第三章一維射影幾何學(xué)第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)為過定點(diǎn)的直線為線束的動(dòng)直線,則由代數(shù)知識(shí),必有數(shù)使得第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月所以,點(diǎn)列上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)可表為:的形式,當(dāng)時(shí),可表為的形式.為點(diǎn)列的基點(diǎn)第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

§3.2點(diǎn)列的交比定義：設(shè)A、B、C、D為共線的四點(diǎn)，把定義為這四點(diǎn)(有向線段，而非距離）交比可由簡比求得定理1 ：設(shè)取A和B為基點(diǎn)，將這四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)順序表達(dá)為：

則按順序點(diǎn)列的交比，用符號(hào)來記第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2：設(shè)點(diǎn)列上四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為P+

推論：設(shè)點(diǎn)列四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)是則點(diǎn)列的交比與四點(diǎn)的排列的順序有關(guān)，四點(diǎn)在一直線上有4!=24種排列，故有24種交比。這24種交比不是彼此不同的，可以分為六種不同的組別，每組的值是相同的。定理3：在點(diǎn)列的交比中將某兩點(diǎn)互換，同時(shí)互換其余兩點(diǎn)，則交比值不變。定理4：只限于一對(duì)點(diǎn)之間的交換，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)槠涞箶?shù)定理5：交換中間兩點(diǎn)，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)?與原值之差則第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月由定理3~定理5可知：24個(gè)交比一般取六個(gè)不同的數(shù)值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）討論三種特殊情況：令第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月令若（1）當(dāng)

六組交比值分別為；1，1，0，

當(dāng)六組交比值分別為：（2）當(dāng)六組交比值分別為-1，-1，2，六組交比值分別為六組交比值分別為（3）第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第一種情況時(shí)則若非點(diǎn)A與B重合，四點(diǎn)中也只當(dāng)某兩點(diǎn)重合時(shí)，六個(gè)交比值才能有等于第二種情況說明C點(diǎn)分割線段AB的值與D點(diǎn)分割線段AB的值只差一個(gè)符號(hào)，一個(gè)是內(nèi)分點(diǎn)，一個(gè)是內(nèi)外分點(diǎn)定義3：當(dāng)時(shí)，則稱C，D兩點(diǎn)調(diào)和分割A(yù)，B兩點(diǎn)或者稱為A，B兩點(diǎn)所成的點(diǎn)偶與C，D兩點(diǎn)所成的點(diǎn)偶成調(diào)和共軛第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：三角形的內(nèi)角平分線與外角平分線定理6：設(shè)0為CD的中點(diǎn)，則例1：已知點(diǎn)A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一條直線上，試求在這條直線上的第四點(diǎn)D的齊次坐標(biāo)，使交比（AB，CD）=－４解:將A,B兩點(diǎn)取為基點(diǎn),C點(diǎn)表為A,B兩點(diǎn)的線性組合ABCDE∴第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)：1，4，5，6第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3線束的交比設(shè)a,b,c,d為一線束中的四直線，取a和b作為基線，把它們的齊次坐標(biāo)依次表示為（a,b既代表直線，又代表它們的坐標(biāo)向量）設(shè)以一直線S截此四線于點(diǎn)A，B，C，D，則這四點(diǎn)的坐標(biāo)順序?yàn)椋喊岩痪€束中四直線被任一直線（不通過線束中心或頂點(diǎn)O）所截四點(diǎn)的交比，稱為四直線的交比，記為（ab,cd)ABCDOab第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1：四直線的交比為定理2：四直線的交比，即線束中四直線的交比等于其相應(yīng)參數(shù)之交比。當(dāng)時(shí)，四直線為一調(diào)和線束，a和b稱為對(duì)于c,d成一對(duì)調(diào)和共軛直線，c和d對(duì)于a,b也是一對(duì)調(diào)和共軛直線。例：一個(gè)角的兩邊被它的內(nèi)角和外角平分線調(diào)和分割。四直線交比在初等幾何的意義：取直線中心O為正交笛氏坐標(biāo)原點(diǎn)，取一條不與四直線a,b,c,d任一條平行的直線作為y軸，將四直線的方程寫為（i=1,2,3,4),其中取為斜，由于截線可任意選取，取直線作為截線。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x軸于M，這四第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：若以分別表示四直線的傾角，則：OabcdABCDMxy1第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月其中表示把直線a到c的有向轉(zhuǎn)角。例1：試證一角的兩邊與其內(nèi)外角平分線的交比等于-1。證明：如圖，設(shè)角的兩邊為a,b，內(nèi)外角平分線分別為c,d.第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：已知四直線a,b,c,d的方程為求證：這四直線共點(diǎn)，并求（ab,cd)abcd第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：且這四直線共點(diǎn)，這四直線的齊次方程為：作業(yè)：10，12第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4一維射影坐標(biāo)定義1：若兩個(gè)一維基本形，的對(duì)應(yīng)參數(shù)之間滿足雙一次關(guān)系式：或把表為u的射影函數(shù)形式：稱成射影對(duì)應(yīng)，記為由定義1知，一維射影對(duì)應(yīng)具有反身性,對(duì)稱性和傳遞性。可以是：點(diǎn)列與點(diǎn)列，線束與線束，點(diǎn)列與線束。若是u的射影函數(shù)，則u為的射影函數(shù)。為u的射影函數(shù)，的射影函數(shù)，則的射影函數(shù)。第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1：兩個(gè)一維基本形成射影對(duì)應(yīng)的充要條件是對(duì)應(yīng)四元素的交比相等。證明：設(shè)兩個(gè)一維基本形為其中對(duì)應(yīng)，設(shè)由定義1可：第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月反之：設(shè)前三對(duì)對(duì)應(yīng)元素是固定的，第四對(duì)對(duì)應(yīng)元素為變動(dòng)的且交比相等，亦即：第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月令：代入上式，整理得：且設(shè)互不相等，也不相等。由定義1可知：它們成射影對(duì)應(yīng)。第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2（馮斯套特定理）如果已知兩個(gè)一維圖形中任意給定三對(duì)（各不相重）對(duì)應(yīng)元素，那么就可以決定唯一的射影對(duì)應(yīng)。證明：設(shè)兩個(gè)一維基本形的三對(duì)各不相同的對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)為為任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)。由定理1知可確定一個(gè)射影對(duì)應(yīng)T。設(shè)還存在另一個(gè)射影對(duì)應(yīng)，使所以如果已知三對(duì)各不相同的對(duì)應(yīng)元素，則可以唯一地確定一個(gè)射影對(duì)應(yīng)。第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設(shè)兩個(gè)一維基本形都是點(diǎn)列，并且所用的參數(shù)就是最常用的笛卡爾坐標(biāo)。試用齊次笛氏坐標(biāo)表示這兩個(gè)點(diǎn)列之間的射影對(duì)應(yīng)式。解：由定理1知：改寫為：代入上式得：所以兩點(diǎn)列之間的射影對(duì)應(yīng)式為：第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：圓周上的點(diǎn)和其上二定點(diǎn)相連所得的兩個(gè)線束，如果把兩線束中交于圓周上的兩直線叫對(duì)應(yīng)直線。試證這樣的對(duì)應(yīng)為射影對(duì)應(yīng)。解：設(shè)為圓周上的兩定點(diǎn)。A,B,C,D為圓周上任意四點(diǎn)。ASBCD第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：設(shè)兩點(diǎn)列同府。求一射影對(duì)應(yīng)使0，1，解：設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。由定理2可決定唯一的一個(gè)射影對(duì)應(yīng)。又由定理1得：第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月故所求的射影對(duì)應(yīng)為：作業(yè)：16，21第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

§3.5透視對(duì)應(yīng)第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1：設(shè)點(diǎn)s不在點(diǎn)列p+uq上，那么這點(diǎn)與點(diǎn)列上任意一點(diǎn)聯(lián)線，所作成的線束與點(diǎn)列成射影對(duì)應(yīng)。證明：設(shè)點(diǎn)列的基底以矢量P和q表達(dá)，動(dòng)點(diǎn)以p+uq表達(dá)（如圖1）.

p

s,q

s,(p+uq)

s=(p

s)+u(q

s)

設(shè)Pp

sq

sSqp+uqp

s+u(q

s)圖1將以知點(diǎn)S到這些點(diǎn)聯(lián)線，這些直線的坐標(biāo)分別是第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月這是射影函數(shù)所以線束的坐標(biāo)為，可見點(diǎn)列中動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為p+uq，而線束中對(duì)應(yīng)直線的坐標(biāo)為，參數(shù)間的關(guān)系為.的特例：

點(diǎn)列與線束成射影對(duì)應(yīng)第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)直線s不通過線束p+uq的中心，那么這直線截這線束所得的點(diǎn)列與線束成射影對(duì)應(yīng)。（如圖2）點(diǎn)列和線束成射影對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)線通過對(duì)應(yīng)點(diǎn)的（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)線上的），這種特殊的射影對(duì)應(yīng)稱為透視對(duì)應(yīng)。這時(shí)兩個(gè)一維幾何形式（點(diǎn)列與線束）稱為互成透視狀態(tài)或處于透視位置。定義1射影對(duì)應(yīng)的符號(hào):,透視對(duì)應(yīng)的符號(hào):定理：pp+uqqp

sp

s+u(q

s)q

ss圖2o第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例:點(diǎn)列(A,B,C,……)和線束(a,b,c,……)成透視對(duì)應(yīng)記為:(A,B,C……)(a,b,c……)如果兩個(gè)點(diǎn)列和同一個(gè)線束成透視對(duì)應(yīng),則稱兩個(gè)點(diǎn)列成透視對(duì)應(yīng)（如圖3）。定義2:幾何特征:兩點(diǎn)列中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線共點(diǎn)透視中心圖3第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3:如果兩個(gè)線束和同一點(diǎn)列成透視對(duì)應(yīng),則稱兩線束成透視對(duì)應(yīng)（如圖4）。幾何特征:兩線束中對(duì)應(yīng)線的交點(diǎn)共線兩點(diǎn)列成透視對(duì)應(yīng):(A,B,C,D……)

()兩線束成透視對(duì)應(yīng):(a,b,c,d……)(……)透視軸圖4第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2:

兩個(gè)射影點(diǎn)列成透視的充要條件是:兩點(diǎn)列的

公共點(diǎn)自對(duì)應(yīng)定理:兩個(gè)射影線束成透視的充要條件是:兩線束的公共線自對(duì)應(yīng)證明定理2:必要性:設(shè)直線l上的點(diǎn)列A,B,C,……與直線上的點(diǎn)列……成透視.透視心為s.設(shè)P為l與的交點(diǎn).這一點(diǎn)看作l上一點(diǎn),其在上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)顯然是這一點(diǎn)自身.充分性:設(shè)l與有兩射影點(diǎn)列:且l與的交點(diǎn)自對(duì)應(yīng),即P≡.下面來證明這兩點(diǎn)列實(shí)際上成透視,即是說任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線通過一定點(diǎn).(A,B,C,……)()

第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)接A,;B,所得的直線相交于S,并設(shè)S與l上任意一點(diǎn)M的聯(lián)線交于,于是交比由射影對(duì)應(yīng)的假設(shè),又有∴≡

∴任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線通過一定點(diǎn).∴l(xiāng)PCABMS第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(A,B,C,……）（）∴兩點(diǎn)列成透視定理3:對(duì)于兩個(gè)不共底且不成透視的射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列,用兩回透視對(duì)應(yīng)就可以使第一點(diǎn)列轉(zhuǎn)換為第二點(diǎn)列.換言之,這時(shí)的射影對(duì)應(yīng)是由兩回透視對(duì)應(yīng)組成的證明:設(shè)A,B,C,……是以l為底的點(diǎn)列,是以為底的點(diǎn)列（如圖5）.兩者成射影對(duì)應(yīng):聯(lián)接與第一點(diǎn)列上諸點(diǎn),得一與之成射影對(duì)應(yīng)的線束記為.同樣聯(lián)接A與第二點(diǎn)列上諸點(diǎn),得一與之成射影對(duì)應(yīng)的線束.由射影對(duì)應(yīng)的傳遞性得第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月CAB圖5abcLl第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

(A,B,C,……)()A()∴A()∴A()由兩線束成透視對(duì)應(yīng),則對(duì)應(yīng)線的交點(diǎn)

在同一直線上∴(A,B,C,……)()∵這兩線束的公共線是自對(duì)應(yīng)的第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月以和A作透視心,經(jīng)過兩回透視第一點(diǎn)列轉(zhuǎn)換成第二點(diǎn)列.定理4:設(shè)一個(gè)點(diǎn)列與一個(gè)線束成射影對(duì)應(yīng)而不成透視對(duì)應(yīng),那么用三回透視就可以彼此轉(zhuǎn)換.換言之這時(shí)的射影對(duì)應(yīng)是由三回透視組成.例1:解:證明：已知一直線l上三點(diǎn)A,B,C求作第四點(diǎn)D使交比(AB,CD)=過C點(diǎn)任作一直線,在其上任取一點(diǎn),并在其上作出一點(diǎn)使有向線段之比(若>0則與在C的同側(cè)若<0則在異側(cè)).以S表示與的交點(diǎn),過S作的平行線交AB于所求點(diǎn)D設(shè)直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為，有第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCABCSDSD第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（A,B,C,D）

（AB,CD）==例2：試證明巴卜斯定理：在平面內(nèi)直線l上有三個(gè)相異點(diǎn)A,B,C，另一直線上也有三個(gè)相異點(diǎn)，而P,Q,R分別是與,與,與的交點(diǎn)，則P,Q,R在同一直線上證明:如圖,設(shè)與交于D點(diǎn),與交于E點(diǎn),AB與交于點(diǎn)O,則第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月CBAOPRQ

由于這兩個(gè)射影對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列中有一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（）重合。DE第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

由定義可知：AD,PR,EC交于一點(diǎn)。即PR要過AD,EC的交點(diǎn)Q。P,Q,R共線第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)：P553.12、3.22、3.25第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月§

3.6對(duì)合對(duì)應(yīng)同底的兩點(diǎn)列或兩個(gè)線束，稱為重疊的兩個(gè)一維幾何形式.本形式到其自身的射影對(duì)應(yīng)，則稱為射影變換。一維基本形的射影變換一般有兩個(gè)自身對(duì)應(yīng)元素。定義2：定義1：兩個(gè)重疊的一維基本形式的射影對(duì)應(yīng)，也就是一個(gè)一維基定理1：證明：重疊而又成射影對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一維形式中，以u(píng)和表示的一對(duì)對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)，則它們之間有一個(gè)雙一次關(guān)系式：所謂自身對(duì)應(yīng)的元素。指的是這樣一個(gè)數(shù)s代表的元素：當(dāng)u等于s時(shí)，也等于s.∴數(shù)s是下式的根:第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)a=0，b+c=0，d=0時(shí)，（2）是一個(gè)恒等式。則s可以為任何數(shù)。每一個(gè)元素都是自對(duì)應(yīng)的。這時(shí)的射影變換（1）為恒同變換。（幺變換）除1外，（2）式是一個(gè)一元二次方程。有兩個(gè)根和.∴有兩個(gè)自身對(duì)應(yīng)元素當(dāng)a0時(shí)兩根之一趨于無窮大把射影變換（1）進(jìn)行分類：若自對(duì)應(yīng)元素為兩個(gè)互異的實(shí)元素，這時(shí)的射影變換叫雙曲型的。若自對(duì)應(yīng)元素為兩個(gè)重合的實(shí)元素，這時(shí)的射影變換叫拋物型的。若自對(duì)應(yīng)元素為兩個(gè)共軛復(fù)元素，這時(shí)的射影變換叫橢圓型。第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3設(shè)有集合M，使得M的任何元素都不變的變換叫M的恒等變換。例：設(shè)有兩個(gè)重疊的點(diǎn)列，以，作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，的的笛氏坐標(biāo)。先看一個(gè)平移變換：；反射變換：第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）充分性：設(shè)一維射影變換為T：一維射影變換為對(duì)合的充要條件是它有一對(duì)不同的元素交定理3：都交互對(duì)應(yīng)，則稱為對(duì)合對(duì)應(yīng)。（簡稱：對(duì)合）定義4：非恒等的一維基本形射影變換，若滿足任何一對(duì)對(duì)應(yīng)元素（1）必要性：由定義可知必要性顯然成立。互對(duì)應(yīng)。證明：是一對(duì)不同的交互對(duì)應(yīng)的參數(shù)。則T非恒等，且有：，(1)(2)第46頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）-（2）得T的表達(dá)式為：(3)（3）式中是對(duì)稱的。T為一對(duì)合。3式為對(duì)合的表達(dá)式。第47頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)是兩對(duì)不同的交互對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)。則消去a,b,c得定理3：對(duì)合由兩對(duì)不同的交互對(duì)應(yīng)元素唯一確定。證明：因?yàn)閷?duì)合對(duì)應(yīng)的表達(dá)式表面上有三個(gè)參數(shù)a,b,c.實(shí)則只有它們的兩個(gè)相互比值才是最重要的。所以兩個(gè)條件就足以確定一個(gè)對(duì)合。第48頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月推論2：在同一對(duì)應(yīng)下，三對(duì)對(duì)應(yīng)元素成為對(duì)合對(duì)應(yīng)的充要條件為：定理5：一維射影變換T為對(duì)合的充要條件是T有兩個(gè)不同的自對(duì)應(yīng)元素，且這兩個(gè)元素調(diào)和分割T的任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素。證明：設(shè)T為對(duì)合，則其表達(dá)式可為：