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文檔簡介
3.6小節機器人的桿件的速度1精選ppt3.6機器人的桿件的速度基本思路:
已知基座速度和各關節的相對速度,從基座速度開始,一步一步遞推出末端執行器的速度。2精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度
機器人桿件的速度包括線速度和角速度,下面介紹如何從i桿件的速度遞推計算i+1桿件的線速度和角速度。如圖所示,設已知i桿件的速度為ωi和vi,i+1桿件繞Zi+1軸旋轉的角速度為。
3精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度
則:在{i+1}坐標系中表示的i+1桿件桿的角速度為:
在{i+1}坐標系中表示的i+1坐標系原點的線速度為:在{i+1}中表示的i+1桿的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原點的距離。4精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度例1、一兩桿關節機器人如圖所示,計算以關節速度為函數的手尖處的速度。5精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度解:1、建立坐標系,如圖:
2、求位姿矩陣:6精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度得:1桿在{1}中表示的速度7精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度如果在基座坐標系中表示,僅需乘以R03。則:8精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度例2、試求例1中兩桿關節機器人的雅克比矩陣。解:由例1知:則:及9精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度
雅克比矩陣的行數等于笛卡爾空間自由度,列數等于機器人的關節數。同理,我們可以求相對基座坐標系的雅克比矩陣。所以:1010精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度
雅克比矩陣的逆為:
當手尖沿X方向以速度1m/s運動時,由雅克比逆矩陣可得:
當θ2=0時,上式分母為零,兩關節速度將趨于無窮大,它對應機器人的奇異位置。11精選ppt第4章機器人操作動力學4.1、概述4.2、機器人的牛頓-歐拉動力學方程4.3、機器人拉格朗日動力學方程簡介12精選ppt4.1、概述為什么要研究機器人的動力學問題?
1、為了運動桿件,我們必須加速或減速它們,機器人的運動是作用于關節上的力矩與其他力或力矩作用的結果。
2、力或力矩的作用將影響機器人的動態性能。13精選ppt4.1、概述機器人動力學研究內容:正問題:已知作用在機器人機構上的力和力矩,求機器人機構各關節的位移、速度、加速度,即:F=ma。反問題:已知機器人機構各關節的位移、速度和加速度,求作用在各關節上的驅動力或驅動力矩,即:am=F。14精選ppt4.1、概述機器人動力學研究方法:目標:根據機器人機構的結構特點、運動學和動力學原理,提出通用、快捷的建立動力學方程的方法。數學工具:矢量方法、張量方法、旋量方法及矩陣方法等。力學原理:動量矩定理、能量守恒定理、牛頓-歐拉方程、達朗貝爾原理、虛功原理、拉格朗日方程、哈密爾頓原理、凱恩方程等。15精選ppt4.1、概述幾項假設:
1、構成機器人的各桿件都是剛體,即不考慮桿件的變形。
2、忽略各種間隙等因數的影響。
3、暫不考慮驅動系統的動力學。1516精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程
機器人動力學的特點:
1、串聯機器人由多個桿件經關節軸串聯構成,屬于多體動力學的研究范疇。
2、各桿件的速度、加速度是關節位置及時間的函數,隨機器人桿件構形的不同而改變。
3、機器人動力學的計算復雜,多采用數值遞推的方法計算。17精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程我們知道:剛體運動
=質心的平動+繞質心的轉動其中:質心平動:用牛頓方程描述。繞質心的轉動:用歐拉方程定義。它們都涉及到質量及其分布,我們先復習一下轉動慣量的計算。18精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程
如圖所示,設剛體的質量為,以質心為原點的隨體坐標系下的慣量矩陣由六個量組成,表示為:一、慣量矩陣(張量)圖3.1式中:19精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程
慣量矩陣中的元素稱為慣量矩(Massmomentsofinertia),而具有混合指標的元素稱為慣量積(Massproductsofinertia)。對于給定的物體,慣量積的值與建立的坐標系的位置及方向有關;如果我們選擇的坐標系合適,可使慣量積的值為零。這樣的坐標系軸稱為主軸(Principleaxes),相應的慣量稱為主慣量。事實上,主慣量是慣量矩陣的三個特征值。20精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程平行軸定理(Parallel-axistheorem):
已知相對于某一原點位于物體質心坐標系{C}的慣量張量,坐標系{A}平行于坐標系{C},則相對于{A}坐標系的慣量張量為:其中:為質心相對于{A}坐標系的坐標。2021精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程二、牛頓—歐拉方程我們假設機器人的每個桿件都為剛體,為了運動桿件,我們必須加速或減速它們,運動桿件所需要的力或力矩是所需加速度和桿件質量分布的函數;牛頓方程和用于轉動情況的歐拉方程一起,描述了機器人驅動力矩、負載力(力矩)、慣量和加速度之間的關系。22精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程
我們先研究質心的平動,如圖4.1所示,假設剛體的質量為,質心在C點,質心處的位置矢量用表示,則質心處的加速度為;設剛體繞質心轉動的角速度用表示,繞質心的角加速度為,根據牛頓方程可得作用在剛體質心C處的力為:圖4.123精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程
根據三維空間歐拉方程,作用在剛體上的力矩為:
圖4.1
以上兩式合稱為牛頓—歐拉方程。式中,M為作用力對剛體質心的矩,為繞質心的角速度和角加速度。24精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程三、加速度計算1、線加速度
如圖所示,設坐標系i與i-1桿固聯,其原點加速度為ai-1,角速度為ωi-1;Oi+1隨桿件i相對i坐標系旋轉,相對轉速為
。P為i桿上任意一點。1525精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程Pi點的相對速度和加速度為:
Pi點的絕對加速度為:erk代入并化簡得:即:上述參數都是在基礎坐標系中表示的。2626精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程i+1坐標系原點的加速度為:設i桿件質心為ci,則其加速度為:2、角加速度
i桿的角加速度為:27精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程四、作用力和力矩
計算出每個桿件質心的加速度后,我們可以應用牛頓-歐拉方程來計算作用在每個桿件質心的慣性力和慣性力矩。根據牛頓-歐拉方程,有:2828精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程圖2構件受力圖
如圖2所示,將第i個構件Li作為隔離體進行分析,作用在其上的力和力矩有:
作用在i桿件上的外力和外力矩,i-1桿件作用在i桿件上的力和力矩,以及i+1桿件作用在i桿件上的力和力矩。2929精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程其中:
Fi+1,i—構件Li+1作用在構件Li上的力。Mi+1,i—構件Li+1作用在構件Li上的力矩。Fi-1,i—構件Li-1作用在構件Li上的力。Mi-1,i—構件Li-1作用在構件Li上的力矩。Fi—作用在第i個構件Li上的外力簡化到質心C處的合力,即外力的主矢。Mi—作用在第i個構件Li上的外力矩簡化到質心C處的合力矩,即外力的主矩。30精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程
上述力和力矩包括了運動副中的約束反力、驅動力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i個構件上的所有力化簡到質心的總的合力為:它們都在基礎坐標系中表示。31精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程相對于質心的總的合力矩Mi為:
最后,為了便于遞推計算,重新安排力和力矩計算公式為:32精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程
i桿件需要的關節力矩為相鄰桿件作用于它的力矩的Z分量,即:牛頓-歐拉方程的遞推算法:由兩部分組成:首先,從1號桿到n號桿,向前遞推計算各桿的速度和加速度。然后,再從n號桿到1號桿,向后遞推計算作用力和力矩,以及關節驅動力矩。算法過程總結如下:33精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程向前遞推:i:0→6向后遞推:i:6→1慣性力慣性力矩條件:基礎桿件和各關節的角速度和角加速度已知34精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程
引力對桿件作用的影響可以通過設置來實現,這里,G為引力常數。上面給出了關節型機器人的動力學計算方法,對于移動關節可以推導相應的方程。對一些相對簡單的問題,用上述方法,也可能得到閉式解析結果。上述遞推算法是一種通用算法,可以用于任意自由度數的關節型機器人。35精選ppt牛頓—歐拉方程實例圖3平面兩自由度機器人機構例1如圖3所示的平面兩自由度機器人機構。連桿L1質心為C1,質量為m1,驅動力矩為m1=[00m11]T,角速度為ω1=[00ω1]T,加速度為ε1=[00ε1]T;連桿L2質心為C2,質量為m2,驅動力矩為m2=[00m22]T,角速度為ω2=[00ω2]T,加速度為ε2=[00ε2]T,36精選ppt牛頓—歐拉方程實例
選取關節O和關節A處的轉角θ1和θ2為系統的廣義坐標,可以寫出連桿L1的牛頓—歐拉方程為:連桿L2的牛頓—歐拉方程為:式中:重力驅動力矩37精選ppt牛頓—歐拉方程實例由以上幾式消去桿件間作用力,可解得:考慮質心位置:求導得:38精選ppt牛頓—歐拉方程實例另外:39精選ppt牛頓—歐拉方程實例有:即:對m22可同樣寫出矩陣方程。代入加速度分量,得:40精選ppt牛頓—歐拉方程實例化簡可得:
上式即為各桿件關節的驅動力計算公式,它是一個以角加速度為變量、變系數的非線性動力學方程。41精選ppt牛頓—歐拉方程實例以上兩式進一步寫成:式中:
系數是位置的函數42精選ppt牛頓—歐拉方程實例
例2:如圖所示為兩桿平面機器人,為了簡單起見,我們假設每個桿件的質量集中于桿件的尾部,其大小為m1和m2。解:每個桿件的質量中心矢量為:
由于點質量假設,每個桿件相對質心的慣性張量為零,即:43精選ppt牛頓—歐拉方程實例末端執行器上無作用力,所以:基座靜止,因此:考慮到引力,我們使用:44精選ppt牛頓—歐拉方程實例應用遞推公式有:向前:1桿件:45精選ppt牛頓—歐拉方程實例2桿件:46精選ppt牛頓—歐拉方程實例47精選ppt牛頓—歐拉方程實例向后遞推:2桿件:1桿件:48精選ppt牛頓—歐拉方程實例取力矩的Z分量,得到關節力矩:49精選ppt機器人機構動力學方程
通常,機器人的動力學方程常寫為抽象的形式:稱為慣量陣,是離心力、科氏力等相關部分,為重力部分。特點:多變量、時變、非線性、
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