數(shù)學（第1冊）集合不等式函數(shù)三角函數(shù)三角計算及其應用復數(shù)邏輯代數(shù)初步數(shù)列平面向量計數(shù)原理概率論初步直線二次曲線立體幾何全套(共四冊)可編輯PPT課件集合第一

章集合的概念第一節(jié)集合之間的關系第二節(jié)集合的運算第三節(jié)邏輯關系第四節(jié)目錄CONTENTS全稱量詞與存在量詞第五節(jié)第一節(jié)集合的概念集合和元素一、我們日常生活中的哪些事物可以匯集在一起構成一個集合呢？日常生活中，我們所看到的、聽到的、觸摸到的、想到的各種各樣的實物或一些抽象的符號都可以視作對象，由某些指定的對象集在一起所組成的整體就叫作集合，簡稱集.組成集合的每個對象稱為元素.例如，把所有小于10的自然數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各個數(shù)都看成對象，所有這些對象匯集在一起就構成了一個集合，其中的每個數(shù)即為這個集合中的元素.第一節(jié)集合的概念集合一般采用大寫英文字母A、B、C、…來表示，它們的元素一般采用小寫英文字母a、b、c、…來表示.如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a∈A.一般地，我們把不含任何元素的集合叫作空集，記作.例如方程x-2=x-3的解所組成的集合即為空集，因為這個集合不含任何元素.第一節(jié)集合的概念關于集合的概念有如下說明：（1）集合的元素具有確定性，即作為一個集合的元素，必須是確定的.也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的.（2）集合的元素具有互異性，即給定一個集合，則集合的元素一定是互不相同的.第一節(jié)集合的概念下列語句能否確定一個集合？（1）一切很大的數(shù)；（2）方程x2=4的所有解；（3）不等式x-5>0的所有解.解（1）因為很大的數(shù)沒有具體的標準，“一切很大的數(shù)”所指的對象是不確定的，所以不能構成集合.（2）方程x2=4的解為-2和2，是確定的對象，所以可以構成集合.（3）解不等式x-5>0可得x>5，它們是確定的對象，所以可以構成集合.【例1】第一節(jié)集合的概念根據集合所含有的元素個數(shù)可以將其分為有限集和無限集兩類.含有有限個元素的集合叫作有限集，含有無限個元素的集合叫作無限集.例如上述例1中的（2）所構成的集合即為有限集，（3）所構成的集合即為無限集.

在例1的（2）中，集合的元素是-2和2，它們都是方程x2=4的解，像這樣，方程的所有解組成的集合叫作這個方程的解集；同樣，在例1的（3）中，由不等式的所有解所組成的集合叫作這個不等式的解集.第一節(jié)集合的概念由數(shù)所組成的集合稱作數(shù)集.我們用某些特定的大寫英文字母表示常用的一些數(shù)集：所有非負整數(shù)所組成的集合叫作自然數(shù)集，記作N；所有正整數(shù)所組成的集合叫作正整數(shù)集，記作N*；所有整數(shù)組成的集合叫作整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合叫作有理數(shù)集，記作Q；所有實數(shù)組成的集合叫作實數(shù)集，記作R.第一節(jié)集合的概念課堂練習

1.用符號“∈”或“”填空：（1）-3

N；（2）3.14

Q；（3）π

Q；（4）0.5

Z；（5）1.8

R；（6）-1

N*.2.判斷下列語句是否正確：（1）由1，2，4，2構成一個集合，這個集合共有4個元素；（2）方程x2+1=0的所有解組成的集合為空集.第一節(jié)集合的概念集合的表示方法二、用列舉法表示集合時，一般不考慮元素的排列順序，如集合{1,2}與集合{2,1}表示的是同一個集合.如何表示一個集合呢？常用的表示方法有列舉法和描述法兩種.第一節(jié)集合的概念列舉法1.把集合的元素一一列舉出來，元素中間用逗號隔開，寫在花括號“｛｝”中用來表示集合，這種方法即為列舉法.例如，由小于5的自然數(shù)所組成的集合可表示為｛0，1，2，3，4｝；方程x2=4的所有解組成的集合可表示為｛-2，2｝.第一節(jié)集合的概念當集合為無限集或元素很多的有限集時，可以在花括號內只寫出幾個元素，其他用省略號表示即可，但所寫出的元素必須能讓人明白省略號表示哪些元素.例如，自然數(shù)集N為無限集，可表示為｛0，1，2，3，…，n，…｝；不大于100的全體自然數(shù)所組成的集合為有限集，可表示為｛0，1，2，3，…，100｝.第一節(jié)集合的概念用列舉法表示下列集合：（1）大于1小于10的所有偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2+x-6=0的解集.解（1）大于1小于10的所有偶數(shù)有2、4、6、8，它們所組成的集合可表示為｛2，4，6，8｝.（2）解方程x2+x-6=0得x1=-3，x2=2，所以該方程的解集為｛-3，2｝.【例2】第一節(jié)集合的概念課堂練習用列舉法表示下列集合：（1）小于10的正奇數(shù)組成的集合；（2）我國古代四大發(fā)明組成的集合；（3）大于2小于8的自然數(shù)組成的集合.第一節(jié)集合的概念描述法2.有的集合用列舉法表示起來是很不方便的，如“由大于2的所有實數(shù)組成的集合”，大于2的實數(shù)有無窮多個，顯然無法用列舉法將該集合的元素一一列出，此時用描述法來表示該集合則比較方便.

把描述集合元素的特征性質或表示集合中元素的規(guī)律寫在花括號內用來表示集合的方法叫作描述法.例如上述“由大于2的所有實數(shù)組成的集合”，可以看出該集合的元素都具有如下性質：都是實數(shù)，都大于2.因此，該集合可用描述法表示為

｛x︱x>2，x∈R｝.第一節(jié)集合的概念花括號內豎線左側的x表示這個集合中的任意一個元素，元素x從實數(shù)集R中取值，豎線的右側寫出的是元素的特征性質.

如果從上下文可以明顯看出集合的元素為實數(shù)，則x∈R也可以省略不寫，如上述的集合可表示為

｛x︱x>2｝.第一節(jié)集合的概念由第一象限所有的點組成的集合怎么表示？想一想第一節(jié)集合的概念用描述法表示下列集合：（1）｛-3，3｝；（2）大于3的全體偶數(shù)構成的集合；（3）不等式10x+1≥0的解集.解（1）該集合的一個特征性質可以描述為絕對值等于3的實數(shù)，即︱x︱=3，所以這個集合可表示為｛x︱︱x︱=3｝.（2）該集合的一個性質可描述為x>3，且x=2k，k∈N，所以這個集合可以表示為｛x︱x>3，且x=2k，k∈N｝.【例3】第一節(jié)集合的概念用列舉法表示集合可以明確地看到集合的每個元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性質，因此在具體的應用中要根據實際情況靈活選用.第一節(jié)集合的概念課堂練習用描述法表示下列集合：(1)方程3x-5=0的組成的集合；(2)絕對值大于7的實數(shù)組成的集合；(3)全體奇數(shù)組成的集合.第二節(jié)集合之間的關系子集一、觀察下列集合：（1）A=｛2，4，6｝，B=｛2，4，6，8｝；（2）A=｛x︱x是長方形｝，B=｛x︱x是平行四邊形｝.可以看出，上述集合A中的任意一個元素都是集合B的元素.一般地，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A就叫作集合B的子集，記作A

B或B

A，讀作“A包含于B”或“B包含A”.第二節(jié)集合之間的關系由上述子集的定義可知，任意一個集合A都是它自身的子集，即A

A.

規(guī)定：空集是任意一個集合的子集，即對于任意一個集合A，都有?A.

如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，記作A≦B或B≦A，第二節(jié)集合之間的關系符號“∈”與符號“”表達的含義相同嗎？有什么區(qū)別？思考與討論第二節(jié)集合之間的關系讀作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用圖1-1所示圖形來直觀地表示.圖1-1第二節(jié)集合之間的關系寫出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集.分析集合A中共有三個元素，要想一字不漏地寫出其所有的子集，可按以下步驟來寫：（1）因為空集是所有集合的子集，所以首先寫出?；（2）寫出由一個元素組成的子集，即｛1｝，｛2｝，｛3｝；（3）寫出由兩個元素組成的子集，即｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝；（4）寫出由三個元素組成的子集，即｛1，2，3｝.

【例1】第二節(jié)集合之間的關系解

集合A的所有子集為?，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝.在上述子集中除了集合A本身，即｛1，2，3｝，其余的全為集合A的真子集.第二節(jié)集合之間的關系課堂練習1.用符號“”“”“∈”或“”填空：（1）N

Q；（2）{2，3}

{2}；（3）{a,b}

{c,d};(4){0}

?.2.設集合A表示{x|x<6},集合B表示{x|x<0},指出集合A與集合B之間的關系.第二節(jié)集合之間的關系集合的相等二、觀察集合A=｛1，2，3｝，B=｛x︱0<x<4，x∈N｝，可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是兩個集合的表達方式不同.集合A={x︱x∈B

}與集合B相等嗎？一般地，如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，或者集合B的每一個元素都是集合A的元素，那么就說集合A等于集合B.第二節(jié)集合之間的關系判斷下列各組集合的關系：（1）A=｛2，3｝，B=｛1，2，3，4，5｝；（2）M=｛-3，3｝，N=｛x︱x2-9=0｝.解（1）A≦B.（2）由x2-9=0解得x1=3，x2=-3，所以集合N用列舉法表示為｛-3，3｝，則可看出這兩個集合相等，即M=N.【例2】第二節(jié)集合之間的關系課堂練習（1）{1，3，5}

{1，2，3，4，5}；（2）{x|x2=9}

{-3,3}；(3)a

{a};（4）{2，4，6}

{4，6}.第三節(jié)集合的運算過去我們只對數(shù)或式子進行算術運算或代數(shù)運算，那么集合與集合之間可以進行運算嗎？

由兩個已知的集合按照某種指定的法則構造出一個新的集合即為集合的運算.第三節(jié)集合的運算交集一、觀察集合：兩個非空集合的交集可能是空集嗎？試舉例說明.A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝，可以看出，集合C的元素恰好是集合A與集合B的所有共同元素.一般地，像上述那樣，給定兩個集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有共同元素構成的集合叫作集合A與B的交集，記作A∩B，第三節(jié)集合的運算讀作“A交B”，可用圖1-2所示的陰影部分來形象地表示.圖1-2第三節(jié)集合的運算已知A=｛-1，0，1，2，3｝，B=｛1，3，5，7｝，求A∩B.解A∩B=｛1，3｝，可用圖1-3來表示.【例1】圖1-3第三節(jié)集合的運算已知A=｛x︱x是等腰三角形｝，B=｛x︱x是直角三角形｝，求A∩B.解A∩B=｛x︱x是等腰三角形｝∩｛x︱x是直角三角形｝=｛x︱x是等腰直角三角形｝.由交集的定義可知，對于任意兩個集合A、B，都有A∩B=B∩A；A∩A=A，A∩?=?；

A∩BA，A∩BB.

【例2】第三節(jié)集合的運算課堂練習求下列每組集合的交集：（1）A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3，4，5，6｝；（2）P=｛1，3，5｝，Q=｛2，4，6｝.第三節(jié)集合的運算已知A=｛x︱-2<x≤1｝，B=｛x︱0<x<4｝，求A∩B.分析集合A、B是用描述法表示的集合，并且集合的元素沒法一一列舉出來，因此可以結合數(shù)軸來進行解題.解在數(shù)軸上表示集合A、B，如圖1-4所示.從圖中易看出，陰影部分即為集合A、B的交集，即A∩B=｛x︱-2<x≤1｝∩｛x︱0<x<4｝=｛x︱0<x≤1｝.【例3】圖1-4第三節(jié)集合的運算已知A=｛（x，y）︱4x+y=6｝，B=｛（x，y）︱x+y=3｝，求A∩B.分析集合A、B的元素是有序實數(shù)對（x，y），A、B的交集就是二元一次方程組4x+y=6x+y=3的解集.解解方程組4x+y=6x+y=3得x=1，y=2.所以A∩B=｛（x，y）︱4x+y=6｝∩｛（x，y）︱x+y=3｝=（x，y）4x+y=6x+y=3=｛（1，2）｝.【例4】第三節(jié)集合的運算例4中集合A、B的交集｛（1，2）｝能否寫成｛1，2｝？有什么區(qū)別呢？思考與討論第三節(jié)集合的運算并集二、觀察下面三個集合：M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝，可以看出，集合P是集合M與集合N的所有元素組成的.

一般地，像上述那樣，對于兩個給定的集合A、B，由集合A和集合B的所有元素組成的集合叫作集合A和集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”.第三節(jié)集合的運算例如，集合A=｛-2，0，2｝與B=｛0，3，5｝的并集為A∪B=｛-2，0，2｝∪｛0，3，5｝=｛-2，0，2，3，5｝.由并集的定義可知，對于任意兩個集合A、B，都有A∪B=B∪A；A∪A=A，A∪?=A；A

A∪B，B

A∪B.第三節(jié)集合的運算在求并集時，兩個集合中相同的元素只列舉一次，不能重復列舉.學習提示第三節(jié)集合的運算集合A和集合B的并集可以用圖1-5中陰影部分來表示.圖1-5第三節(jié)集合的運算已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B.

解A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝.【例5】第三節(jié)集合的運算已知A=｛x︱-1<x≤2｝，B=｛x︱0<x≤3｝，求A∪B.分析本題結合數(shù)軸進行解題比較直觀.解將集合A和集合B在數(shù)軸上表示出來，如圖1-6所示：則可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3｝.【例6】圖1-6第三節(jié)集合的運算課堂練習1.設集合A={a,b,c,d,e}，B={f,g}，求A∪B.2.設集合A={-2，2}，B={-5,4}，求A∪B.第三節(jié)集合的運算補集三、在研究集合與集合的關系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，則稱這個給定的集合為全集，一般用U表示.例如，在研究數(shù)集時，常常把實數(shù)集R作為全集.如果給定某一集合A是全集U的一個子集，則U中不屬于A的所有元素組成的集合叫作A在全集U中的補集，記作第三節(jié)集合的運算如果全集U為實數(shù)集R，則集合A在U中的補集也可寫成CA.學習提示第三節(jié)集合的運算讀作“A在U中的補集”，即

UA=｛x︱x∈U且x∈A｝.用圖形表示集合時，通常用矩形區(qū)域表示全集.全集U與它的任意一個真子集A之間的關系可用圖1-7來表示，其中陰影部分表示A在U中的補集.由補集的定義可知，對于任意集合A，都有圖1-7第三節(jié)集合的運算【例7】第三節(jié)集合的運算【例8】第三節(jié)集合的運算課堂練習1.設U={不大于5的自然數(shù)}，A={1，3，4}，求CUA.2.設U={-3，15}，A={-1，3}，求CA.第四節(jié)邏輯關系命題一、用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題.其中正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題.例如：(1)1+1=2;(2)河北的省會是石家莊；（3）所有的自然數(shù)都大于0；（4）?={0}.這些語句都是命題，其中（1）、（2）是真命題，（3）、（4）是假命題.第四節(jié)邏輯關系又如：1+1=2嗎？姚明長得真高！請不要遲到.這些語句都不是命題，因為疑問句、感嘆句和祈使句都不可以判斷真假，不滿足命題的定義.為方便起見，常用大寫字母P,Q,R等作為命題的記號.第四節(jié)邏輯關系課堂練習指出下面語句哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，請指出其真假：（1）我國四大發(fā)明不包括造紙術；（2）42不能被3整除；（3）5是偶數(shù)；（4）請你現(xiàn)在來一下辦公室.第四節(jié)邏輯關系四種命題二、原命題和逆命題1.一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題．其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題．也就是說，如果原命題為“若p，則q”，那么它的逆命題為“若q，則p”．例如，將命題“若a=b，則a2=b2”的條件和結論互換，就得到它的逆命題“若a2=b2，則a=b”．第四節(jié)邏輯關系否命題2.如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題稱為互否命題．如果把其中一個命題稱為原命題，那么另一個稱為原命題的否命題．也就是說，如果原命題為“若p，則q”，那么它的否命題為“若非p，則非q”．為書寫簡便，常將否命題記為“若p，則q”．例如，如果原命題是“若a=b，則a2=b2”，那么它的否命題是“若a≠b，則a2≠b2”．第四節(jié)邏輯關系如果原命題是真命題，那么它的逆命題、否命題和逆否命題是真命題嗎？想一想第四節(jié)邏輯關系逆否命題3.如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題稱為互為逆否命題．如果把其中的一個命題稱為原命題，那么另一個稱為原命題的逆否命題．也就是說，如果原命題為“若p，則q”，那么它的逆否命題為“若非q，則非p”．同理，常將逆否命題記為“若q，則p”．第四節(jié)邏輯關系例如，如果原命題是“若a=b，則a2=b2”，那么它的逆否命題是“若a2≠b2，則a≠b”．綜上可知，設命題“若p，則q”為原命題，那么命題“若q，則p”是原命題的逆命題；命題“若p，則q”是原命題的否命題；命題“若q，則p”是原命題的逆否命題．第四節(jié)邏輯關系四種命題間的相互關系4.原命題、逆命題、否命題、逆否命題之間的相互關系如圖1-9所示．圖1-9第四節(jié)邏輯關系一般地，四種命題的真假性之間具有如下關系：如果兩個命題互為逆否命題，那么它們具有相同的真假性(即同為真命題或同為假命題)；如果兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．例如，在以下四個命題中，若設命題(1)是原命題，顯然命題(2)、(3)、(4)分別是它的逆命題、否命題和逆否命題．(1)若a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)；(2)若a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)；(3)若a，b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)；(4)若a+b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)．第四節(jié)邏輯關系此外，我們發(fā)現(xiàn)，命題(2)、(3)互為逆否命題，命題(2)、(4)為互否命題，命題(3)、(4)為互逆命題．不難判斷，原命題(1)是真命題，它的逆命題(2)是假命題，它的否命題(3)是假命題，而它的逆否命題(4)是真命題．總結而言，命題(1)、(4)互為逆否命題，它們同為真命題；命題(2)、(3)互為逆否命題，它們同為假命題；其他兩兩命題的真假性之間沒有關系．第四節(jié)邏輯關系下列語句中哪些是命題?是真命題還是假命題?(1)矩形的對角線相等；(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?(3)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(4)兩個全等三角形的面積相等；(5)若方程x2+a=0無實根，則a≥0；(6)x>13．【例1】第四節(jié)邏輯關系分析判斷一個語句是不是命題，要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件．解上面6個語句中，(2)不是陳述句，所以它不是命題；(6)雖然是陳述句，但因為無法判斷它的真假，所以也不是命題；其余4個都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中(1)、(4)是真命題，(3)、(5)是假命題．第四節(jié)邏輯關系寫出命題“若xy=0，則x=0或y=0”的逆命題、否命題和逆否命題．解原命題：若xy=0，則x=0或y=0.逆命題：若x=0或y=0，則xy=0.否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.逆否命題：若x≠0且y≠0，則xy≠0．【例2】第四節(jié)邏輯關系將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，同時寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假．(1)負數(shù)的立方是負數(shù)；(2)個位上數(shù)字為0的整數(shù)能被5整除.解(1)原命題可以改寫成：若一個數(shù)是負數(shù)，則這個數(shù)的立方是負數(shù)．逆命題：若一個數(shù)的立方是負數(shù)，則這個數(shù)是負數(shù).否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則這個數(shù)的立方不是負數(shù).逆否命題：若一個數(shù)的立方不是負數(shù)，則這個數(shù)不是負數(shù)．原命題、逆命題、否命題和逆否命題均是真命題．【例3】第四節(jié)邏輯關系(2)原命題可以改寫成：若一個整數(shù)的個位上數(shù)字為0，則它能被5整除．逆命題：若一個整數(shù)能被5整除，則它的個位上數(shù)字為0.否命題：若一個整數(shù)的個位上數(shù)字不為0，則它不能被5整除.逆否命題：若一個整數(shù)不能被5整除，則它的個位上數(shù)字不為0．原命題和逆否命題是真命題，逆命題和否命題是假命題．第四節(jié)邏輯關系課堂練習

1．下列語句中哪些是命題?是真命題還是假命題?(1)(-3)2=3；(2)x2-1=0；(3)1+1>2；(4)等邊三角形不是等腰三角形；(5)201450是個大數(shù)；(6)若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等．第四節(jié)邏輯關系2．指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷它們的真假：(1)若x，y互為倒數(shù)，則xy=1；(2)若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)；(3)若a>6，則ac2>bc2．3．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：(1)若｜x｜=｜y｜，則x=y；(2)若x=2，則x2=4；(3)若x2+y2≠0，則x，y不全為0．第四節(jié)邏輯關系邏輯聯(lián)結詞三、在數(shù)學中，有時會使用一些聯(lián)結詞，如“且”“或”“非”，來聯(lián)結兩個命題，以構成一個新的命題.下面介紹邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”的含義和用法.為敘述方便，通常用小寫字母p,q,r,s,…表示命題.第四節(jié)邏輯關系且（and）1.一般地，用邏輯聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作p∧q，讀作“p且q”.例如，在下列三個命題中，命題（3）是由命題（1）、（2）使用聯(lián)結詞“且”聯(lián)結而得到的新命題.（1）10能被2整除；（2）10能被5整除；（3）10能被2整除且能被5整除.第四節(jié)邏輯關系我們規(guī)定：當p,q都是真命題時，p∧q是真命題；當p,q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是假命題.在上述三個命題中，命題（1）、（2）都是真命題，所以命題（3）是真命題.第四節(jié)邏輯關系或（or）2.一般地，用邏輯聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作p∨q，讀作“p或q”.例如，在下列三個命題中，命題（3）是由命題（1）、（2）使用聯(lián)結詞“或”聯(lián)結而得到的新命題.（1）21是4的倍數(shù)；（2）21是7的倍數(shù)；（3）21是4的倍數(shù)或是7的倍數(shù).第四節(jié)邏輯關系如果p∧q為真命題，那么p∨q一定是真命題嗎？反之，如果p∨q為真命題，那么p∧q一定是真命題嗎？想一想第四節(jié)邏輯關系我們規(guī)定：當p,q兩個命題中有一個命題是真命題時，p∨q是真命題；當p,q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題.在上述三個命題中，命題（1）是假命題，命題（2）是真命題，所以命題（3）是真命題.第四節(jié)邏輯關系非（not）3.一般地，對一個命題p加以否定，就得到一個新命題，記作p，讀作“非p”或“p的否定”.例如，在下列兩個命題中，命題（2）是命題（1）的否定.（1）正方形是矩形；（2）正方形不是矩形.顯然，若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題.在上述兩個命題中，命題（1）是真命題，命題（2）是假命題.第四節(jié)邏輯關系用邏輯聯(lián)結詞“且”聯(lián)結或改寫下列命題，并判斷它們的真假：（1）p:矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；（2）p：15是3的倍數(shù)，q：15是10的倍數(shù)；（3）1既是奇數(shù)，又是質數(shù)；（4）12能被2和3整除.解（1）p∧q：矩形的對角線相等且互相平分.由于p是真命題，q是真命題，所以p∧q是真命題.【例4】第四節(jié)邏輯關系（2）p∧q：15是3的倍數(shù)且是10的倍數(shù).由于p是真命題，q是假命題，所以p∧q是假命題.（3）命題“1既是奇數(shù)，又是質數(shù)”可以改寫為“1是奇數(shù)且1是質數(shù)”.因為“1是奇數(shù)”是真命題，“1是質數(shù)”是假命題，所以這個命題是假命題.（4）命題“12能被2和3整除”可以改寫為“12能被2整除且12能被3整除”.因為“12能被2整除”與“12能被3整除”都是真命題，所以這個命題是真命題.第四節(jié)邏輯關系命題的否定與否定命題有什么區(qū)別？想一想第四節(jié)邏輯關系充分條件和必要條件四、觀察下列推論是否成立：

（a）x=2，則x2=4；

（b）xy=0，則x=0.

顯然，由（a）中的“x=2”則一定能推斷出“x2=4”；由（b）中的“xy=0”則不能推斷出“x=0”，因為有可能y=0.

像上述那樣，已知條件p和結論q：

（1）如果由條件p成立可推出結論q成立，則說條件p是結論q的充分條件，記作“p=q”.上述（a）中，條件p：x=2，結論q：x2=4，即“x=2”是“x2=4”的充分條件.第四節(jié)邏輯關系若p:x=y,q:x2=y2，則p是q的充要條件，這種說法對嗎？想一想第四節(jié)邏輯關系（2）如果由結論q成立可推出條件p成立，則說條件p是結論q的必要條件，記作“q=p（或p=q）”.上述（b）中，條件p：xy=0，結論q：x=0，即“xy=0”是“x=0”的必要條件.

如果p=q，且p=q，那么p是q的充分且必要條件，簡稱充要條件，記作“p=q”.第四節(jié)邏輯關系指出下列各組中的條件p是結論q的什么條件：（1）p：x=3，q：（x-1）（x-3）=0；（2）p：x>1，q：x>3；（3）p：x=y，q：（x-y）2=0.解（1）由條件x=3成立能夠推出結論（x-1）（x-3）=0成立，因此p是q的充分條件；而由結論（x-1）（x-3）=0成立則不能夠推出條件x=3成立，因為當x=1時（x-1）（x-3）=0也成立，所以p不是q的必要條件.

【例7】第四節(jié)邏輯關系（2）由條件x>1成立不能推出結論x>3成立，如x=2時，2>1但2<3，因此p不是q的充分條件；而由結論x>3成立則能夠推出條件x>1成立，所以p是q的必要條件.（3）由條件x=y成立能夠推出結論（x-y）2=0成立，而由結論（x-y）2=0成立也能夠推出條件x=y成立，因此p是q的充要條件.第四節(jié)邏輯關系課堂練習指出下列各組中條件p是結論q的什么條件：（1）p：x=-1，q：|x|=1；(2)p：x>5，q：x>0；(3)p：x=0，q：xy=0；(4)p：x2=4，q：x-7=0.第五節(jié)全稱量詞與存在量詞全稱量詞一、觀察下面的語句：（1）x<5;(2)3x+2是整數(shù)；(3)對所有的x∈R，x<5；(4)對任意一個x∈Z，3x+2是整數(shù)．不難發(fā)現(xiàn)，語句(1)、(2)無法判斷真假，因而不是命題．語句(3)在(1)的基礎上，用短語“對所有的”對變量x進行限定；語句(4)在(2)的基礎上，用短語“對任意一個”對變量x進行限定，從而使(3)、(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)、(4)是命題．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞“對所有的”“對任意一個”等短語在邏輯中通常稱為全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題，稱為全稱命題．例如，命題“所有的等邊三角形都相似”“對任意的k∈Z，2k是偶數(shù)”都是全稱命題．一般地，將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為

x∈M，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞存在量詞二、觀察下面的語句：(1)2x-3=1；(2)x能被3和5整除；(3)存在一個x0∈R，使2x0-3=1;(4)至少有一個x0∈Z，x0能被3和5整除．容易判斷，語句(1)、(2)不是命題．語句(3)在(1)的基礎上，用短語“存在一個”對變量x的取值進行限定;語句(4)在(2)的基礎上，用“至少有一個”對變量x的取值進行限定，從而使(3)、(4)變成了可以判斷真假的語句，因此語句(3)、(4)是命題．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞“三角形的內角和為180°”是全稱命題還是特稱命題？想一想第五節(jié)全稱量詞與存在量詞“存在一個”“至少有一個”等短語在邏輯中通常稱為存在量詞，并用符號“?”表示．含有存在量詞的命題，稱為特稱命題．例如，命題“有一個質數(shù)是偶數(shù)”“有的平行四邊形是矩形”都是特稱命題．特稱命題“存在M中的一個x0，使p(xo)成立”可用符號簡記為

x0∈M，p(x0)，讀作“存在一個x0屬于M，使p(x0)成立”．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞含有一個量詞的命題的否定三、含有一個量詞的全稱命題的否定1.寫出下列命題的否定：(1)所有的菱形都是平行四邊形；(2)每一個質數(shù)都是奇數(shù)；(3)

x∈R，x2-x+1>0．易知，上面三個命題都是全稱命題，即符合形式“x∈M，p(x)”．命題(1)的否定是“并非所有的菱形都是平行四邊形”，也就是說：存在一個菱形不是平行四邊形；第五節(jié)全稱量詞與存在量詞命題(2)的否定是“并非每一個質數(shù)都是奇數(shù)”，也就是說：存在一個質數(shù)不是奇數(shù)；命題(3)的否定是“并非所有的x∈R，x2-x+1>0”，也就是說：?x0∈R，x20-x0+1≤0．從命題形式看，這三個全稱命題的否定都變成了特稱命題．一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：對于全稱命題p：

x∈M，p(x)，它的否定p為：?x0∈M，p(x0)，全稱命題的否定是特稱命題．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞含有一個量詞的特稱命題的否定2.寫出下列命題的否定：(1)有些整數(shù)的絕對值是正數(shù)；(2)某些矩形是正方形；(3)?x0∈R，x20+1<1．易知，上面三個命題都是特稱命題，即符合形式“?x0∈M，p(x0)”．命題(1)的否定是“不存在一個整數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，也就是說：所有整數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；第五節(jié)全稱量詞與存在量詞命題(3)的否定是“不存在x0∈R，x20+1<1”，也就是說：

x∈R，x2+1≥1．從命題形式看，這一個特稱命題的否定都變成了全稱命題．一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結論：對于特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定p為：

x∈M，p(x)．特稱命題的否定是全稱命題．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷它們的真假：(1)所有的三角形都是直角三角形；(2)有些實數(shù)小于零；(3)對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；(4)有一個實數(shù)x0，使x20+4x0+7=0．

【例1】第五節(jié)全稱量詞與存在量詞解(1)該命題是全稱命題．等邊三角形不是直角三角形，因此它是假命題．(2)該命題是特稱命題．存在實數(shù)-1小于零，因此它是真命題．(3)該命題是全稱命題．2是無理數(shù)，但(2)2=2是有理數(shù)，因此它是假命題．(4)該命題是特稱命題．由于x∈R，x2+4x+7=(x+2)2+3≥3,因此使x2+4x+7=0的實數(shù)x不存在，所以它是假命題．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞判斷下列命題的真假：(1)x∈N，x2≥2x；(2)所有的質數(shù)是奇數(shù);(3)?x0∈Q，x20=5;(4)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)．

【例2】第五節(jié)全稱量詞與存在量詞解(1)因為x=1時，x2≥2x不成立，所以“x∈N，x2≥2x”是假命題．(2)因為2是質數(shù)，但2不是奇數(shù)，所以“所有的質數(shù)是奇數(shù)”是假命題．

(3)因為使x20=5成立的數(shù)只有x0=5和x0=-5，而它們都不是有理數(shù)，所以“?x0∈Q，x20=5”是假命題．(4)由于存在整數(shù)3只有兩個正因數(shù)1和3，所以“有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)”是真命題．第五節(jié)全稱量詞與存在量詞寫出下列命題的否定：(1)所有的自然數(shù)都是正數(shù)；(2)有的三角形是等腰三角形；(3)所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(4)?x0∈R，x20+2x0+3<0．【例3】第五節(jié)全稱量詞與存在量詞解(1)該命題的否定是“存在一個自然數(shù)不是正數(shù)”．(2)該命題的否定是“所有三角形都不是等腰三角形”．(3)該命題的否定是“存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)”．(4)該命題的否定是“x∈R，x2+2x+3≥0”．閱讀材料

維恩與維恩圖著名教育家蘇霍姆林斯基說過“直觀是認識的途徑，是照亮認識途徑的光輝”，數(shù)學中的直觀往往有助于人們對抽象概念的理解.“集合”是一種抽象的概念，用圖形來表示集合則可以有助于大家更直觀地理解一些集合問題.閱讀材料1880年，英國數(shù)學家維恩在《論命題和推理的圖表化和機械化表現(xiàn)》一文中首次采用固定位置的交叉環(huán)形式再加上陰影來表示邏輯問題（如圖1-11所示），這種圖形即為維恩圖.這一表示方法，讓邏輯學家無比激動，以致19世紀后期、整個20世紀直到今天，還有許許多多的邏輯學家都對此潛心鉆研.在大量邏輯學著作中，維恩圖占據著十分重要的位置，而且維恩圖還被應用于數(shù)學學科中，尤其是被應用于集合論當中.閱讀材料圖1-11閱讀材料維恩圖既可以表示一個獨立的集合，也可以表示集合與集合之間的相互關系，在本章的運用中已經有所體現(xiàn)．用維恩圖解一些有關集合的問題常常可以得到意料之外的效果.例如，判斷：所有勤奮的學生都愛學習，有些愛學習的學生視力不好，那么有些勤奮的學生視力不好.我們可以令：A=｛愛學習的學生｝，B=｛勤奮的學生｝，C=｛視力不好的學生｝，閱讀材料上述判斷中A、B、C之間的關系有三種可能，用維恩圖表示如圖1-12中的（a）、（b）、（c）所示：圖1-12閱讀材料從圖中可以很直觀地看出，如果A、B、C之間的關系如圖1-12（a）中的情形，則上述判斷中的結論“那么有些勤奮的學生視力不好”是不正確的，因為“B=｛勤奮的學生｝”與“C=｛視力不好的學生｝”沒有重疊交叉的部分.利用維恩圖可以幫助我們形象而又簡捷地解決問題，因此，同學們要逐步形成利用維恩圖解題的意識，提高自己解決問題的能力．感謝聆聽批評指導數(shù)學（第1冊）不等式第二

章不等式的概念與性質第一節(jié)區(qū)間第二節(jié)一元二次不等式及解法第三節(jié)分式不等式和絕對值不等式第四節(jié)目錄CONTENTS線性規(guī)劃的有關概念第五節(jié)二元線性規(guī)劃問題的解法第六節(jié)第一節(jié)不等式的概念與性質不等式的概念一、用等號(=)連接兩個代數(shù)式所成的式子稱之為等式，比如2+3=5，2x+1=3等都是等式.那么什么是不等式呢?很明顯，用不等號(>，≥，<，≤，≠)連接兩個代數(shù)式所成的式子叫作不等式.比如5+2<8，3x-1>4，4a-2≠6等都是不等式.第一節(jié)不等式的概念與性質用不等式表示下列關系：(1)x與2的和大于3；(2)實數(shù)a乘以b小于等于5；(3)任意一個實數(shù)a的平方為非負數(shù).解(1)x+2>3；(2)ab≤5；(3)a2≥0.

【例1】第一節(jié)不等式的概念與性質比較3x2-2x+5與3x2-2x-1的大小.解∵(3x2-2x+5)-(3x2-2x-1)=6>0∴3x2-2x+5>3x2-2x-1.【例2】第一節(jié)不等式的概念與性質課堂練習

1.用不等式比較下列關系：（1）a與2的差比它的3倍大；（2）實數(shù)a和實數(shù)b的平方和不小于它們的乘積的2倍；（3）設三角形的三邊長分別為a,b,c，任意兩邊之和大于第三邊.2.比較x2-3x+4與x2-3x-6的大小.第一節(jié)不等式的概念與性質實數(shù)大小的比較二、如果沒有任何度量工具，怎么才能知道高矮差不多的兩個同學的身高之間的不等關系呢？我們一般采用的比較方法是讓這兩個同學背靠背地站在同一高度的地面上，這時兩個同學誰高誰低一看便知.在數(shù)學中，我們比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差即可.對于任意兩個實數(shù)a、b，有a-b＞0=a＞b ；a-b＜0=a＜b；a-b=0=a=b.第一節(jié)不等式的概念與性質已知實數(shù)a、b，且a＞b＞0，試比較a2b與ab2的大小.思考與討論第一節(jié)不等式的概念與性質課堂練習第一節(jié)不等式的概念與性質不等式的基本性質三、在初中我們已經學習了不等式的三條基本性質，本小節(jié)將進一步闡述并證明不等式的基本性質.性質1如果a＞b，且b＞c，則a＞c.證明a＞b=a-b＞0，b＞c=b-c＞0，因此，根據兩正數(shù)之和為正數(shù)得（a-b）+（b-c）＞0，即a-c＞0，所以a＞c.性質1所描述的不等式的性質稱為不等式的傳遞性.第一節(jié)不等式的概念與性質性質2如果a＞b，則a+c＞b+c.證明

因為a＞b，所以a-b＞0.又因為（a+c）-（b+c）=a-b＞0，所以a+c＞b+c.性質2表明，不等式兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向不變，因此將性質2稱為不等式的加法性質.第一節(jié)不等式的概念與性質性質3怎么證明呢？想一想第一節(jié)不等式的概念與性質性質3如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc.

性質3表明，不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.因此將性質3稱為不等式的乘法性質.第一節(jié)不等式的概念與性質用“＞”或“＜”填空，并指出應用了不等式的哪條性質：（1）已知a＜b，則a+3

b+3；（2）已知a＞b，則2a

2b；（3）已知a＞b，則-2a

-2b.解（1）a+3＜b+3，應用了不等式的性質2.（2）2a＞2b，應用了不等式的性質3.（3）-2a＜-2b，應用了不等式的性質3.

【例4】第二節(jié)區(qū)間區(qū)間是數(shù)集的一種表示形式，其表示形式與集合的表示形式相同.第二節(jié)區(qū)間有限區(qū)間一、我們知道，實數(shù)集是與數(shù)軸上的點集一一對應的，如集合｛x︱1＜x＜3｝可以在數(shù)軸上表示如圖2-1所示.圖2-1第二節(jié)區(qū)間由數(shù)軸上兩點之間的所有實數(shù)所組成的集合叫作區(qū)間，這兩個點叫作區(qū)間端點.不含端點的區(qū)間叫作開區(qū)間，如圖2-1中，集合｛x︱1＜x＜3｝即表示的是開區(qū)間，記作（1，3）.其中1表示區(qū)間的左端點，3表示區(qū)間的右端點.在數(shù)軸上表示區(qū)間時，開區(qū)間的兩個端點用空心點表示（見圖2-1）.第二節(jié)區(qū)間含有兩個端點的區(qū)間叫作閉區(qū)間，如圖2-2中，集合｛x︱1≤x≤3｝表示的區(qū)間即為閉區(qū)間，記作［1，3］.在數(shù)軸上表示閉區(qū)間時，其兩個端點用實心點表示.圖2-2第二節(jié)區(qū)間只含左端點的區(qū)間叫作右半開區(qū)間，如集合｛x︱1≤x＜3｝表示的區(qū)間即為右半開區(qū)間，記作［1，3）；只含右端點的區(qū)間叫作左半開區(qū)間，如集合｛x︱1＜x≤3｝表示的區(qū)間即為左半開區(qū)間，記作（1，3］.第二節(jié)區(qū)間已知集合A=（0，3），B=［1，5），求A∪B，A∩B.解集合A、B用數(shù)軸表示如圖2-3所示，由圖可看出A∪B=（0，5），A∩B=［1，3）.

【例1】圖2-3第二節(jié)區(qū)間課堂練習已知集合A=［-1，3），B=(0，5），求A∪B，A∩B.第二節(jié)區(qū)間無限區(qū)間二、集合｛x︱x＞3｝可在數(shù)軸上表示如圖2-4所示.圖2-4“+∞”與“-∞”只是符號，而不是表示具體的數(shù).學習提示第二節(jié)區(qū)間將實數(shù)集R看成一個大區(qū)間，怎么用區(qū)間來表示呢？表示出的是閉區(qū)間還是開區(qū)間？想一想第二節(jié)區(qū)間由圖2-4可以看出，集合｛x︱x＞3｝表示的區(qū)間的左端點為3，沒有右端點，這時可將其記作（3，+∞），其中“+∞”讀作“正無窮大”，表示右端點可以沒有具體的數(shù)，可以任意大.同樣，集合｛x︱x＜3｝表示的區(qū)間可記作（-∞，3），其中“-∞”讀作“負無窮大”.第二節(jié)區(qū)間集合｛x︱x≥3｝表示的區(qū)間為［3，+∞），是右半開區(qū)間；集合｛x︱x≤3｝表示的區(qū)間為（-∞，3］，是左半開區(qū)間.由上可以看出，一般可以用區(qū)間來表示的集合用區(qū)間表示會更方便.第二節(jié)區(qū)間已知全集為實數(shù)集R，集合A=（-∞，4），B=［1，6），求：（1）A∪B，A∩B；（2）A，B；（3）B∩A.解集合A、B在數(shù)軸上表示如圖2-5所示.

【例2】圖2-5第二節(jié)區(qū)間課堂練習1.已知集合A=（-∞，2］，B=（-∞，4），求A∩B，A∩B.2.設全集為R，集合A=（0，3］，B=（2，+∞），求（1）CA，CB；（2）A∩CB.第三節(jié)一元二次不等式及解法觀察下面兩個不等式：（1）x2-2x+1＞0；（2）x2-3x+10≤0.可以看出，這兩個不等式的共同特點是：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）未知數(shù)x的最高次數(shù)都是2.

一般地，像上述那樣，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式，叫作一元二次不等式，它的一般形式為ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c為常數(shù)，且a≠0.第三節(jié)一元二次不等式及解法上述一元二次不等式的一般形式的左邊恰好是自變量為x的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式.下面我們將通過實例來研究一元二次不等式的解法，以及它與相應的函數(shù)、方程之間的關系.例如，求不等式x2-x-2＞0與x2-x-2＜0的解集.

首先，解方程x2-x-2=0得x1=-1，x2=2.第三節(jié)一元二次不等式及解法然后，畫出函數(shù)y=x2-x-2圖像，如圖2-6所示.圖2-6第三節(jié)一元二次不等式及解法由圖2-6可看出：（1）函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸的交點為（-1，0）和（2，0），這兩點的橫坐標恰好是方程x2-x-2=0的兩個解；（2）當x=-1或x=2時，函數(shù)圖像與x軸相交，y=0；（3）當-1＜x＜2時，函數(shù)圖像位于x軸下方，y＜0；（4）當x＜-1或x＞2時，函數(shù)圖像位于x軸上方，y＞0.第三節(jié)一元二次不等式及解法第三節(jié)一元二次不等式及解法第三節(jié)一元二次不等式及解法由上可知，可以利用一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像來解一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0，一般可分為如下三種情況：（ⅰ）當方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2（x1＜x2），此時函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸有兩個交點，即（x1，0）、（x2，0），如圖2-8（a）所示，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為（-∞，x1）∪（x2，+∞）;不等式ax2+bx+c＜0的解集為（x1，x2）.第三節(jié)一元二次不等式及解法如果一元二次不等式中的二次項系數(shù)是負數(shù)，即a＜0，則可以根據不等式的性質，將不等式兩邊同乘以-1，使其二次項系數(shù)化為正數(shù)，然后再求解.學習提示第三節(jié)一元二次不等式及解法（ⅱ）當方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根，此時函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸沒有交點，如圖2-8（b)所示，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為實數(shù)集R，不等式ax2+bx+c＜0的解集為?.圖2-8第三節(jié)一元二次不等式及解法（ⅲ）當方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x0，此時函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸只有一個交點，即（x0，0），如圖2-8(c)所示，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為（-∞，x0）∪（x0，+∞），不等式ax2+bx+c＜0的解集為?.第三節(jié)一元二次不等式及解法不等式x2+x-2≥0的解集是什么？不等式x2+x-2≤0的解集是什么？想一想第三節(jié)一元二次不等式及解法解下列一元二次不等式：（1）x2+x-2＞0；（2）x2+x-2＜0.解方程x2+x-2=0的判別式為Δ=12-4×1×（-2）=9＞0，解方程得x1=-2，x2=1.（1）不等式x2+x-2＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）；（2）不等式x2+x-2＜0的解集為（-2，1）.

【例1】第三節(jié)一元二次不等式及解法不等式-x2-3x-5≥0的解集與不等式x2+3x+5≤0的解集有什么區(qū)別？思考與討論第三節(jié)一元二次不等式及解法課堂練習1.解下列一元二次不等式.（1）x2-x≥0；（2）x2-3x+2>0.2.當x為何值時，6+x-x2有意義.第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式分式不等式一、第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式【例1】第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式課堂練習第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式絕對值不等式二、在初中我們已經學過，對任意實數(shù)x，都有︱x︱≥0，且有︱x︱的幾何意義是在數(shù)軸上表示實數(shù)x的點到原點的距離.

絕對值符號內含有未知數(shù)的不等式叫作含絕對值的不等式.第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式1.根據絕對值的幾何意義，不等式︱x︱＞1表示的是數(shù)軸上到原點的距離大于1的所有點的集合，在數(shù)軸上表示如圖2-9（a）所示；︱x︱＜1表示的是數(shù)軸上到原點的距離小于1的所有點的集合，在數(shù)軸上表示如圖2-9（b）所示.圖2-9第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式由圖2-9（a）可看出，不等式︱x︱＞1的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）；由圖2-9（b）可看出，不等式︱x︱＜1的解集為（-1，1）.一般地，不等式︱x︱＞a（a＞0）的解集為（-∞，-a）∪（a，+∞），不等式︱x︱＜a（a＞0）的解集為（-a，a）.第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式【例3】第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式課堂練習解下列不等式：（1）1-︱x︱≤0；（2）3︱x︱-2≥0.第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式2.對于︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式可以轉化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型來求解.例如，解不等式︱2x+1︱＜1，可先設2x+1=m，則不等式︱2x+1︱＜1可化為︱m︱＜1，可解得-1<m<1，即-1<2x+1<1，根據不等式的性質可得-1<x<0，第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式則原不等式︱2x+1︱＜1的解集為（-1，0）.像上述那樣，將︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式轉化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式來求解的方法稱為“變量替換法”或“換元法”，即用新的簡單的變量（如上述的“m”）來替換原來的變量（如上述的“2x+1”），從而將復雜的問題簡單化.在實際的運算過程中，變量替換的過程可以省略不寫.第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式不等式︱2-x︱＞5的解集與不等式︱x-2︱＞5的解集一樣嗎？想一想第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式解不等式︱2-x︱＞5.解由原不等式可得2-x＞5或2-x＜-5，解得x＜-3或x＞7，所以不等式︱2-x︱＞5的解集為（-∞，-3）∪（7，+∞）.

【例4】第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式【例5】第四節(jié)分式不等式和絕對值不等式課堂練習解下列各不等式：（1）|2x+7|>1；（2）2≤|1-x|.第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念線性規(guī)劃是運籌學中研究最早、發(fā)展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支.它是輔助人們進行科學管理的一種數(shù)學方法.在經濟管理、交通運輸、工農業(yè)生產等經濟活動中，提高經濟效益是人們不可缺少的要求，而提高經濟效益一般通過兩種途徑：一是技術方面的改進，如改善生產工藝、使用新設備和新型原材料等；二是生產組織與計劃的改進，即合理分配人力、物力、財力等資源.第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念引例1某工廠需要生產甲、乙兩種產品，這兩種產品都需要A原料和B原料.已知每一件甲產品需要A原料10kg和B原料15kg，每一件乙產品需要A原料12kg和B原料8kg.現(xiàn)在該工廠共有A原料300kg和B原料250kg，見表2-2.甲產品獲利200元，乙產品獲利150元，則該工廠生產甲、乙產品各多少件時才能保證利潤最大？第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念分析

設該工廠生產甲產品x件，乙產品y件，可獲利潤為Z元，則Z=200x+150y.（1）由于生產一件甲產品需要A原料10kg，生產一件乙產品需要A原料12kg，而該工廠共有A原料300kg，這是一個限制產量的條件，因此在確定甲、乙產品的產量時，必須考慮A原料的用量不能超過該工廠的總量，即可用不等式表示為10x+12y≤300.（2）第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念同理，由于生產一件甲產品需要B原料15kg，生產一件乙產品需要B原料8kg，而該工廠共有B原料250kg，可以用不等式表示為15x+8y≤250.（3）又由于產品的產量x,y不可能為負數(shù)，且都是產品的件數(shù)，所以x≥0,y≥0，且x,y都為整數(shù).（4）第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念因此，問題變?yōu)樵鯓舆x擇x,y，在滿足上述一系列限制條件下，使得利潤Z取得最大值，即滿足10x+12y≤300,15x+8y≤250,x≥0,y≥0,且x,y為整數(shù)

（5）的x,y，使得利潤Z=200x+150y取得最大值.這個最大值通常記為maxZ=200x+150y.第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念引例1中，甲、乙產品的生產量x,y稱為決策變量.式（5）中的幾個不等式稱為約束條件.由于這組約束條件都是關于x,y的一次不等式，所以又稱為線性約束條件.Z關于x,y的函數(shù)式（1）稱為目標函數(shù).一般地，制約變量取值的關于x,y的二元一次不等式組稱為線性約束條件.函數(shù)式（1）就是引例1中的目標函數(shù)，不等式組（5）就是引例1的線性約束條件，則引例1就是求目標函數(shù)Z=200x+150y在線性約束條件（5）下的最大值問題.滿足線性約束條件（5）的變量x,y的值有許多組.例如，x=1,y=2和x=3,y=5就是兩組解.第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念

max表示最大的意思，是英文maximum的縮寫.學習提示第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念引例2某工廠現(xiàn)有兩種大小不同規(guī)格的鋼板可截成A,B,C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)見表2-3.第五節(jié)線性規(guī)劃的有關概念某顧客需要A,B,C三種規(guī)格的成品分