2021年秋季高一新生入學分班考試數學試卷（全國）02

一、選擇題

1.如圖所示幾何體的左視圖是（）

B.

D.

2.如圖，AB//CD,AABE=60°,ZD=50°,則N0EP的度數為（）

A.110°B.30°C.20°D.10°

3.下列運算正確的是（）

A.J（—5）2=—5B.（—―）-2=16C.人丁_X2D.（。=

4.如圖，數軸上點P表示的數可能是（

P

1I_____I_____I_____I?1

-2-10123

A.72B.74C.75D.Vio

5.下列四個數中，最大的數是（）

A.1B.0C.|-2|D.-3

6.4月24日是中國航天日，1970年的這一天，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星

“東方紅一號”成功發射，標志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道，距地球最近點4

39000米，將439000用科學記數法表示應為（）

A.0.439x106B.4.39x106C.4.39x105D.439x1（）3

7.某企業車間有50名工人，某一天他們生產的機器零件個數統計如表：

零件個數（個）678

人數（人）152213

表中表示零件個數的數據中，眾數、中位數分別是（）

A.7個，7個B.7個，6個C.22個，22個D.8個，6個

2x

8.小明把分式方程一=——去分母后得到整式方程X?-2x-8=（）,由此他判斷該分式方

xx-4

程只有一個解.對于他的判斷，你認為下列看法正確的是（）

A.小明的說法完全正確B.整式方程正確，但分式方程有2個解

C.整式方程不正確，分式方程無解D.整式方程不正確，分式方程只有1個解

9.如圖，△ABC的三個頂點分別為A（l,2）、B（4,2）、C（4,4）.若反比例函數y=七在第

X

一象限內的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是（）

10.如圖，在RQABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=15,將△ABC繞點B順時針旋轉

60°,得到ABDE,連結DC交AB于點F,則△ACF與△BDF的周長之和為（）

B.50C.55D.60

二、填空題

11.分解因式：a2-l=―-

12.不透明袋子中裝有除顏色外都相同的8個小球，其中白球5個，黑球3個.從中任意摸

出一球恰為白球的概率為.

尤24

13.計算：—+——=.

x—22—x

14.“雞兔同籠”是我國古代數學名著《孫子算經》上的一道題：今有雞兔同籠，上有四十三

頭，下有一百零二足，問雞兔各幾何？若設籠中有雞x只，兔y只，則可列出的二元一次方

程組為.

15.如圖所示，在10x10的正方形網格中有一半徑為5的圓，一條折線將它分成甲、乙兩

部分.S甲表示甲的面積，則5甲=.

16.己知，如圖，AABC中，ZB=30°,BC=6,AB=1,。是BC上一點，BD=4,

E為BA邊上一動點,以OE為邊向右側作等邊三角形.

A

(1)當尸在A3上時，BF長為；

(2)連結CE,則CF的取值范圍為

三、解答題

17.(1)計算：V12-(4-^)0+cos60o-|^-3|

+4m+2廣

（2）先化簡，再求值:m-\----R---'其中加=&一2

m

18.如圖，AD與BC交于。點,NA=NC,A0=4,CO=2,CD=3,求A5的長.

19.完全相同的4個小球，上面分別標有數字1,-1,2,-2,將其放入一個不透明的盒

子中搖勻，在從中隨機摸球兩次（第一次摸出球后放回搖勻）.把第一次，第二次摸到的球

上標有的數字分別記作〃?，n,以機，〃分別作為一個點的橫坐標與縱坐標，求點（m,〃）

不在第二象限的概率.（用樹狀圖或列表法求解）

20.如圖，將。ABCD的邊AB延長到點E,使BE=AB,連接DE,交邊BC于點F.

(1)求證：△BEF^ACDF；

(2)連接BD、CE,若NBFD=2NA,求證：四邊形BECD是矩形.

21.在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=gx與雙曲線>=：的一個交點是A(2,a).

(1)求女的值；

(2)設點P(m,〃)是雙曲線丁=:上不同于A的一點，直線Q4與X軸交于點89,0).

①若〃2=1,求。的值；

②若PB=2AB，結合圖象，直接寫出b的值.

22.已知拋物線y=Y—（2，〃-2）x+/-2w（其中優為常數）

（1）求證：不論加為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；

⑵若（2人乂），（2加+1,%）兩點在拋物線上，試比較X—%與0的大??；

（3）若該拋物線在的部分與直線y=-2/nx+/”2+1有兩個公共點，試求出用的

取值范圍.

23.

（問題情境）已知矩形的面積為。（。為常數，a>0）,

當該矩形的長為多少時，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

（數學模型）設該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數表達式為y=>0）.

（探索研究）小彬借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+1的圖象性質.

X

（1）結合問題情境，函數y=x+，的自變量x的取值范圍是x>0,

X

下表是y與工的幾組對應值.

￡1

X123m.??

435

y4-3-2-22-3-4-

432234

①m=_____

②畫出該函數圖象，結合圖象，得出當元=時，y有最小值，為小=:

（解決問題）

（2）直接寫出“問題情境”中問題的結論.

0\i234X

24.給出如下定義：有一組對角互余的凸四邊形叫對余四邊形.

證明:

(1)如圖1,MN是0。的直徑，點A、B、。在上，AM，CN相交于點。.求

圖2

(2)如圖2,在對余四邊形ABCD中，AB=BC,BD、AC為對角線，BD=6BC，

試探究線A。、AC和CO之間的數量關系，并說明理由.

拓展：

(3)已知，在AABC中，AB=AC=4,ZA=90°,。為AABC外一點，且四邊形ABC。

為對余四邊形，試求出對角線3。的最大值.

2021年秋季高一新生入學分班考試數學試卷（全國）02

一、選擇題

1.如圖所示幾何體的左視圖是（）

正面

【答案】c

圖中幾何體的左視圖如圖所示:

因

故選C.

2.如圖，AB//CD,ZABE=60°,ZD=50°,則ZDER的度數為（）

A.110°B.30°C.20°D.10°

【答案】D

解：?.?AB//C。，ZABE=60°,

?CFE?ABE60?,

=50°,且NCTE為尸的外角，

NDEF=ACFE-ZD=10°,

故選：D.

3.下列運算正確的是()

A.J(一5)2=-5B.(-1)-2=16C.X64-X3=X2D.(x3)2=x5

【答案】B

A.J(—5)2=后=5，故A錯誤：

B.(-1)-2=16,故B正確；

c.x6+x3=v，故C錯誤；

D.(d)2=j6,故D錯誤；

故選B.

4.如圖，數軸上點P表示的數可能是()

■■■■■P■,

-2-10123

A.6B.74C.括D.V10

【答案】C

解：1V0＜2,故A選項不符合題意；

74=2,故B選項不符合題意：

2〈逐＜3,故C選項符合題意；

3＜加＜4,故D選項不符合題意；

故選C.

5.下列四個數中，最大的數是()

A.1B.0C.|-2|D.-3

【答案】C

最大的數是卜2|=2,

故選C.

6.4月24日是中國航天日，1970年的這一天，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛星

“東方紅一號”成功發射，標志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道，距地球最近點4

39000米，將439000用科學記數法表示應為()

A.0.439x106B.4.39x106C.4.39X105D.439x1O3

【答案】C

解：將439000用科學記數法表示為4.39X105.

故選：C.

7.某企業車間有50名工人，某一天他們生產的機器零件個數統計如表:

零件個數（個）678

人數（人）152213

表中表示零件個數的數據中，眾數、中位數分別是（）

A.7個，7個B.7個，6個C.22個，22個D.8個，6個

【答案】A

根據題意，這組數據中的7出現22次，且次數最多，故這組數據的眾數是7個，

這組數據中共有15+22+13=40個數據，居中的兩個數分別是7和7,

故這組數據的中位數是=7個，

2

故選：A.

2x

8.小明把分式方程一=一:去分母后得到整式方程/一2彳一8=0,由此他判斷該分式方

xx-4

程只有一個解.對于他的判斷，你認為下列看法正確的是（）

A.小明的說法完全正確B.整式方程正確，但分式方程有2個解

C.整式方程不正確，分式方程無解D.整式方程不正確，分式方程只有1個解

【答案】C

2x

解：???分式方程一=--去分母后得到整式方程X2-2X+8=0.

xx-4

?.?△=4—32=-28<0,

二方程V—2x+8=0無實數根，

2x

...方程一=——無解，

xx-4

故整式方程不正確，分式方程無解，

故選：C.

9.如圖，△ABC的三個頂點分別為A(l,2)、B(4,2)、C(4,4).若反比例函數y=人在第

X

一象限內的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是()

B.2<k<8C.2<k<16D.8<k<16

【答案】C

k

由于AABC是直角三角形，所以當反比例函數>=一經過點A時k最小，進過點C時k最

x

大，據此可得出結論.

?.?△ABC是直角二角形，.?.當反比例函數y=4經過點A時k最小，經過點C時k最大，

x

；.k*/=1x2=2,k"氏=4x4=16,.?.2WkW16.故選C.

10.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=15,將△ABC繞點B順時針旋轉

60°,得到ABDE,連結DC交AB于點F,則△ACF與△BDF的周長之和為()

A.48B.50C.55D.60

【答案】C

：AC=8,BC=15,/ACB=90°,

.".AB=7AC2+BC2=17'

:將AABC繞點B順時針旋轉60°,得到ABDE,

ZCBD=60°,BC=BD,

.,.△BCD是等邊三角形，

；.CD=BC=I5,

.'.△ACF-^ABDF的周長之和=AC+CF+DF+AF+BF+BD=AC+CD+AB+BD=55.

故選：C.

二、填空題

11.分解因式：?2-1=

【答案】(a+l)(a—1).

解：a?-1=(a+l)(a—1).

故答案為：(a+l)(a—1)

12.不透明袋子中裝有除顏色外都相同的8個小球，其中白球5個，黑球3個.從中任意摸

出一球恰為白球的概率為.

【答案】|

解：??,不透明袋子中裝有除顏色外都相同的8個小球，其中白球5個，黑球3個..?.攪勻后

從中任意摸出1個球，摸到黑球的概率為：|,

故答案為：一.

8

尤24

13.計算：—+—=.

x—22,-x

【答案】x+2

V24X24_X2-4_(x+2)(x-2)

解：—+—x+2,

X—22-xx~~2,x—2,x—2,x—2,

故答案為：x+2.

14.“雞兔同籠”是我國古代數學名著《孫子算經》上的一道題：今有雞兔同籠，上有四十三

頭，下有一百零二足，問雞兔各幾何？若設籠中有雞x只，兔》只，則可列出的二元一次方

程組為

x+y=43

【答案】《

2x+4y=102

x+y=43

解：根據題意可得：＜

2x+4y=102

%+y=43

故答案為:

2x+4y=102

15.如圖所示，在10x10的正方形網格中有一半徑為5的圓，一條折線將它分成甲、乙兩

部分.S甲表示甲的面積，則$=

■——■25K

【答案】—.

2

解：如圖示，各個交點分別用AB,C,D,E,F,G,”表示,

=

則，正方形網格中,%=%'SQ=SRE,SVM；=S'GAB,S7GBe~^VGFC，^VFCE^VECD，

S甲=S旃++SyAHG+SVGFC+SVFCE,S乙=S次+S*+S\，GNB+SyGBC+5V￡CD,

S甲-；卯旨2=*

故答案是：.

2

16.己知，如圖，△ABC中，ZB=30°,BC=6,AB=7,。是8c上一點，BD=4,

E為BA邊上一動點、,以。E為邊向右側作等邊三角形△￡>￡/.

A

(1)當尸在AB上時，BF長為；

(2)連結CT,則CT的取值范圍為

【答案】1<CF<277

(1)如圖1,當F在AB上時，

,:ADEF為等邊三角形,

4DFE=&)。.

ZB=30°，

/BDF=90°，

.口口2石Rn2石.8石

??BF=-----BD=------x4=---

333

故答案是：見I.

(2)如圖，以CO為邊作等邊ACDG,連接CF、EG

???ADEF和△DCG都是等邊三角形

DE=DF,DC=DG,ZEDG=ZFDC

：.4EDGQAFDC

:.EG=FC

A

BDC

???E在48上運動

，當E點與B點重合時，EG最大，即FC最大，如圖2

當EGLAB時，EG最小，即尸C最小，如圖3

在圖2中，過F點作由

?.?△BOE是等邊三角形，FH±BC

BH=HD,NFDH=60°

BD=4

BH=DH=2,FH=DHxtan60。=26

\BC=6

；.CH=BC-BH=4

：.CF=>JFH2+CH2=2不

在圖3中EG，A3即CE_LA3

BC=6,ZB=30°

:.CE=BCxsin3Q0=3

???△DCG是等邊三角形，BD=4

:.CG=CD=BC—BD=2

:.EG=CE—CG=1

CF=\

?^.CF的取值范圍是：14C尸42近

故答案是：IWCFW2幣.

,A

三、解答題

17.(1)計算：Vi2-(4-^)(，+cos60o-|V3-3|

(2)先化…簡.'再求,值_：(Sf4/nH+4]+Rm+'2其…中，加=3l-2

7

【答案】(1)373--；(2)m2+2m,2-2y/2.

解：(1)原式=26—1+4-3+百=36—1；

22

nr+4m+4/n+2

(2)原式=

mm2

_(m+2)2團2

mm+2

=m(m+2)

=7772+2m

〃z=加一2時，

原式二(V^-2)+2(V^-2)=6—4^2+2-72—4=2—2>j2?

18.如圖，AD與3c交于。點，ZA=ZC,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的長.

【答案】6

VZA=ZC.ZAOB=NCOD,

:,AAOBS&COD.

.AOAB

"^O~CD

；AO=4,CO=2,CD=3,

''AB-6-

19.完全相同的4個小球，上面分別標有數字1,-1,2,-2,將其放入一個不透明的盒

子中搖勻，在從中隨機摸球兩次（第一次摸出球后放回搖勻）.把第一次，第二次摸到的球

上標有的數字分別記作",以"3〃分別作為一個點的橫坐標與縱坐標，求點（in,n）

不在第二象限的概率.（用樹狀圖或列表法求解）

3

【答案】--

4

解：如圖所不：

n1-12-2

m

1(1,1)(-1,1)(2,1)(-2,1)

-1(1,-D(-1,-1)(2,-1)(-2,-1)

2(1,2)(-1,2)(2,2)(-2,2)

-2(1,-2)(-1,-2)(2,-2)(-2,-2)

123

根據表格可得:共有16種情況,不在第二象限的有12種情況,則P（不在第二象限）=7=

164

20.如圖，將。ABCD的邊AB延長到點E,使BE=AB,連接DE,交邊BC于點F.

（1）求證：ABEFgACDF；

（2）連接BD、CE,若NBFD=2NA,求證：四邊形BECD是矩形.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

證明：（1）???四邊形ABC。是平行四邊形

J.AB^CD,AB//CD,

又

BE=DC,

又,：hEHCD、

：.四邊形BECD為平行四邊形：

（2）由（1）知，四邊形BE8為平行四邊形

：.FD=FE,FC=FB,

■：四邊形ABCD為平行四邊形，

NA=4CD

又YNB尸0=24,/BFD=/FCD+/FDC,

：.AFCD=ZFDC,

：.FC=FD,

：.FC+FB=FD+FE,

即BC=ED,

二平行四邊形BECD為矩形.

1L

21.在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=一》與雙曲線＞=一的一個交點是A（2,a）.

（1）求女的值；

（2）設點尸（加，〃）是雙曲線y=：上不同于A的一點，直線Q4與大軸交于點8（仇0）.

①若加=1,求〃的值；

②若PB=2AB,結合圖象，直接寫出b的值.

【答案】(1)k=2.(2)?b=3；②〃=1或3.

1L

(1)???直線y=7rx與雙曲線y=一的一個交點是A(2,a),

2x

a=x2=l,

2

AA(2,1),

k=2xl=2；

(2)①若m=l,則P(1,n),

?:點P(1,n)是雙曲線y=1上不同于A的一點,

X

.,.n=k=2,

：.P(1,2),

VA(2,1),

則宜線PA的解析式為y=-x+3,

;直線PA與x軸交于點B(b,0),

/.0=-b4-3,

/.b=3；

VPB=2AB,A(2,1),

，P點的縱坐標時2,

2

代入y=一求得x=l,

x

；.P(I,2),

由①可知，此時b=3：

如圖2,當P在第，三象限時，

VPB=2AB,A(2,1),

，P點的縱坐標時-2,

2

代入y=—求得X—I,

x

：.P(-1,-2),

VA(2,1)

則直線PA的解析式為y=x-l,

；.b=l,

綜上，b的值為3或1.

22.已知拋物線y=f-(2加—2)X+M-2〃2(其中s為常數)

(1)求證：不論加為何值，該拋物線與％軸一定有兩個公共點；

(2)若(2%y),(2〃?+1,%)兩點在拋物線上，試比較%一％與0的大小；

(3)若該拋物線在的部分與直線y=-2，加+/??+1有兩個公共點，試求出加的

取值范圍.

333

【答案】(1)見解析；(2)當加〈一,時，弘一%>°；當加=一]時，x—%=0；當相>一/

時，又—>2<°；(3)

(I)當y=0時.，X2—(2m—2)x+/zt2-2m=0,

，判別式△=[—(2加-2)1—4(/7?2—2m)=4>0,

...不論m為何值，該拋物線與無軸一定有兩個公共點.

(2)V(2m,y^,(2加+1,%)兩點在拋物線上，

222

/.必=(2m)-2m(2m-2)+in'-2m,y2=(2m+1)-(2m-2)(2/n+l)+/n-2m,

yt-y2=-2m-3,

3

當—2相—3=0時，m=----，

2

V-2<0,

???y-必的值隨m的增大而減小，

33

J當相>一5時，yy-y2<0,當機<一耳時，,一%>0,

333

綜上所述：當相〈一,時，％一%>°；當根=一/時，弘一必=0；當mA-,時，

X-%<0.

（3）?.?該拋物線在-4WxW1的部分與直線y=-2mx+m2+1有兩個公共點，

方程V—（2加一2萬+加—2〃?=一2郎+加2+1有兩個不相等的實數根，且在TWxW1

之間，

整理得：x2+2x-2m-l=0.

22-4（-2W-1）>0

.「（一4『+2x（-4）—2加-120,

12+2X1-2/M-1>0

7

解得-

2

-<

-1<m<1.

23.（問題情境）

已知矩形的面積為a（。為常數，a>0）,當該矩形的長為多少時，它的周長最?。孔钚?/p>

值是多少？

（數學模型）

設該矩形的長為”,周長為y,則y與x的函數表達式為y=2x+f（x〉o）.

（探索研究）

小彬借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+L的圖象性質.

X

(1)結合問題情境，函數y=x+—的自變量x的取值范圍是x>0,

x

下表是y與x的幾組對應值.

j_￡

X123m

432

y4-3-2-22-3-4-.??

432234

?m=；

②畫出該函數圖象，結合圖象，得出當％=時，y有最小值，y最小=

(解決問題)

(2)直接寫出“問題情境''中問題的結論.

【答案】(1)①4;②畫函數圖象見解析，1,2；(2)當矩形的長為JZ時，它的周長最小,

最小值是4G.

解：(I)①令尸41，則4—=m+—,解得44；故填4；

44m

x+1—2x+1

?y=x+—=--+2=^——二

XX