菱形的判定專項練習30題1.(1)根據題意，易知BA=AD=DC=BC，且BE=EC，因此△ABE和△ECD是等腰三角形，∠AEB=∠DEC，又因為AD∥BC，所以∠AED=∠BEC，因此△AED和△BEC全等，所以AE=BE，同理可得DE=CE，因此四邊形ABED是菱形。(2)因為BD=4cm，且BA=AD，所以△ABD是等腰直角三角形，AB=AD=√2×BD=√2×4=4√2，又因為AF⊥BC，所以∠AFC=90°，因此△AFC和△ABD相似，AF/AB=AC/AD=1/√2，所以AF=AB/√2=2√2。2.連接OM，ON，由BM=MO，AO=ON，得BM=ON，又因為AC⊥BD，所以△AOC和△BOD相似，因此AC/BD=AO/BO=ON/OD=1/2，所以BC=2DN。3.(1)因為AB=AC，且DE和EF分別是BC和AC的中線，所以DE=EF=FC=BF，因此四邊形AEDF是菱形。(2)因為AB=AC=12cm，且四邊形AEDF是菱形，所以周長為4AE=4×6=24cm。4.(1)因為BE=BP，且EF∥BD，所以△BPF和△BCE相似，因此∠E=∠F。(2)因為BE=BP，且∠E=∠F，所以四邊形ABCD是菱形。5.(1)因為AE∥CF，所以△ABF和△AEC相似，因此AF/AC=BF/EC，又因為AC=2AD，所以AF=DC。(2)因為∠BAC=90°，所以四邊形AFBD是菱形。6.因為BD平分∠ABC，所以△ABD和△CBD相似，因此AB/BC=BD/BD=1，所以AB=BC，又因為對角線互相平分，所以四邊形ABCD是菱形。7.因為△ABC和△ABF全等，所以∠FAC=30°，又因為△DEC是沿著AB翻轉得到的，所以∠DEC=∠BAC=90°，因此△DEC和△ABC相似，因此DE/AB=EC/AC=1/2，所以AD=2DG，同理可得CE=2GH，因此四邊形ADCE是菱形。四邊形ABCG是平行四邊形，因為AF∥CE，所以∠BFC=∠BAC=90°，因此四邊形ABCG是矩形。8.因為DE⊥AB，DF⊥BC，且DE=DF，所以四邊形ABCD是菱形。9.(1)因為DE∥BC，所以∠B=∠ADE，又因為AE=AD，所以△ADE是等腰三角形，因此∠AED=∠ADE=∠B/2，因此∠A=180°-2∠B，又因為EH=EC，所以∠HCE=∠B，因此∠GCB=∠AED=∠B/2，因此∠GCE=∠B/2，又因為AE∥FG，所以∠GCE=∠FAD=∠A/2，因此∠GCB=∠GCE，所以△GCB是等腰三角形，因此BC=BG=2DN。(2)四邊形ADFE是平行四邊形，因為AD∥FE，DE∥AF，且DE=AF，所以四邊形ADFE是菱形。10.(1)因為AC⊥CD，所以∠AFC=90°，又因為AE是∠BAC的平分線，所以∠EAF=∠CAF，因此△AEG和△AEC相似，因此AE/AC=EG/EC，又因為AC=CD，所以AE/CD=EG/EC，因此AE=CD，又因為AD=AB，所以∠AED=∠AEB=∠DEC，因此四邊形GECF是菱形。(2)∠CEF=∠BAC/2=45°，因此△CEF是等腰直角三角形。(3)因為∠AEC=∠GEC=∠FCE，且AE=EC=FC，所以四邊形GECF是菱形。11.因為AB=AC，且D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，所以DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，因此四邊形DEFC是平行四邊形，因為DE=FC，且∠B=∠C，所以四邊形DEFC是菱形。12.在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分別為AD、BC、BD、AC的中點。我們要證明四邊形MENF是菱形。13.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE。我們要證明四邊形ABED是菱形。14.在△ABC中，AB=AC，M、O、N分別是AB、BC、CA的中點。我們要證明四邊形AMON是菱形。15.在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F。我們要證明四邊形AEFG是菱形。16.矩形ABCD繞其對角線交點旋轉后得矩形AECF，AB交EC于點N，CD交AF于點M。我們要證明四邊形ANCM是菱形。18.已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。我們要判斷四邊形AEDF是否為菱形。19.在△ABC中，BD是角平分線，EF是BD的垂直平分線，且交AB于E，交BC于點F。我們要證明四邊形BFDE是菱形。20.在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F。我們要證明四邊形AFCE是菱形。21.在矩形ABCD中，EF垂直平分BD。(1)我們要判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由。(2)已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周長。22.在?ABCD中，點E在BC上，AE平分∠BAF，過點E作EF∥AB。我們要證明四邊形ABEF為菱形。23.在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F。(1)我們要證明AECF是菱形。(2)我們要求四邊形AECF的面積。24.平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F。我們要判斷四邊形AFCE是否為菱形。25.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊AB和CD的延長線上的點，且BE=DF，連接EF交AC于O。(1)AC與EF是否互相平分？為什么？(2)連接CE和AF，再添加什么條件，四邊形AECF是菱形？為什么？解答：(1)我們可以使用向量法證明AC與EF互相平分。設向量$\vec{AB}=\vec{a}$，向量$\vec{BC}=\vec{b}$，則向量$\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$。又設向量$\vec{BE}=\lambda\vec{a}$，則向量$\vec{EF}=(1+\lambda)\vec{a}+\vec{b}$。由于BE=DF，所以向量$\vec{DF}=-\lambda\vec{a}+\vec{b}$。因此，向量$\vec{OF}=\vec{OC}+\vec{CF}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{EF}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}(1+\lambda)\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}$，向量$\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}+\lambda\vec{a}$。因此，向量$\vec{OF}-\vec{OE}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}$。又因為$\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$，所以$\vec{OF}-\vec{OE}=\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}$。因此，向量$\vec{OF}-\vec{OE}$與向量$\vec{AC}$平行，即AC平分EF。因此，AC與EF互相平分。(2)四邊形AECF是菱形的充要條件是AC平分EF且CE=AF。由于AC平分EF，所以$\vec{OF}-\vec{OE}=\frac{1}{2}\vec{AC}$，即$\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}=\vec{a}+\vec{b}$，即$\lambda=1$。因此，BE=DF=AB+AF，即四邊形AECF是菱形。26.已知：如圖，△ABC和△DBC的頂點在BC邊的同側，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分線交BC于O，延長EO到F，使EO=OF。求證：四邊形BFCE是菱形。解答：由于AB=DC，AC=BD，所以△ABC和△DBC是全等三角形。因此，∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠DCB。又因為∠BEC的平分線交BC于O，所以∠BEO=∠CEO，∠BFO=∠CFO。因此，∠BEC=∠BEO+∠CEO=2∠BEO=2∠CFO=∠BFO。因此，四邊形BFCE是菱形。27.如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，F和E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE。(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)請連接BF和CE，試判斷四邊形BECF是何種特殊四邊形，并說明理由；(3)在（2）下要使BECF是菱形，則△ABC應滿足何條件？并說明理由。解答：(1)因為D是BC邊的中點，所以BD=DC，因此△BDC是等腰三角形。又因為CF∥BE，所以∠BDE=∠DCF。又因為DE=DF，所以△BDE≌△CDF。(2)四邊形BECF是平行四邊形，因為CF∥BE，且BF=CE。(3)四邊形BECF是菱形的充要條件是BE=CF且∠BEC=90°。因為BF=CE，所以BECF是平行四邊形。又因為D是BC邊的中點，所以AD是BC邊的中線，因此AE=EC和AF=FB。因此，BE=AE+AB=EC+BC=CF。又因為CF∥BE，所以∠BEC=90°。因此，四邊形BECF是菱形。28.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE。(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；(2)當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論。解答：(1)因為∠ACB=90°，所以BC的垂直平分線DE是△ABC的中線，因此AD=DC，即AB=BC。又因為AF=CE，所以AE=BF。因此，四邊形ACEF是平行四邊形。(2)四邊形ACEF是菱形的充要條件是AC平分EF且AE=CE。因為∠ACB=90°，所以AC垂直于BC。因此，BC是AC的垂線。因為DE是BC的垂直平分線，所以DE也是AC的垂線。因此，DE平分AC。又因為F在DE上，且AF=CE，所以AE=CF。因此，AC平分EF且AE=CE。因此，當∠B=90°時，四邊形ACEF是菱形。29.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F。求證：四邊形AEDF是菱形。解答：因為AD是∠BAC的平分線，所以BD=DC，因此△ABD≌△ACD。又因為EF垂直平分AD，所以AE=ED=DF=FC。因此，四邊形AEDF是菱形。30.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。(1)探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；(2)當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？(3)當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由。解答：(1)因為MN∥BC，所以∠BON=∠COF。又因為∠BOC=2∠BAC，所以∠BON=∠COF=∠BAC。因此，OF平分∠BAC，即OF是∠BAC的平分線。又因為∠BAC=2∠EAF，所以OF是∠EAF的平分線。因此，OF平分∠AEO。同理，OE也平分∠AFO。因此，OE與OF相等。(2)四邊形AECF是正方形的充要條件是AE=CE且∠AEC=90°。因為OE與OF相等，所以E和F到OA的距離相等。因此，E和F在OA的垂線上。又因為MN∥BC，所以∠BAC=∠AEO=∠FEA。因此，△ABC和△AFE相似。因此，$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{2AE}$，即$AE^2=AB\timesAF$。因此，當點O在AC的中點時，且AB=AC時，四邊形AECF是正方形。(3)四邊形BCFE是菱形的充要條件是BE=CF且∠BEC=∠CFA。因為MN∥BC，所以∠BAC=∠AEO=∠FEA。因此，△ABC和△AFE相似。因此，$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{2AE}$，即$AE^2=AB\timesAF$。因此，當點O在AC的中點時，四邊形BCFE是菱形。但是，當AB≠AC時，BE和CF不相等，因此四邊形BCFE不是菱形。∴∠ADE=∠CDF=90°，又∵AE=CD，DE=DF，∴△ADE≌△CDF（HL），∴AD=CF，又∵∠DAB=∠BCF，∴∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，又∵AD=CF，∴四邊形ACDF是菱形。3.因為D，E分別是BC，AB的中點，所以DE∥AC且DE=AF=AC。同理，DF∥AB且DF=AE=AB。又因為AB=AC，所以DE=DF=AF=AE，因此四邊形AEDF是菱形。菱形AEDF的周長為4×6=24cm，因為E是AB中點，所以AE=AB=6cm。4.因為BE=BP，所以∠E=∠BPE。因為BC∥AF，所以∠BPE=∠F，因此∠E=∠F。因為EF∥BD，所以∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，因此∠ABD=∠ADB，所以AB=AD。因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以□ABCD是菱形。5.(1)因為E是AD的中點，所以AE=DE。因為AF∥BC，所以∠1=∠2。在△AEF和△DEC中，因為△AFE≌△DCE（AAS），所以AF=DC。(2)因為D是BC的中點，所以DB=CD=BC。因為AF=CD，所以AF=DB。因為AF∥BD，所以四邊形AFBD是平行四邊形。因為∠BAC=90°，D為BC中點，所以AD=CB=DB，因此四邊形AFBD是菱形。6.因為對角線BD平分∠ABC，所以∠1=∠2。因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DC，因此∠3=∠1，所以∠3=∠2，因此DC=BC。又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形。7.(1)因為將三角板沿著AB所在直線翻轉180°得到△ABF，所以△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，因此∠FAC=60°，所以AD=DC=AC。又因為△ABC≌△EFC，所以CA=CE。因為∠ECF=60°，所以AC=EC=AE，因此AD=DC=CE=AE，所以四邊形ADCE是菱形。(2)因為△ACD，△AFC是等邊三角形，△ACB≌△AFB，所以∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC為直角三角形，因此BC=AC。因為EC=CB，所以EC=AC，因此E為AC中點，所以DE⊥AC，因為AE=EC，所以AG∥BC，因此∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，因此△AEG≌△CEB，所以AG=BC，因此四