解直角三角形一、選擇題1.（2016蘇州8,3分）如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60度，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°免責調整后的樓梯AC的長為A.B.C.D.答案：B2.（2016江蘇蘇州，8，3分）如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調整后的樓梯AC的長為（）A．2mB．2mC．（2﹣2）mD．（2﹣2）m【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故選B．二、填空題3．（2016，14，4分）如圖，一山坡的坡度為i=1：，小辰從山腳A出發，沿山坡向上走了200米到達點B，則小辰上升了100米．【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【分析】根據坡比的定義得到tan∠A=，∠A=30°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系求解．【解答】解：根據題意得tan∠A==，所以∠A=30°，所以BC=AB=×200=100（m）．故答案為100．4．(2016上海，17，4分)如圖3，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30%，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約▲來．(精確到1米，參考數據：≈1.73)【答案】208；5．（2016青海西寧，19，2分）如圖7，為保護門源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心處修建通往百米觀景長廊的兩條棧道，．若，，則游客中心到觀景長廊的距離的長約為米．（，） 【答案】606．（2016湖北十堰，15，3分）在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點A處用測角儀測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達B處，測得河對岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時，其他同學測得CD=10米．請根據這些數據求出河的寬度為（30+10）米．（結果保留根號）【分析】如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設CK=HB=x，根據tan30°=列出方程即可解決問題．【解答】解：如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設CK=HB=x，∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，∴∠CAK=∠ACK=45°，∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，∴HD=x﹣30+10=x﹣20，在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，∴tan30°=，∴=，解得x=30+10．∴河的寬度為（30+10）米．7.（2016新疆內高班，14，5分）如圖，測量河寬AB（假設河的兩岸平行），在C點測得∠ACB=30°，D點測得∠ADB=60°，又CD=60m，則河寬AB為30m（結果保留根號）．【分析】先根據三角形外角的性質求出∠CAD的度數，判斷出△ACD的形狀，再由銳角三角函數的定義即可求出AB的值．【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD?sin∠ADB=60×=30（m）．故答案為：30．三、解答題1．（2016四川宜賓，21，8分）如圖，CD是一高為4米的平臺，AB是與CD底部相平的一棵樹，在平臺頂C點測得樹頂A點的仰角α=30°，從平臺底部向樹的方向水平前進3米到達點E，在點E處測得樹頂A點的仰角β=60°，求樹高AB（結果保留根號）【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．【分析】作CF⊥AB于點F，設AF=x米，在直角△ACF中利用三角函數用x表示出CF的長，在直角△ABE中表示出BE的長，然后根據CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，進而求得AB的長．【解答】解：作CF⊥AB于點F，設AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，則CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，則BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，則AB=+4=（米）．答：樹高AB是米．（2016吉林長春，19，7分）如圖，為了測量長春解放紀念碑的高度AB，在與紀念碑底部B相距27米的C處，用高1.5米的測角儀DC測得紀念碑頂端A的仰角為47°，求紀念碑的高度．（結果精確到0.1米.）【參考數據：，，】解：過D作直線DE∥BC與AB交于點E，△ADE中，tan∠ADE＝tan47°＝QUOTE＝QUOTE＝1.072AE≈28.9EB＝1.5∴AB＝30.4（2016湖南婁底，22，8分）蕪湖長江大橋是中國跨度最大的公路和鐵路兩用橋梁，大橋采用低塔斜拉橋橋型（如甲圖），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30°，拉索CD與水平橋面的夾角是60°，兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索底端距離AD為20米，請求出立柱BH的長．（結果精確到0.1米，≈1.732）【分析】設DH=x米，由三角函數得出=x，得出BH=BC+CH=2+x，求出AH=BH=2+3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出結果．【解答】解：設DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH?sin60°=x，∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30°，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH，∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的長約為16.3米．22．（2016四川資陽，22，9分）如圖，“中國海監50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國海軍發現點A在點B的正西方向上，島礁C上的中國海軍發現點A在點C的南偏東30°方向上，已知點C在點B的北偏西60°方向上，且B、C兩地相距120海里．（1）求出此時點A到島礁C的距離；（2）若“中海監50”從A處沿AC方向向島礁C駛去，當到達點A′時，測得點B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“中國海監50”的航行距離．（注：結果保留根號）【分析】（1）根據題意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，進而求出答案；（2）根據題意結合已知得出當點B在A′的南偏東75°的方向上，則A′B平分∠CBA，進而得出等式求出答案．【解答】解：（1）如圖所示：延長BA，過點C作CD⊥BA延長線與點D，由題意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，則DC=60海里，故cos30°===，解得：AC=40，答：點A到島礁C的距離為40海里；（2）如圖所示：過點A′作A′N⊥BC于點N，可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，則∠2=15°，即A′B平分∠CBA，設AA′=x，則A′E=x，故CA′=2A′N=2×x=x，∵x+x=40，∴解得：x=20（﹣1），答：此時“中國海監50”的航行距離為20（﹣1）海里．24．（2016湖南湘西，24，8分）測量計算是日常生活中常見的問題，如圖，建筑物BC的屋頂有一根旗桿AB，從地面上D點處觀測旗桿頂點A的仰角為50°，觀測旗桿底部B點的仰角為45°，（可用的參考數據：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗桿的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．【分析】（1）直接利用tan50°=，進而得出AC的長，求出AB的長即可；（2）直接利用tan50°=，進而得出BC的長求出答案．【解答】解：（1）由題意可得：tan50°==≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度為4m；（2）設DC=BC=xm，根據題意可得：tan50°==≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度為25m．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確應用銳角三角函數關系是解題關鍵．22．（2016江蘇宿遷，19，6分）如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內有暗礁，一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達點B處，這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向．如果海輪繼續向正東方向航行，會有觸礁的危險嗎？試說明理由．（參考數據：≈1.73） 【分析】作PC⊥AB于C，如圖，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，設PC=x，先判斷△PBC為等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定義得到8+x=，解得x=4（+1）≈10.92，即AC≈10.92，然后比較AC與10的大小即可判斷海輪繼續向正東方向航行，是否有觸礁的危險． 【解答】解：沒有觸礁的危險．理由如下： 作PC⊥AB于C，如圖，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8， 設PC=x， 在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°， ∴△PBC為等腰直角三角形， ∴BC=PC=x， 在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=， ∴AC=，即8+x=，解得x=4（+1）≈10.92， 即AC≈10.92， ∵10.92＞10， ∴海輪繼續向正東方向航行，沒有觸礁的危險． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題：在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數．在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．19.（2016河南，19,9分）如圖，小東在教學樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為370，旗桿底部B的俯角為450，升旗時，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結束時到達旗桿頂端，則國旗應以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數據：sin370≈0.60，con370≈0.80，tan370≈0.75）解：過點C作CD⊥AB于D，則DB=9，………1分在Rt△CBD中，∠BCD=450，∴CD=BD=9………3分在Rt△ACD,∠ACD=370,∴AD=CD×tan370≈9×0.75=6.75…………6分∴AB=AD+BD6.75+9=15.75,………………7分（15.75-2.25）÷45=0.3（米/秒）答：國旗以0.3米/秒的速度勻速上升。……9分24．（2016湖南衡陽，24，10分）在某次海上軍事學習期間，我軍為確保△OBC海域內的安全，特派遣三艘軍艦分別在O、B、C處監控△OBC海域，在雷達顯示圖上，軍艦B在軍艦O的正東方向80海里處，軍艦C在軍艦B的正北方向60海里處，三艘軍艦上裝載有相同的探測雷達，雷達的有效探測范圍是半徑為r的圓形區域．（只考慮在海平面上的探測）（1）若三艘軍艦要對△OBC海域進行無盲點監控，則雷達的有效探測半徑r至少為多少海里？（2）現有一艘敵艦A從東部接近△OBC海域，在某一時刻軍艦B測得A位于北偏東60°方向上，同時軍艦C測得A位于南偏東30°方向上，求此時敵艦A離△OBC海域的最短距離為多少海里？（3）若敵艦A沿最短距離的路線以20海里/小時的速度靠近△OBC海域，我軍軍艦B沿北偏東15°的方向行進攔截，問B軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦A？【分析】（1）求出OC，由題意r≥OC，由此即可解決問題．（2）作AM⊥BC于M，求出AM即可解決問題．（3）假設B軍艦在點N處攔截到敵艦．在BM上取一點H，使得HB=HN，設MN=x，先列出方程求出x，再求出BN、AN利用不等式解決問題．【解答】解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC===100，∵OC=×100=50∴雷達的有效探測半徑r至少為50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此時敵艦A離△OBC海域的最短距離為15海里．（3）假設B軍艦在點N處攔截到敵艦．在BM上取一點H，使得HB=HN，設MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN==15（﹣），設B軍艦速度為a海里/小時，由題意≤，∴a≥20．∴B軍艦速度至少為20海里/小時．21．（2016?四川達州，21，8分）如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km．以輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km．（1）若輪船照此速度與航向航向，何時到達海岸線？（2）若輪船不改變航向，該輪船能否停靠在碼頭？請說明理由．（參考數據：≈1.4，≈1.7）【分析】（1）延長AB交海岸線l于點D，過點B作BE⊥海岸線l于點E，過點A作AF⊥l于F，首先證明△ABC是直角三角形，再證明∠BAC=30°，再求出BD的長即可角問題．（2）求出CD的長度，和CN、CM比較即可解決問題．【解答】解：（1）延長AB交海岸線l于點D，過點B作BE⊥海岸線l于點E，過點A作AF⊥l于F，如圖所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，∴∠BCA=90°，∵BC=12，AB=36×=24，∴AB=2BC，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=12，∴時間t==小時=20分鐘，∴輪船照此速度與航向航向，上午11：：00到達海岸線．（2）∵BD=BC，BE⊥CD，∴DE=EC，在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，∴BE=6，EC=6≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴輪船不改變航向，輪船可以停靠在碼頭．【點評】本題考查方向角、解直角三角形等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，由數量關系推出∠BAC=30°，屬于中考常考題型．22．（2016?四川樂山，22，10分）如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海域巡邏，上午某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75°方向以每小時10海里的速度航行，稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發到成功攔截捕魚船所用的時間．【分析】設巡邏船從出發到成功攔截所用時間為x小時，由題意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，過點A作AD⊥CB的延長線于點D，在Rt△ABD中，由三角函數得出BD、AD的長度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設巡邏船從出發到成功攔截所用時間為x小時；如圖所示，由題意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，過點A作AD⊥CB的延長線于點D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=AB?cos60°=AB=6，AD=AB?sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合題意舍去）．答：巡邏船從出發到成功攔截所用時間為2小時．【點評】本題考查了解直角三角形的應用、勾股定理、三角函數；由三角函數和勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．26．（2016?四川涼山州，26，5分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠DC=90°，AB=AD=，CD=，點P是四邊形ABCD四條邊上的一個動點，若P到BD的距離為，則滿足條件的點P有2個．【分析】首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE，即點P到BD的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF，即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長為，比較得出答案．【解答】解：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=2，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB?sin∠ABD=3?sin45°=3＞，CF=2＜，所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點2個，故答案為：2．【點評】本題考查了解直角三角形和點到直線的距離，解題的關鍵是先求出各邊上點到BD的最大距離比較得出答案．19．（2016新疆生產建設兵團，19，8分）如圖，某校數學興趣小組為測得校園里旗桿AB的高度，在操場的平地上選擇一點C，測得旗桿頂端A的仰角為30°，再向旗桿的方向前進16米，到達點D處（C、D、B三點在同一直線上），又測得旗桿頂端A的仰角為45°，請計算旗桿AB的高度（結果保留根號）【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．【專題】探究型．【分析】根據題意可以得到BD的長度，從而可以求得AB的高度．【解答】解：由題意可得，CD=16米，∵AB=CB?tan30°，AB=BD?tan45°，∴CB?tan30°=BD?tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8，∴AB=BD?tan45°=（）米，即旗桿AB的高度是（）米．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．21.（2016隨州，21，8分）某班數學興趣小組利用數學活動課時間測量位于烈山山頂的炎帝雕像高度.已知烈山坡面與水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進1620尺到達E點，在E點出測得雕像頂端A的仰角為60°.求雕像AB的高度.【答案】解：過點E作EF⊥AC于F，EG⊥CD于G.………1分在RtΔDEG中，∵DE=1620，∠D=30°∴EG=DE·sin∠D=1620×……………3分又∵BC=857.5，CF=EG∴BF=BC-CF=47.5在RtΔBEF中,∵tan∠BEF=,∴EF=RtΔAEF中，∠AEF=60°，設AB=x，∵tan∠AEF=∴AF=EF·tan∠AEF即x+47.5=（×47.5解得x=95……………7分答：雕像AB的高度為95尺………8分20．（2016四川內江，20，9分）如圖8，禁漁期間，我漁政船在A處發現正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行．我漁政船迅速沿北偏東30°方向前去攔截，經歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度(結果保留根號)．北C北CAB30°45°圖8北CAB30°45°答案圖H解：如圖，過點C作CH⊥AB于H，則△BCH是等腰直角三角形．設CH＝x，則BH＝x，AH＝CH÷30°＝x． 2分∵AB＝200，∴x＋x＝200．∴x＝＝100(－1)． 4分∴BC＝x＝100(－)． 6分∵兩船行駛4小時相遇，∴可疑船只航行的平均速度＝100(－)÷4＝45(－)． 8分答：可疑船只航行的平均速度是每小時45(－)海里． 9分22.(2016四川瀘州，22，8分）如圖，為了測量出樓房AC的高度，從距離樓底C處米的點D（點D與樓底C在同一水平面上）出發，沿斜面坡度為的斜坡DB前進30米到達點B，在點B處測得樓頂A的仰角為53°，求樓房AC的高度（參考數據：，，，計算結果用根號表示，不取近似值）.【答案】解：過點作于點，于點，則四邊形是矩形，∵斜