第一節實數的有關概念和運算負分數無理數分數0———有理數實數整數———正整數負整數———正分數———負無理數正無理數有限小數或循環小數無限不循環小數實數的概念第一章數與式1.數軸的三要素:

、

和單位長度.

2.

與數軸上的點一一對應.3.實數的相反數、倒數、絕對值:實數a的相反數為

;若a,b互為相反數,

則a+b=

;非零實數a的倒數為

(a≠0);若a,b互為倒數,則ab=

;實數a的絕對值為|a|=4.乘方:求n個

因數a的

的運算叫做乘方.

原點正方向實數-a0

1相同乘積1.科學記數法:一般形式為a×10n(

≤|a|<

,n為整數).2.近似數:一個近似數,四舍五入到哪一位,就說這個近似數精確到哪一位.1.數軸比較法:數軸上的兩個數,

邊的數總比

邊的數大.2.性質比較法:正數>0>負數.3.絕對值比較法:a<0,b<0,若|a|>|b|,則a

b.

4.根式比較法:a>b≥0?5.差值法比較:(1)a-b>0?a>b;

(2)a-b<0?a<b;

(3)a-b=0?a=b.6.求商法比較:若b>0,則(1)

>1?a>b;

(2)

<1?a<b;

(3)

=1?a=b.110右左<1.實數的運算順序是先算

、

，再算

，最后算

.如果有括號,先算

,再算

,最后算.同級運算應

.

2.零指數冪的意義:a0=

(a≠0).3.負整數指數冪的意義:a-p=

(a≠0,p為整數).4.正數的任何次冪都為

,負數的奇次冪為

,負數的偶次冪為.5.初中所涉及的三個非負數:|a|,

a2,

(a≥0).若幾個非負數的和為0,則時為0.例如:若|a|+

b2

+

=0,則a=b=c=0.乘方開方乘除加減小括號內的中括號內的大括號內的1正數負數正數按從左到右的順序第二節整式與因式分解1.代數式:代數式是用

(加、減、乘、除、乘方、開方)把

或表示

的

連接而成的式子,單獨的一個數或一個字母也是代數式.

2.代數式的值:用數值代替代數式里的

,計算后所得的結果.

3.求代數式的值主要用代入法,代入法分為直接代入、整體代入和尋找規律求值.運算符號數數字母字母1.整式單項式:只是數字與字母的____的代數式叫做單項式.單獨一個數字或字母也是單項式.多項式:幾個單項式的_____叫做多項式.積和

知識點1:代數式、代數式的值知識點2:整式的相關概念1.整式的加減:整式的加減實際上是

.

合并同類項2.單項式中的

叫做這個單項式的系數;所有字母的指數

叫做單項式的次數.

3.組成多項式的各個單項式中

叫做多項式的次數.

4.同類項:多項式中所含

相同并且

也相同的項,叫做同類項.

數字因數和次數最高的項的次數字母相同字母的指數2.整式的乘除知識點3:整式的運算3.乘法公式＝_________平方差公式:完全平方公式:___________1.am·an=

(m,n都是正整數).

2.(ab)n=

(n是正整數).

3.(am)n=

(m,n都是正整數).

4.am÷an=

(a≠0,m,n都是正整數,且m>n).1.因式分解:把一個多項式化成幾個整式

的形式,因式分解是

的逆變形.

2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=

.

(2)公式法:a2-b2=

,

a2±2ab+b2=

.

am+nanbnamnam-n積多項式乘法M（a+b+c）(a+b)(a-b)(a±b)2知識點4:冪的運算知識點5:因式分解3.因式分解的一般步驟:(1)如果多項式各項有公因式,應先提取公因式;(2)如果各項沒有公因式,可以嘗試使用公式法來分解因式;(3)檢查因式分解是否徹底,必須分解到每一個因式不能再分解為止.以上三步驟可以概括為“一提二套三檢查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆變形,它們可以用來相互檢驗其正確性.第三節分式1.形如

(A、B是整式,且B中含有

,B≠0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母.

2.分式有意義:在分式中,當

時,分式有意義;當

時,分式沒有意義.

3.分式的值為零:分式的值為零的條件是分子A=0,而分母B≠0.4.有理式:整式和分式統稱為有理式.字母分母B≠0分母B=0知識點1:分式的有關概念知識點2:分式的性質(約分、通分)1.分式的乘、除法:3.分式的加減法.4.分式的混合運算.【方法歸納】(1)分式乘法的實質是約分,能直接約分的應先約分,不能直接約分的,可先因式分解,看能否約分,然后按法則進行;(2)分式運算的結果必須是最簡分式或整式;(3)由字母的選值求分式的值時,選值既要使分式的結果有意義,又要使化簡前的原分式有意義.2.分式的乘方:————————————知識點3:分式的運算第四節數的開方二次根式知識點1:平方根、算術平方根與立方根正數a0負數a算術平方根平方根立方根知識點2:二次根式的有關概念(1)被開方數的因數是整數,因式是

;

(2)被開方數中不含有

.

整式開得盡方的因數或因式000沒有沒有1.形如(a≥0)的代數式叫做二次根式.2.最簡二次根式應滿足的兩個條件:知識點3:二次根式的性質1.雙重非負性:

0(a≥0).

2.()2=

(a≥0);=

.3.

=(a≥0,b≥0);(a

≥0,b

0).>≥a|a|知識點4:二次根式的計算1.二次根式的加減:二次根式相加減,先把各個二次根式化成

,再把

分別合并.

2.二次根式的乘法:最簡二次根式同類二次根式3.二次根式的除法:【注意】二次根式運算的結果可以是數或整式,也可以是最簡二次根式,如果二次根式的運算結果不是最簡二次根式,必須化為最簡二次根式.知識點5:二次根式的估值二次根式的估算,一般采用“夾逼法”確定其值所在范圍.具體地說,先對二次根式平方,找出與平方后所得的數

的兩個能開得盡方的整數,對其進行

,即可確定這個二次根式在哪兩個整數之間.

相鄰開方重難點突破一數、式的綜合計算題實數的運算【分析】依次將原式中負指數冪、零次冪、三角函數值、二次根式、絕對值進行化簡.再按照從左到右的運算順序進行計算.【方法歸納】實數的混合運算是由很多考點綜合而成的,第一步要化簡正確,第二步注意運算順序,第三步注意運算結果是否是最簡形式.計算分式的化簡求值【分析】先將除式的分子、分母因式分解、約分,再按照運算順序,可先算括號里面的,也可用乘法分配律計算;求值時,a取的值必須使原分式有意義.【方法歸納】解決本題分三步走:一化、二選、三代入.二次根式的運算與化簡求值第二章方程(組)與不等式(組)第一節一元一次方程與二元一次方程組知識點1:等式的性質知識點2:一元一次方程1.含有

的等式叫做方程.使方程兩邊相等的

叫做方程的解.

2.只含有一個未知數,并且未知數的次數是

,且等式兩邊都是

的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0)是一元一次方程的標準形式.

未知數未知數的值1整式3.解一元一次方程的一般步驟是:①去分母,②去括號,③

,④

,⑤

.

移項合并同類項系數化為1知識點3:一次方程(組)及解法1.二元一次方程:含有兩個未知數,并且

的次數都是一次的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解:使二元一次方程

相等的未知數的值叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程組:由兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組.4.解二元一次方程組的基本思想是

,將二元一次方程組轉化為一元一次方程.有

消元法和

消元法兩種.

未知數項左右兩邊消元加減代入【拓展】方程ax=b的解有以下三種情況:(1)當a≠0時,方程有且僅有一個解;(2)當a=0,b≠0時,方程無解;(3)當a=0,b=0時,方程有無窮多個解.知識點4:一次方程(組)的應用列一次方程(組)解應用題的一般步驟是:①審:即審清題意,分清題中的已知量和

;

②設:即設關鍵未知數;③列:即找出適當的等量關系

;

④解:即解方程(組);⑤檢:即檢查所得的值是否正確和是否

實際情況;

⑥答:即規范作答(包括單位名稱).未知量列方程(組)符合第二節分式方程知識點1:分式方程及其解法1.定義:分母中含有

的方程,叫做分式方程.

2.解分式方程的步驟:分式方程

→解整式方程→驗根→確定原方程的根.

3.分式方程的增根:去分母后整式方程的根,使分式方程分母為0的根不是

的根,叫做原分式方程的增根.

【注意】分式方程的增根與無解并非同一個概念,分式方程無解,可能是解為增根,也可能是去分母后的整式方程無解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,并且使分式方程的分母為0的根.字母整式方程原分式方程知識點2:分式方程的應用列分式方程解應用題的關鍵是分析題意、從多角度思考問題、找準

,設出未知數

、最后還要注意求出的未知數的值,不但要是所列分式方程的

,而且還要符合

.等量關系列出方程根實際意義第三節一元二次方程知識點1:一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程:只含有

個未知數,并且未知數的最高次數是

的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是

.

2.一元二次方程的解法:解一元二次方程的基本思想是

,將一元二次方程轉化為

方程來解.主要有:①直接開平方法;②

——

法;④

法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:x=

.

21ax2+bx+c=0(a≠0)降次配方公式一元一次因式分解知識點2:一元二次方程根的判別式關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2-4ac.(1)Δ>0?方程有

;

(2)Δ=0?方程有

;

(3)Δ<0?方程

.

知識點3:一元二次方程根與系數的關系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1,x2,則x1+x2=

,x1x2=

.

兩個不相等的實根兩個相等的實根沒有實數根知識點4:一元二次方程的應用步驟:①審;②設;③列;④解;⑤驗;⑥答.

【注意」列一元二次方程解應用題中，增長率(或下降率)和利潤問題是?？純热?(1)增長率等量關系:①增長率=增長量:基礎量x100%;②設a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量，則a(l+m)n=b;當m為平均下降率，n為下降次數時，則有a(l一m)n=b.(2)利潤等量關系:①利潤=售價一成本;②利潤率=利潤/成本×100%第四節一元一次不等式(組)知識點1:一元一次不等式1.不等式的基本性質:不等式的性質1:若a>b,則a±c

b±c.不等式的性質2:若a>b,c>0,則ac

bc或

不等式的性質3:若a>b,c<0,則ac

bc或

2.解一元一次不等式的一般步驟:去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.>>><<知識點2:一元一次不等式組1.一元一次不等式組的解集:一元一次不等式組中各個不等式的解集的

部分.

2.幾種常見的不等式組的解集(a<b,且a、b為常數):公共不等式組(其中a<b)圖示解集口訣同大取大同小取小大小,小大中間找

小小,大大找不到x≥bx≤aa≤x≤b空集【注意】已知一元一次不等式(組)的解集,確定其中字母的取值范圍的方法是:①逆用不等式(組)的解集確定;②分類討論確定;③從反面求解確定;④借助于數軸確定.知識點3:一元一次不等式(組)的應用1.列不等式(組)解應用題的關鍵是找題中的不等關系,將“不等關系”轉化為“不等式(組)”.2.要著重抓住題中的關鍵詞,如“大于”、“小于”、“不少于”、“不多于”、“至少”、“最多”等;還應注意題中字母所表示的量的實際意義,不合題意的答案應舍去,如人數是正整數,時間不得為負數等.重難點突破二方程(組)與不等式(組)的應用列二元一次方程(組)解應用題某縣政府打算用25000元為某鄉福利院購買每臺價格為2000元的彩電和每臺價格為1800元的冰箱,并計劃恰好全部用完此款.(1)問原計劃所購買的彩電和冰箱各多少臺?(2)由于國家出臺“家電下鄉”惠農政策,該縣政府購買的彩電和冰箱可獲得13%的財政補貼,若在不增加縣政府實際負擔的情況下,能否多購買兩臺冰箱?說說你的想法.答:原計劃買彩電8臺和冰箱5臺.【分析】(1)列二元一次方程求正整數解.(2)補貼的錢與需要拿出的錢作較.

【解】(1)設原計劃購買彩電x臺，冰箱y臺，根據題意，得2OOOx+1800y=25000，化簡得:lOx+9y=125.由于x、y均為正整數，解得(2)該批家電可獲財政補貼為25000×13%=3250(元).由于多買的冰箱也可獲得13%的財政補貼,實際負擔為總價的87%.3250÷(1-13%)≈3735.6>2×1800.∴可多買兩臺冰箱.答:能多購買兩臺冰箱.我的想法:可以拿財政補貼款3250元,再借350元,先購回兩臺冰箱,再從總價3600元冰箱的財政補貼468元中拿出350元用于還借款,這樣不會增加實際負擔.【方法歸納】本題探求二元一次方程的特殊解(正整數解).甲、乙兩所學校計劃組織本校學生自愿參加此項活動,已知甲校報名參加的學生人數多于100人,乙校報名參加的學生人數少于100人.經核算,若兩校分別組團共需花費20800元,若兩校聯合組團只需花費18000元.(1)兩所學校報名參加旅游的學生人數之和超過200人嗎?為什么?(2)兩所學校報名參加旅游的學生各有多少人?應用題中的分類思想人數m0<m≤100100<m≤200m>200收費標準(元/人)908575某旅行社擬在暑假期間面向學生推出“大別山龍井峽一日游”活動，收費標準如下:【分析】(1)人數可能大于200人,可能小于200人.(2)分甲校人數大于100人小于200人,或大于200人兩種情況.∴甲校報名參加旅游的學生有160人,乙校報名參加旅游的學生有80人.

【解】(1)超過.理由如下:設兩校人數之和為a,若兩校報名參加旅游的學生人數之和不超過200人，則a=18000÷85≈211.76.∵a不是整數，∴兩校報名人數之和超過200人.又∵報名人數之和超過200人時，有a=18000÷75=240,a為整數.∴兩校報名參加旅游的學生人數之和超過200人.

(2)設甲校報名參加旅游的學生有x人，乙校報名參加旅游的學生有y人，則:【方法歸納】這道應用題,由于題目所給條件比較隱蔽,符合題意的情況有多種,解這類應用題時要考慮周全,把各種情況下的解全求出來,這樣不至于失解,否則會造成解答不完整,犯以偏概全的錯誤.方程與不等式的綜合應用某學校將周三“陽光體育”項目定為跳繩活動,為此學校準備購置長、短兩種跳繩若干.已知長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元,且購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費用相同.(1)兩種跳繩的單價各是多少元?(2)若學校準備用不超過2000元的現金購買200條長、短跳繩,且短跳繩的條數不超過長跳繩的6倍,問學校有幾種購買方案可供選擇?【分析】(1)找兩個等量關系,列二元一次方程組求解.(2)用“不超過”建立兩個不等量關系,求不等式組的整數解.【方法歸納】方案問題通常是由不等式組的正整數解確定方案的個數.第三章函數第一節函數及其圖象知識點1:平面直角坐標系及點的坐標1.在平面內兩條

且具有公共原點的數軸組成了平面直角坐標系.在平面直角坐標系中,一對有序實數P(x,y),即為點P的坐標.

2.平面直角坐標系內點的特征點P(x,y)(1)在第一象限,x

0,y

0;在第二象限,x

0,y

0;在第三象限,x

0,y

0;在第四象限,x

0,y

0.

(2)在x軸上,

=0;在y軸上,

=0.

(3)在第一、三象限角平分線上,則

;在第二、四象限角平分線上,則

.

(4)對稱點的坐標特征:點P(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為

;點P(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為

;點P(a,b)關于原點對稱的點的坐標為

.

互相垂直>><＞<<><yxx=yx=-y(a,-b)(-a,b)(-a,-b)知識點2:函數的概念及其表示方法1.函數:在某一變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有

的值與它對應,那么稱y是x的函數,其中x是

,y是因變量.

2.函數的表示方法有:

、

、

.

知識點3:函數自變量的取值范圍唯一確定自變量解析式法列表法圖象法函數表達式的形式自變量的取值范圍整式分式_____________的實數

表達式含有二次根式______________的實數

【注意】(1)函數自變量的取值范圍必須使實際問題有意義.(2)如果函數表達式兼上述兩種以上的結構特點時,則先按上述方法分別求出它們的取值范圍,再求取值范圍的公共部分.全體實數使分母不為0被開方數≥0知識點4:函數圖象畫函數圖象的一般步驟:列表、

、

.

描點連線知識點5:分析問題判斷函數圖象1.判斷函數圖象判斷符合實際問題的函數圖象時,需遵循以下幾點:①找起點:結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍,對應到圖象中找相對應點;②找特殊點:即指交點或轉折點,說明圖象在此點處將發生變化;③判斷圖象趨勢:判斷出函數的增減性;④看是否與坐標軸相交:即此時一個量為0.以幾何圖形(動點)為背景判斷函數圖象的題目,一般的解題思路為設時間為t(或線段長為x),找因變量與t(或x)之間存在的函數關系,用含t(或x)的式子表示,再找相應的函數圖象,要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.2.分析函數圖象判斷結論正誤分清圖象的橫縱坐標代表的量及函數中自變量的取值范圍,同時也要注意:①分段函數要分段討論;②轉折點:判斷函數圖象的傾斜方向或增減性發生變化的關鍵點;③平行線:函數值隨自變量的增大而保持不變.再結合題干推導出實際問題的運動過程,從而判斷結論的正誤.第二節一次函數的圖象、性質與應用知識點1:一次函數和正比例函數概念形如

的函數是一次函數.當

時,一次函數y=kx+b就是正比例函數.

知識點2:一次函數的圖象和性質y=kx+b(k、b是常數且k≠0)b=01.一次函數y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的圖象是過點

、(-,0)的一條直線;正比例函數y=kx(k是常數,k≠0)的圖象是過點(0,0)、

的一條直線.

2.一次函數y=kx+b的性質:(1)當k

0時,y隨x的增大而增大;

(2)當k<0時,y隨x的增大而

.

(0,b)(1,k)>減小3.一次函數y=kx+b的圖象經過的象限:(1)當k>0時

(2)當k<0時b＞0，則過__________________象限b=0，則過__________________象限b＜0，則過__________________象限b＞0，則過__________________象限b=0，則過__________________象限b＜0，則過__________________象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四知識點3:函數解析式的確定:待定系數法步驟如下:(1)設出函數解析式的一般形式;(2)把已知條件代入解析式,得到關于待定系數的方程(組);(3)解方程或方程組,求出待定系數;(4)將求得的待定系數的值代回所設解析式.知識點4:一次函數與方程、不等式的關系一次函數與一元一次不等式、二元一次方程組有著必然的聯系:(1)一次函數y=kx+b與x軸交點的橫坐標?一元一次方程kx+b=0的解;一次函數y=kx+b中y>0(或y<0)對應的x的取值范圍?不等式kx+b>0(kx+b<0)的解集.(2)在同一坐標平面內有兩個一次函數y1與y2的圖象,若y1的圖象在y2圖象的上方(或下方),則y1>y2(或y1<y2);若它們交于一點,則交點坐標就是兩個解析式所組成的方程組的解.知識點5:二元一次方程與一次函數的關系1.任意一個二元一次方程都可化成y=kx+b的形式,即每個二元一次方程都對應一個

函數,也對應一條直線;

2.直線y=kx+b的每一點橫、縱坐標均為這個二元一次方程

的解.

3.二元一次方程組與一次函數的關系(1)二元一次方程組中的每個方程可看作一個一次函數解析式;(2)求二元一次方程組的解可以看作求兩個一次函數

的坐標.

【注意】一次函數y=kx+b與直線y=kx+b的聯系與區別,它們的圖象形狀都是直線,但前者k≠0,b為任意實數,后者k、b都可以為任意實數.一次y-kx=b交點知識點6:一次函數的應用步驟:(1)分析問題①借助圖表等手段分析題目中的數量關系,從而確定函數關系式;②根據函數圖象獲取信息,分析數量關系.(2)確定模型:根據所獲取的信息,建立一次函數模型.(3)解決問題:根據題中數量關系或函數模型解決問題.第三節反比例函數的圖象與性質知識點1:反比例函數的定義形如y=(

,k為常數),其中k是

,x是自變量,y是x的反比例函數.圖象的形狀是

,且關于

對稱.

知識點2:反比例函數的圖象與性質函數圖象所在象限性質Y=k/x（k≠0）k>0一、三象限(x,y同號)在每個象限內，y隨x增大而______k<0二、四象限(x,y異號)在每個象限內，y隨x增大而______k≠0常數雙曲線原點減小增大知識點3:反比例函數的應用1.反比例函數中系數的幾何意義.設P(x,y)是反比例函數y=圖象上任一點,過點P作x軸(或y軸)的垂線,垂足為A,則△OPA的面積=OA·PA=

=

.2.用待定系數法確定反比例函數.3.要善于運用數形結合思想解答與反比例函數有關的實際問題.|xy||k|重難點突破三一次函數與反比例函數的綜合運用由函數圖象求不等式解集如圖,正比例函數y1=x的圖象與反比例函數y2=(k≠0)的圖象相交于A、B兩點,點A的縱坐標為2.(1)求反比例函數的解析式;(2)求出點B的坐標,并根據函數圖象,寫出當y1>y2時,自變量x的取值范圍.【分析】(1)由點A在正比例函數y1=x圖象上求點A的坐標,再代入y2=中求得k.(2)由圖象性質得點B坐標,當y1>y2時,從兩交點處看自變量x的取值范圍,考慮全面.(2)當y1=y2時,x=.解得x=±2.∴點B的坐標為(-2,-2).或者由反比例函數、正比例函數圖象的對稱性得點B的坐標為(-2,-2).由圖象可知,當y1>y2時,自變量x的取值范圍是:-2<x<0或x>2.[解】(1)設A點的坐標為(m,2)，代入y1=x得:m=2，所以點A的坐標為(2,2).∴k=2x2=4.∴反比例函數的解析式為：y2=.【方法歸納】本題考查了待定系數法及正比例函數與反比例函數圖象的性質,在寫取值范圍時,分x>0與x<0,再結合圖象考慮全面.由函數圖象的性質求交點坐標及幾何圖形面積已知一次函數y1=x+m的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A、B兩點.已知當x>1時,y1>y2;當0<x<1時,y1<y2.(1)求一次函數的解析式;(2)已知雙曲線在第一象限內有一點C到y軸的距離為3,求△ABC的面積.【分析】(1)由圖象性質可知點A的橫坐標.再由反比例函數求點A的坐標.(2)將△ABC的面積分成兩個三角形的面積和.【解】(1)由題意得點A的橫坐標為1,代入反比例函數解析式得點A的坐標為(1,6),又∵點A在一次函數圖象上,∴一次函數的解析式為y1=x+5.(2)∵點C的橫坐標為3,∴y=2,∴點C的坐標為(3,2).過點C作CD∥x軸交直線AB于點D,則點D的坐標為(-3,2),∴CD=6.點A到CD的距離為4,∴S△ACD=×6×4=12.又聯立得點B的坐標為(-6,-1),∴點B到CD的距離為3,∴S△BCD=×6×3=9.∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12+9=21.【方法歸納】(1)由兩函數大小的自變量的范圍可知交點坐標;(2)用“割補法”求面積.反比例函數與一次函數圖象交點橫坐標與根與系數之間關系的聯系如圖，直線y=+b與y軸交于點A，與雙曲線y=在第一象限交于B,C兩點，AB?AC=4，則k=__________.【方法歸納】直線與雙曲線相交時,AB、AC的長通常用點B、點C的橫坐標表示,從而轉化為根與系數的關系.第四節二次函數的圖象與性質知識點1:二次函數的概念如果y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,

),那么y叫做x的二次函數.知識點2:二次函數的圖象和性質1.二次函數的圖象是一條

.

2.二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)通過配方可得(a,b,c為常數,a≠0),其頂點坐標為

,對稱軸為直線x=

.

a≠0拋物線3.當a>0時,拋物線開口向上,并向上無限延伸;在對稱軸的左側(即x<-)時,y隨x的增大而

;在對稱軸的右側(即x>-)時,y隨x的增大而

;當x=-時,函數有最小值y=

減小增大4.當a<0時,拋物線開口向下,并向下無限延伸;在對稱軸的左側(即x<-)時,y隨x的增大而

;在對稱軸的右側(即x>-)時,y隨x的增大而

;當x=-時,函數有最大值y=

.

增大減小【注意】二次函數中如果自變量的取值范圍為全體實數,那么最大值或最小值就是頂點縱坐標.如果自變量取值有范圍,那么二次函數的最大值或最小值由它的圖象及性質確定.知識點3:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的位置與a、b、c的關系1.a>0,開口

;a<0,開口

.|a|越大拋物線開口越小.

2.b=0,對稱軸為

.a與b同號,對稱軸在y軸左側;a與b異號,對稱軸在y軸右側.

3.c=0,圖象經過原點;c<0,與

相交;c>0,與y軸的正半軸相交.

4.b2-4ac=0,頂點在x軸上;b2-4ac>0,與x軸有

的交點;b2-4ac<0,與x軸沒有交點.

向上向下y軸y軸負半軸兩個不同知識點4:二次函數的解析式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),已知圖象上三點或三對x、y的值,通常選擇一般式.2.頂點式:y=a(x-h)2+k,已知圖象的頂點或對稱軸,通常選擇頂點式.3.交點式:y=a(x-x1)(x-x2),已知圖象與x軸的交點的橫坐標x1、x2,通常選擇交點式.1.b2-4ac>0時,拋物線y=ax2+bx+c與x軸有

個交點,方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根.

2.當b2-4ac=0時,拋物線y=ax2+bx+c與x軸有

個交點,方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實根.

3.當b2-4ac<0時,拋物線y=ax2+bx+c與x軸

交點,方程ax2+bx+c=0無實數根.21沒有知識點5:二次函數與一元二次方程的關系移動方向平移前的解析式平移后的解析式簡記向左y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右減向上y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k-m下減【注意】二次函數圖象的平移實質是頂點坐標的平移,因此只要找出原函數頂點的平移方式即可確定平移后的函數解析式.知識點6:二次函數圖象的平移(設平移m個單位)知識點7:拋物線常見的幾種變換1.繞頂點旋轉180°.變換后與變換前a的符號相反,頂點坐標不變.2.將拋物線沿x軸翻折.變換后與變換前的a符號相反,頂點關于x軸對稱.3.將拋物線沿y軸翻折,變換后與變換前的a相同,頂點關于y軸對稱.重難點突破四二次函數與一次函數的綜合運用利用拋物線軸對稱性求三角形周長最小值,利用二次函數性質求面積最大值(2013·新疆)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A,B兩點,過點A的直線l與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0),C點的坐標是(4,3).(1)求拋物線的解析式.(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最小?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.(3)若點E是拋物線上的一個動點,且位于直線AC的下方,試求△ACE的最大面積及E點的坐標.【分析】(1)把A(1,0),C(4,3)代入y=ax2+bx+3得到關于a,b的二元一次方程組,求出a,b的值,確定拋物線的解析式.(2)根據軸對稱的性質,因為點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱,所以拋物線的對稱軸與直線AC的交點就是所求的點D.(3)在直線AC的下方且在拋物線上找到一點E,設出點E的坐標為(x,x2-4x+3),列出△ACE的面積S與x的函數解析式,根據函數的性質求出△ACE的最大面積及x的值,最后確定點E的坐標.【方法歸納】(1)用待定系數法確定函數的解析式時,首先設出包含待定系數的函數解析式,根據已知條件列出關于待定系數的方程(組),通過解方程(組)求出待定系數的值,從而確定函數的解析式.(2)求一直線同側的兩線段的和的最小值問題,一般利用對稱的性質轉化為三點共線問題進行解決.(3)求實際問題中的最大值或最小值時,一般應先列出所求問題的函數解析式,再根據函數的性質進行求解.二次函數圖象與特殊四邊形及相似三角形的綜合【方法歸納】(1)存在型問題一般先假設結論成立,把結論作為已知條件參與推理計算,根據計算結果作出判斷.(2)復雜問題求解時要注意分類討論思想的運用,防止漏解.2023/9/72023/9/7【方法歸納】(1)存在型問題一般先假設結論成立,把結論作為已知條件參與推理計算,根據計算結果作出判斷.(2)復雜問題求解時要注意分類討論思想的運用,防止漏解.第四章三角形第一節角、相交線和平行線

知識點1:直線、射線、線段AC=BC=AB?點C為線段AB中點.3.兩點間的距離:連接兩點的

的

.

1.定義:具有公共

的兩條

組成的圖形.

2.角平分線角平分線上的點到角兩邊的距離

.

3.圓角、平角、直角4.兩個角的和為

,則這兩個角互為余角;兩個角的和為

,則這兩個角互為補角.

5.同角(或等角)的

角或

角相等.

有且只有線段線段長度端點射線相等直角平角補余1.性質:過兩點

一條直線;兩點之間

最短.

2.線段的中點:

知識點2:角1.對頂角、鄰補角、垂直的定義.2.同位角、內錯角、同旁內角的定義.3.垂線的性質:(1)在

內,經過一點

與已知直線垂直.

(2)垂線段最短.(3)必須強調“在同一平面內”,否則,在空間里,經過一點與已知直線垂直的垂

有無數條.4.點到直線的距離:從直線外一點到這條直線的

的長度叫做點到直線的離.“距離”是一個數量,而不是一條線段.

同一個平面有且只有一條直線垂線段知識點3:相交線、垂線及其性質1.平行公理:經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線

,必須強調過直線外一點.

2.性質與判定:兩直線平行?同位角

;兩直線平行?內錯角

;兩直線平行?同旁內角

.

3.平行于同一條直線的兩直線平行.4.兩條平行線中,一條直線上的任意一點到另一條直線的

,叫做這兩條平行線間的距離,夾在兩條平行線間的平行線段

.

平行相等相等互補距離相等知識點4:平行線1.命題、真命題、假命題、逆命題、定理、逆定理的概念.2.證明一個命題是假命題時,只要舉出

說明命題不成立就可以了.

3.反證法的含義:不是直接從

推出結論,而是從命題

出發,引出與

,從而證明命題成立.

反例題設結論的反面已知條件、定義、公理、定理相矛盾的結果知識點5:命題與證明(2)按角分類:直角三角形、

、

.

銳角三角形鈍角三角形知識點1:三角形的分類第二節三角形的基本概念及全等三角形1.分類:按邊分類不等邊三角形等腰三角形腰與底不相等腰與底相等即三邊相等(等邊三角形)2.三角形的三邊關系:三角形的任意兩邊之和

第三邊,任意兩邊之差

第三邊.判斷三條線段是否能夠成一個三角形三邊時,只需看較小兩邊的和是否大于第三邊.

3.三角形的內角和與三角形的外角和(1)三角形的內角和等于

.

(2)三角形的外角和等于

.

(3)三角形的一個外角

與它不相鄰的兩個內角之和,大于

.

求三角形內角或外角時,要明確所求的角屬于哪個三角形的內角或外角,注意題中的等量關系.大于小于180°360°等于任何一個不相鄰的內角1.三角形具有穩定性2.三角形中的重要線段:(如表)

名稱性質角平分線角平分線上的點到角

的距離相等,逆命題也成立;三角形的角平分線的交點到

的距離相等,這個交點叫三角形的

中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

三角形的中線

三角形的面積

高線高線可能在三角形內、三角形外或邊上垂直平分線三邊垂直平分線的交點到三角形各個頂點距離相等,這個交點叫三角形的

中位線三角形的中位線

于第三邊,并等于

兩邊三邊內心一半等分外心平行第三邊的一半【注意】三角形的中線、高線、角平分線都是線段而不是直線.知識點2:一般三角形的性質1.判定三角形全等的條件有

,沒有SSA,直角三角形全等的條件還有

.

2.全等三角形的對應邊

,對應角

,對應線段(對應邊上的中線,對應邊上的高,對應角的平分線)

,周長

,面積

.

SAS、ASA、AAS、SSSHL相等相等相等相等相等知識點3:三角形全等第三節等腰三角形1.定義:有

相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性質:(1)等腰三角形的兩個

相等(簡稱“等邊對

”).

(2)等腰三角形的頂角

線、底邊上的

線、底邊上的

線互相重合(簡稱“三線合一”).

(3)等腰三角形是

對稱圖形,有

條對稱軸.

3.判定:如果一個三角形有兩個

相等,那么這兩個角所對的

也相等(簡稱“等角對等邊”).

【注意】(1)“等邊對等角”、“等角對等邊”僅限于同一個三角形中邊與角的關系.(2)如果等腰三角形的腰不明確時,注意分類思考.兩邊底角等角平分中高軸1角邊知識點1:等腰三角形1.定義:

都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.性質:等邊三角形的三個

都相等,且都等于

.

3.判定:①三條

都相等的三角形是等邊三角形;

②有一個角是

的

三角形是等邊三角形.

1.定義:

一條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.

2.性質:線段垂直平分線上的點到這條線段

的距離相等.

3.逆定理:到一條線段

距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

三邊角60°邊60°等腰垂直平分兩端點兩端點知識點3:線段的垂直平分線知識點2:等邊三角形第四節直角三角形在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a,b,c.(1)邊與邊的關系:(勾股定理)a2+b2=

;

(2)角與角的關系:∠A+∠B=

;

(4)斜邊上中線等于斜邊的

.

c290°一半知識點1:直角三角形的性質1.有一個角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理逆定理:如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.3.如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.【注意】勾股定理逆定理是判斷一個三角形是否是直角三角形的重要方法,應先確定最大邊,然后驗證兩條短邊的平方和是否等于最大邊的平方.知識點2:直角三角形的判定第五章四邊形第一節多邊形與平行四邊形1.多邊形的內角和與外角和:任意n邊形(n≥3)內角和等于

;外角和等于

.

2.從n邊形的一個頂點出發可以引

條對角線,n邊形對角線總條數為

條.

3.正多邊形的定義:

多邊形.4.正n邊形每個內角為

.

(n-2)·180°360°n-3各邊都相等,各內角都相等的知識點1:多邊形的有關概念及性質1.定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.如圖,當四邊形ABCD為平行四邊形時,(1)邊的關系:AB∥CD,

;AB=CD,

.

(2)角的關系:∠ABC=

、∠BAD=

;∠ABC+

=180°.

(3)對角線的關系:AO=CO,

;

(4)是

對稱圖形.

2.根據上述結論寫出平行四邊形的判定:(1)若AB∥CD,AD∥BC,則四邊形ABCD為平行四邊形;(2)若AB=CD,AD=BC,則四邊形ABCD為平行四邊形;(3)若AB=CD,

,則四邊形ABCD為平行四邊形;

(4)若∠ABC=

、∠BAD=

,則四邊形ABCD為平行四邊形;

(5)若AO=CO,

,則四邊形ABCD為平行四邊形.

AD∥BCAD=BC∠ADC∠BCD∠BCDBO=DO中心AB∥CD∠ADC∠BCDBO=DO知識點2:平行四邊形的性質和判定1.平行四邊形的面積=

.

2.同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.3.過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.底×高知識點3:平行四邊形的面積第二節矩形、菱形、正方形知識點1:矩形的性質與判定名稱性質定義與判定矩形1.四個角都是

2.對角線相等3.既是

圖形又

是軸對稱圖形

4.S=ab(a、b表示長和寬)1.有一個角是

的平行四

邊形

2.有三個角是

的四邊

形

3.對角線

的平行四

邊形

直角中心對稱直角直角相等名稱性質定義與判定菱形1.四條邊都相等2.對角線互相垂直,并且每條對角

線

一組對角

3.菱形的面積等于兩條對角線乘積

的

4.既是中心對稱圖形,又________

圖形

1.有一組鄰邊________

的平行四邊形

2.四條邊都相等

的

3.對角線互相垂直

的

平分一半軸對稱相等平行四邊形平行四邊形

知識點2:菱形的性質與判定名稱性質定義與判定正方形1.四條邊都相等,四個角都

是

2.對角線相等且互相___________.

每條對角線平分一組對角

3.面積等于邊長的_______1.有一個角是直角,一組鄰邊

相等的

2.一組鄰邊相等的_______3.一個角是直角的_______4.對角線相等____________

的平行四邊形

直角垂直平分平方平行四邊形矩形菱形互相垂直平分知識點3:正方形的性質與判定【總結】平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系重難點突破五多邊形的變化與證明矩形、菱形、平行四邊形與軸對稱及動點的綜合已知,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F,垂足為O.(1)如圖①所示,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形,并求AF的長.(2)如圖②所示,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發,沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周,即點P自A→F→B→A停止,點Q自C→D→E→C停止.在運動過程中,已知點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值.三角形的中位線與特殊四邊形之間的關系第六章圓第一節圓的有關性質圓是平面內到定點的距離等于

的點的集合.1.圓是

圖形,其對稱軸是

.

2.圓是中心對稱圖形,對稱中心為

.

3.圓具有旋轉不變性,即圓繞著它的圓心旋轉

角度,都能與原來的圖形重合.

定長軸對稱任意一條過圓心的直線圓心任意一個

知識點1:圓的概念:

知識點2:圓的性質:半徑的長度無數不在同一直線上1.垂徑定理:垂直于弦的直徑

這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.(2)弦的垂直平分線經過

,并且平分弦所對的兩條弧.

(3)平分弦所對的一條弧的直徑

弦,并且平分弦所對的另一條弧.

平分圓心垂直于圓的位置由圓心確定,圓的大小由

確定.

(1)過一點和兩點均可作

個圓.

(2)過

的三點確定一個圓,“確定”指的是有且只有的意思.

(3)過四點或四點以上作圓:當各點中每兩點連線的垂直平分線相交于一點時,過各點的圓有一個,圓心為各垂直平分線的交點,否則過各點的圓不存在.

知識點4:垂徑定理及推論

知識點3:圓的確定條件3.垂徑定理與推論的延伸:知識點5:圓心角與圓周角_________________________.∠ACB=90°知識點6:圓內接四邊形及其性質_________∠D1.定理:

或

中,相等的圓心角所對的弧

,所對的弦

.

2.推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弦和兩條弧(同是優弧或劣弧)中有一組量相等,那么它們對應的其余各組量也分別

.

同圓等圓相等相等相等知識點7:弦、弧、圓心角的關系

【注意】(1)有關半徑、弦、弦心距、弓形高的計算一般應通過構造由半徑、弦長一半、弦心距所組成的直角三角形來解決.具體方法是用三邊關系、銳角關系、邊角關系來求解.(2)常見輔助線作法:與弦有關的問題,作弦心距;與直徑有關的問題,常常依據直徑所對的圓周角為直角構造直角三角形;反之有90°的圓周角考慮作它所對的弦得到直徑.第二節與圓有關的位置關系1.三角形的外心:三角形外接圓的圓心,是三角形

的交點,到

的距離相等.2.三角形的內心:三角形內切圓的圓心,是三角形

的交點,到

的距離相等.

點P在☉O上?

;

點P在☉O外?

;

點P在☉O內?

.(r為☉O半徑,d=OP)

三邊垂直平分線三角形三個頂點三條角平分線三角形三邊d=rd>rd<r知識點1:三角形的外心和內心知識點2:點與圓的位置關系1.設r是☉O的半徑,d是圓心O到直線l的距離.直線與圓的位置公共點個數d與r的關系圖形相交2d<r相切1d=r相離0d>r知識點3:直線與圓的位置關系2.切線的性質.(1)切線的性質定理:圓的切線

經過切點的半徑.

(2)推論1:經過切點且垂直于切線的直線必經過

.

(3)推論2:經過圓心且垂直于切線的直線必經過

.

3.切線的判定定理:經過半徑的外端并且

這條半徑的直線是圓的切線.4.證明直線和圓相切的方法:(1)當已知直線與圓有公共點時,連半徑,證

.

(2)當不知道直線與圓是否有公共點時,過圓心作直線的垂線,證圓心到直線的距離等于

.

垂直圓心切點垂直垂直半徑

圖1PA=PB∠APO=∠BPO5.切線長定理.

,

.

____________pr2.直角三角形的內切圓(如圖2)設AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,內切圓半徑為r,則r=

.

圓與圓的位置關系有下列5種情況: