線上不與A,8重合的一個動點，點。是y軸上的一個動點.

(1)請直接寫出“，％,b的值及關于x的不等式以2V履-2的解集；

(2)當點P在直線AB上方時，請求出△PAB面積的最大值并求出此時點P的坐標；

(3)是否存在以尸，Q,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出尸，。的坐標；若不

存在，請說明理由.

11.如圖，已知拋物線y--x1+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(-2,3)兩點，與y軸交于點N,其

頂點為

(1)求拋物線及直線AC的函數關系式；

(2)若尸是拋物線上位于直線4c上方的一個動點，求AAPC的面積的最大值及此時點尸的坐標；

(3)在對稱軸上是否存在一點使AAMW的周長最小.若存在，請求出M點的坐標和△ANM周長

的最小值；若不存在，請說明理由.

備用圖

12.拋物線y=N+bx+c經過點A、8、C,已知A(-1,0),C(0,-3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,拋物線頂點為E,EFLx軸于尸點，M(%,0)是》軸上一動點，N是線段E尸上一點,

若NMNC=90。,請指出實數機的變化范圍，并說明理由.

(3)如圖2,將拋物線平移，使其頂點E與原點O重合，直線y=H+2(A>0)與拋物線相交于點P、

Q(點尸在左邊)，過點P作x軸平行線交拋物線于點凡當k發生改變時，請說明直線QH過定點，

并求定點坐標.

13.在平面直角坐標系xOy中拋物線y--x1+bx+c經過點A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖1,P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點。，當ABC。的面積最大時,

求點尸的坐標；

(3)如圖2,拋物線頂點為E,EFLx軸于B點，N是線段EF上一動點,MCm,0)是x軸上一動點，

若NMNC=90。,直接寫出實數m的取值范圍.

14.如圖，已知二次函數)，="2+加-3”經過點A(-1,0),C(0,3),與x軸交于另一點8,拋物線

的頂點為D.

(1)求此二次函數解析式；

(2)連接。C、BC、DB,求證：△BCD是直角三角形;

(3)在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

15.如圖，拋物線y=ax2+/>x+c(〃>0)的頂點為M,直線與拋物線交于點A,B,若△為等

腰直角三角形，我們把拋物線上A,B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶

形，線段AB稱為碟寬，頂點”稱為碟頂.

(1)由定義知，取AB中點N,連結MN,MN與AB的關系是.

(2)拋物線尸獷對應的準蝶形必經過B(如機)，則機=—,對應的碟寬AB是.

C7

(3)拋物線尸蘇-4〃-為(40)對應的碟寬在x軸上，且A8=6.

①求拋物線的解析式；

②在此拋物線的對稱軸上是否有這樣的點尸(物，如)，使得NAP8為銳角，若有，請求出力的取值范

圍.若沒有，請說明理由.

16.已知，拋物線卜=江+01+匕(〃#0)與直線y=2x+,”有一個公共點M(1,0),且nV4

(1)求b與〃的關系式和拋物線的頂點。坐標(用〃的代數式表示)；

(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求△OWN的面積與〃的關系式；

(3)。=-1時，直線)，=-2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、〃關于原點對稱，現將線段G4沿

y軸向上平移f個單位G>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求，的取值范圍.

17.如圖1,拋物線、=以2+法+3交X軸于點A(-1,0)和點8(3,0