./1.編號1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學生坐一個座位,設與座位編號相同的學生的個數是X.〔1求隨機變量X的分布列；〔2求隨機變量X的數學期望和方差.解〔1P〔X=0==；P〔X=1==；P〔X=3==；∴隨機變量X的分布列為X013P〔2E〔X=1×+3×=1.D〔X=<1-0>2·+<1-1>2·+<3-1>2·=1.2某商場舉行抽獎促銷活動,抽獎規則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球,記下顏色后放回,摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現有甲、乙兩位顧客,規定：甲摸一次,乙摸兩次,令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求：〔1X的分布列；〔2X的均值.解〔1X的所有可能取值為0,10,20,50,60.P〔X=0==；P〔X=10=×+×××=;P<X=20>=×××=;P<X=50>=×=;P<X=60>==.故X的分布列為X010205060P〔2E〔X=0×+10×+20×+50×+60×=3.3<元>.3〔本小題滿分13分為了解甲、乙兩廠的產品質量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件,測量產品中的微量元素x,y的含量〔單位：毫克．下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081〔1已知甲廠生產的產品共有98件,求乙廠生產的產品數量；〔2當產品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時,該產品為優等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量；〔3從乙廠抽出的上述5件產品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產品中優等品數的分布列極其均值〔即數學期望。 解：〔1,即乙廠生產的產品數量為35件。〔2易見只有編號為2,5的產品為優等品,所以乙廠生產的產品中的優等品 故乙廠生產有大約〔件優等品,〔3的取值為0,1,2。 所以的分布列為012P 故4XX理18．〔本小題滿分12分某商店試銷某種商品20天,獲得如下數據：日銷售量〔件0123頻數1595試銷結束后〔假設該商品的日銷售量的分布規律不變,設某天開始營業時有該商品3件,當天營業結束后檢查存貨,若發現存貨少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率。〔Ⅰ求當天商品不進貨的概率；〔Ⅱ記X為第二天開始營業時該商品的件數,求X的分布列和數學期型。4．解〔I〔"當天商品不進貨"〔"當天商品銷售量為0件"〔"當天商品銷售量為1件"〔Ⅱ由題意知,的可能取值為2,3.〔"當天商品銷售量為1件"〔"當天商品銷售量為0件"〔"當天商品銷售量為2件"〔"當天商品銷售量為3件"故的分布列為23的數學期望為5、XX理16．〔本小題滿分12分某飲料公司招聘了一名員工,現對其進行一項測試,以使確定工資級別,公司準備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料,若4杯都選對,則月工資定為3500元,若4杯選對3杯,則月工資定為2800元,否則月工資定為2100元,令X表示此人選對A飲料的杯數,假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．〔1求X的分布列；〔2求此員工月工資的期望。．〔本小題滿分12分解：〔1X的所有可能取值為：0,1,2,3,4即X01234P〔2令Y表示新錄用員工的月工資,則Y的所有可能取值為2100,2800,3500所以新錄用員工月工資的期望為2280元.6、XX理〔19〔本小題滿分12分某農場計劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個品種〔分別稱為品種家和品種乙進行田間試驗．選取兩大塊地,每大塊地分成n小塊地,在總共2n小塊地中,隨機選n小塊地種植品種甲,另外n小塊地種植品種乙．〔I假設n=4,在第一大塊地中,種植品種甲的小塊地的數目記為X,求X的分布列和數學期望；〔II試驗時每大塊地分成8小塊,即n=8,試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產量〔單位：kg/hm2如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果,你認為應該種植哪一品種？附：樣本數據的的樣本方差,其中為樣本平均數．6．解：〔IX可能的取值為0,1,2,3,4,且即X的分布列為………………4分X的數學期望為………………6分〔II品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：………………8分品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：………………10分由以上結果可以看出,品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數,且兩品種的樣本方差差異不大,故應該選擇種植品種乙.7、XX理18．〔本小題滿分12分紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽,甲對A,乙對B,丙對C各一盤,已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設各盤比賽結果相互獨立。〔Ⅰ求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；〔Ⅱ用表示紅隊隊員獲勝的總盤數,求的分布列和數學期望.7．解：〔I設甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,則分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立,因此紅隊至少兩人獲勝的概率為〔II由題意知可能的取值為0,1,2,3。又由〔I知是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結果相互獨立,因此由對立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0．10．350．40．15因此20．解〔ⅠAi表示事件"甲選擇路徑Li時,40分鐘內趕到火車站",Bi表示事件"乙選擇路徑Li時,50分鐘內趕到火車站",i=1,2．用頻率估計相應的概率可得P〔A1=0．1+0．2+0．3=0．6,P〔A2=0．1+0．4=0．5,P〔A1＞P〔A2,甲應選擇LiP〔B1=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8,P〔B2=0．1+0．4+0．4=0．9,P〔B2＞P〔B1,乙應選擇L2．〔ⅡA,B分別表示針對〔Ⅰ的選擇方案,甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站,由〔Ⅰ知,又由題意知,A,B獨立,的分布列為X012P0．040．420．548、XX理18．〔本小題共12分本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費,超過兩小時的收費標準為2元〔不足1小時的部分按1小時計算。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。〔Ⅰ求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；〔Ⅱ求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量,求的分布列與數學期望；8．解析：〔1所付費用相同即為元。設付0元為,付2元為,付4元為則所付費用相同的概率為〔2設甲,乙兩個所付的費用之和為,可為分布列9、天津理16．〔本小題滿分13分學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球,乙箱子里裝有1個白球、2個黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎．〔每次游戲結束后將球放回原箱〔Ⅰ求在1次游戲中,〔i摸出3個白球的概率；〔ii獲獎的概率；〔Ⅱ求在2次游戲中獲獎次數的分布列及數學期望.9．本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識,考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.滿分13分.〔I〔i解：設"在1次游戲中摸出i個白球"為事件則〔ii解：設"在1次游戲中獲獎"為事件B,則,又且A2,A3互斥,所以〔II解：由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.所以X的分布列是X012PX的數學期望10XX理17．〔本小題滿分13分〔Ⅰ小問5分,〔Ⅱ小問8分某市公租房的房源位于A,B,C三個片區,設每位申請人只申請其中一個片區的房源,且申請其中任一個片區的房源是等可能的求該市的任4位申請人中：〔Ⅰ恰有2人申請A片區房源的概率；〔Ⅱ申請的房源所在片區的個數的分布列與期望10．〔本題13分解：這是等可能性事件的概率計算問題.〔I解法一：所有可能的申請方式有34種,恰有2人申請A片區房源的申請方式種,從而恰有2人申請A片區房源的概率為解法二：設對每位申請人的觀察為一次試驗,這是4次獨立重復試驗.記"申請A片區房源"為事件A,則從而,由獨立重復試驗中事件A恰發生k次的概率計算公式知,恰有2人申請A片區房源的概率為〔IIξ的所有可能值為1,2,3.又綜上知,ξ有分布列ξ123P從而有11.〔2008·全國Ⅰ理,20已知5只動物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗方案:方案甲:逐個化驗,直到能確定患病動物為止.方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只,然后再逐個化驗,直到能確定患病動物為止;若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.<1>求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率;<2>表示依方案乙所需化驗次數,求的期望.解〔1設1、2分別表示依方案甲和依方案乙需化驗的次數,P表示對應的概率,則方案甲中1的分布列為1234P方案乙中2的分布列為123P0若甲化驗次數不少于乙化驗次數,則P=P<1=1>×P<2=1>+P<1=2>×［P<2=1>+P<2=2>］+P<1=3>×［P<2=1>+P<2=2>+P<2=3>］+P<1=4>=0+×〔0++×〔0+++==0.72.<2>E〔=1×0+2×+3×==2.4.12.甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為與p,且乙投球2次均未命中的概率為.〔1求乙投球的命中率p；〔2若甲投球1次,乙投球2次,兩人共命中的次數記為,求的分布列和數學期望.解<1>設"甲投球一次命中"為事件A,"乙投球一次命中"為事件B.由題意得<1-P<B>>2=<1-p>2=,解得p=或p=〔舍去,所以乙投球的命中率為.〔2由題設和〔1知P<A>=,P<>=,P<B>=,P<>=.可能的取值為0,1,2,3,故P<=0>=P<>P<>=×=,P<=1>=P<A>P<>+P〔BP〔P〔=×+2×××=,P<=3>=P<A>P<B·B>=×=,P<=2>=1-P<=0>-P<=1>-P<=3>=.的分布列為0123P的數學期望E〔=0×+1×+2×+3×=2.13.設在12個同類型的零件中有2個次品,抽取3次進行檢驗,每次抽取一個,并且取出不再放回,若以和分別表示取出次品和正品的個數.〔1求的分布列、期望值及方差；〔2求的分布列、期望值及方差.解〔1的可能值為0,1,2.若=0,表示沒有取出次品,其概率為：P〔=0==;同理,有P〔=1==；P〔=2==.∴的分布列為：012P∴E〔=0×+1×+2×=.D〔=<0->2×+×+×=++=.<2>的可能值為1,2,3,顯然+=3.P<=1>=P<=2>=,P<=2>=P<=1>=,P<=3>=P<=0>=.∴的分布列為：123PE〔=E〔3-=3-E〔=3-=.∵=-+3,∴D〔=〔-12D〔=.14.某地區的一個季節下雨天的概率是0.3,氣象臺預報天氣的準確率為0.8.某廠生產的產品當天怕雨,若下雨而不做處理,每天會損失3000元,若對當天產品作防雨處理,可使產品不受損失,費用是每天500元.〔1若該廠任其自然不作防雨處理,寫出每天損失的分布列,并求其平均值；〔2若該廠完全按氣象預報作防雨處理,以表示每天的損失,寫出的分布列.計算的平均值,并說明按氣象預報作防雨處理是否是正確的選擇？解〔1設為損失數,分布列為：03000P0.70.3∴E〔=3000×0.3=900〔元.〔2設為損失數,則P〔=0=0.7×0.8=0.56.P<=500>=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.P〔=3000=0.3×0.2=0.06.分布列為：05003000P0.560.380.06∴E〔=0+500×0.38+3000×0.06=370平均每天損失為370元.∵370＜900,∴按天氣預報作防雨處理是正確的選擇.15.〔2008·XX理,17袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個〔n=1,2,3,4.現從袋中任取一球,表示所取球的標號.〔1求的分布列、期望和方差；〔2若=a+b,E〔=1,D〔=11,試求a,b的值.解〔1的分布列為012