第第頁2022-2023學年遼寧省鐵嶺市昌圖縣九年級（上）期末數學試卷（含解析）2022-2023學年遼寧省鐵嶺市昌圖縣九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.矩形一定具有而菱形不一定具有的性質是()

A.內角和等于B.對角線互相垂直C.對邊平行且相等D.對角線相等

2.下列各組線段的長度成比例的是()

A.，，，B.，，，

C.，，，D.，，，

3.已知兩個相似三角形的相似比是：，那么它們的面積比是()

A.：B.：C.：D.：

4.已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是()

A.B.C.且D.且

5.初中畢業時，某班學生都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送張照片設全班有名同學，可列方程為()

A.B.

C.D.

6.小紅有三頂帽子，分別為白色、紅色和粉色，有兩條圍巾，分別為白色和紅色她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是()

A.B.C.D.

7.已知某反比例函數的圖象經過點，則下列各點中不在該函數圖象上的是()

A.B.C.D.

8.已知，則函數與在同一坐標系中的大致圖象可能是()

A.B.

C.D.

9.如圖，、相交于點，由下列條件不能判定與相似的是()

A.B.C.D.

10.如圖，某幾何體由個完全相同的小正方體組成，該幾何體的主視圖是()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）

11.已知是關于的一元二次方程，則的值為______．

12.一個不透明的袋中有若干個除顏色外完全相同的小球，其中黃球有個將袋中的球搖勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在左右，則袋中小球的個數為______．

13.矩形的對角線、交于點，，，則的周長為______．

14.如圖，點在正方形的邊上，將繞點順時針旋轉得到，若四邊形的面積為，，則的長度為______．

15.如圖，在中，，，：：，，則的長度為______．

16.如圖，在中，點為中點，，，，則的長度為______．

17.如圖，表示一個窗戶，窗戶的下端到地面距離，和表示射入室內的光線若某一時刻在地面的影長，在地面的影長，則窗戶的高度為______．

18.如圖，矩形的對角線上有一點，過點作，分別交和于點和，連接和，若，，則圖中陰影部分的面積為______．

三、解答題（本大題共8小題，共96.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

用適當的方法解下列一元二次方程：

；

．

20.本小題分

已知小明、小強的身高都是如圖，小明和小強在路燈正下方分別向西和東各走幾步，此時兩人之間的水平距離，小明的影長，小強的影長，求這盞路燈的高度．

21.本小題分

某商場銷售某種玩具，每個進貨價為元調查發現，當銷售價為元時，平均每月能售出個；而當銷售價每降低元，平均每月就能多售出個商場要想使這種玩具的銷售利潤平均每月達到元，每個玩具的定價應為多少元？

22.本小題分

第屆北京冬奧會開幕式二十四節氣倒計時驚艷亮相，從“雨水”開始，一路倒數，最終行至“立春”，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．李老師為了讓學生深入了解二十四節氣，將每個節氣的名稱寫在完全相同且不透明的小卡片上，洗勻后將卡片倒扣在桌面上，邀請同學上講臺隨機抽取一張卡片，并向大家介紹卡片上對應節氣的含義．

若隨機抽取一張卡片，則上面寫有“立夏”的概率為______；

李老師選出寫有“立春、立夏、立秋、立冬”的四張卡片洗勻后倒扣在桌面上，請小麗同學從中抽取一張卡片記下節氣名稱，然后放回洗勻再隨機抽取一張卡片記下節氣名稱．請利用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次抽到的卡片上寫有相同節氣名稱的概率．

23.本小題分

如圖，在中，，，，．

求的長；

若，求證：∽．

24.本小題分

小明同學自制了一個直角三角形紙板，將三個頂點分別標記為、、，測得紙板兩條直角邊，如圖，小明使用它測量樹的高度時，先調整自己的位置，使斜邊保持水平，并且直角邊與點在同一條直線上，同時測得，，求樹的高度．

25.本小題分

如圖，在中，點在斜邊上，過點向邊作垂線，垂足為點，延長至點，使得，連接、．

求證：；

當為中點時，

求證：四邊形是菱形；

若，求證：四邊形是正方形．

26.本小題分

如圖，一次函數與反比例函數相交于、兩點，過點向軸作垂線，垂足為點，．

求一次函數和反比例函數的解析式；

求的面積；

問：在直角坐標系中，是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：矩形具有的性質：對角線相等，對角線互相平分；菱形具有的性質：鄰邊相等，對角線互相平分，對角線互相垂直；

矩形具有而菱形不一定具有的性質是：對角線相等．

故選：．

由矩形具有的性質：對角線相等，對角線互相平分；菱形具有的性質：鄰邊相等，對角線互相平分，對角線互相垂直；即可求得答案．

此題考查了矩形與菱形的性質等知識，解題的關鍵是記住矩形和菱形的性質，屬于中考基礎題．

2.【答案】

【解析】解：、，故此選項不符合題意；

B、，故此選項符合題意；

C、，故此選項不符合題意；

D、，故此選項不符合題意．

故選：．

如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．

此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．

3.【答案】

【解析】解：兩個相似三角形的相似比是：，

它們的面積比：．

故選：．

直接根據相似三角形的性質解答即可．

本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．

4.【答案】

【解析】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，

且，

解得：且，

故選：．

根據根的判別式和一元二次方程的定義得出且，求出的取值范圍即可．

本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，能根據題意得出關于的不等式是解此題的關鍵．

5.【答案】

【解析】解：全班有名同學，

每名同學要送出張；

又是互送照片，

總共送的張數應該是．

故選：．

如果全班有名同學，那么每名同學要送出張，共有名學生，那么總共送的張數應該是張，即可列出方程．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．計算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關鍵．

6.【答案】

【解析】解：畫樹狀圖為：

共有種等可能的結果，其中恰好為紅色帽子和紅色圍巾的結果數為種，

所以恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率．

故選：．

畫樹狀圖展示所有種等可能的結果，再找出恰好為紅色帽子和紅色圍巾的結果數，然后根據概率公式計算．

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數目，然后根據概率公式計算事件或事件的概率．

7.【答案】

【解析】解：點在反比例函數圖象上，

．

A、，該點在反比例函數圖象上，不符合題意；

B、，該點在反比例函數圖象上，不符合題意；

C、，該點在反比例函數圖象上，不符合題意；

D、，該點不在反比例函數圖象上，符合題意；

故選：．

根據圖像上的點，可知，對選項逐一判斷即可．

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數圖象上的點的縱橫坐標之積等于常數．

8.【答案】

【解析】解：，

正比例函數圖象分布在二四象限；反比例函數圖象分布在一三象限；

故選：．

根據正比例函數和反比例函數的性質進行圖象位置的判定即可．

本題考查了反比例函數的圖象以及正比例函數的圖象，根據解析式中的常量的正負判定圖象的位置是本題的關鍵．

9.【答案】

【解析】

【分析】

此題考查了相似三角形的判定：有兩個對應角相等的三角形相似；有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．

本題中已知是對頂角，應用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．

【解答】

解：、由能判定∽，故本選項不符合題意．

B、由、能判定∽，故本選項不符合題意．

C、由、能判定∽，故本選項不符合題意．

D、已知兩組對應邊的比相等：，但其夾角不一定對應相等，不能判定與相似，故本選項符合題意．

故選：．

10.【答案】

【解析】解：從正面看所得到的圖形有列，從左到右小正方形的個數分別為：、、如圖所示：

．

故選：．

找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．

本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．

11.【答案】

【解析】解：由題意得：

，

解得．

故答案為：．

根據一元二次方程的定義可得，求出即可．

本題考查了一元二次方程的定義的應用，能理解一元二次方程的定義是解此題的關鍵．

12.【答案】

【解析】解：通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在左右，口袋中黃球有個，

袋中小球的個數為個．

故答案為：．

用黃球的個數除以摸到黃球頻率即可得出球的總個數．

本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．

13.【答案】

【解析】解：四邊形是矩形，

，，，

，

，

，

是等邊三角形，

，

的周長；

故答案為：．

由矩形的性質得出，再證明是等邊三角形，得出，即可求出的周長為．

本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形周長的計算；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．

14.【答案】

【解析】解：把順時針旋轉的位置，

四邊形的面積等于正方形的面積等于，

，

，

中，，

故答案為：．

利用旋轉的性質得出四邊形的面積等于正方形的面積，進而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案．

本題主要考查了旋轉的性質以及正方形的性質，正確利用旋轉的性質得出對應邊關系是解題關鍵．

15.【答案】

【解析】解：設，

，，

四邊形為平行四邊形，

，

，

，

：：，

：：，

，

∽，

：：，

即：：：，

解得：，

．

故答案為：．

設，先證四邊形為平行四邊形得，，再由：：得：：，然后證和相似得：：，據此求出即可．

此題主要考查了相似三角形的判定及性質，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定及性質，平行四邊形的判定和性質是解答此題的關鍵．

16.【答案】

【解析】解：設，

點為的中點，

，

，

，，

，

在和中，，，

∽，

：：，

即：：，

，

舍去負值，

，

故答案為：．

設，則，由，得，然后證和相似，再利用相似三角形的性質求出即可得出的長．

此題主要考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解答此題的關鍵．

17.【答案】

【解析】解：，

，，

∽，

，

，

解得：，

，

故答案為：．

陽光可認為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線與仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形性質可進一步求出的長，即窗戶的高度．

本題考查相似三角形性質的應用．解題的關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例，建立適當的數學模型來解決問題．

18.【答案】

【解析】解：作于，交于．

則有四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，

，，，，，

，

，

故答案為：．

想辦法證明解答即可．

本題考查矩形的性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是證明．

19.【答案】解：方程變形為，

，

，

，；

方程變形為，

，

或，

所以，．

【解析】先把方程化為一般式，再計算出根的判別式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；

先移項得到，再把方程看作關于的一元二次方程，利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

20.【答案】解：由題意得：，，，

，

，

∽，

，

，

，

∽，

，

，

，

解得：，

，

，

這盞路燈的高度為．

【解析】根據題意可得：，，，從而可得，然后證明字模型相似三角形∽，∽，從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．

本題考查了相似三角形的應用，中心投影，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．

21.【答案】解：設個玩具的定價應為元，依題意得

解方程，得．

經檢驗符合題意．

答：每個玩具的定價應為元．

【解析】銷售利潤一個玩具的利潤銷售玩具數量，一個玩具的利潤售價進價，降低售價的同時，銷售量就會提高，“一減一加”，根據每個的盈利銷售的個數元，即可列方程求解．

考查一元二次方程的應用，得到利潤的等量關系是解決本題的關鍵，難點是得到售出玩具的個數．

22.【答案】

【解析】解：若隨機抽取一張卡片，則上面寫有“立夏”的概率為，

故答案為：；

把寫有“立春、立夏、立秋、立冬”的四張卡片分別記為、、、，

畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中兩次抽到的卡片上寫有相同節氣名稱的結果有種，

兩次抽到的卡片上寫有相同節氣名稱的概率為．

直接由概率公式求解即可；

畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中兩次抽到的卡片上寫有相同節氣名稱的結果有種，再由概率公式求解即可．

此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．

23.【答案】解：，

：：，

，，，

：：，

；

證明：，，，，

：：，

，

∽．

【解析】由平行線分線段成比例定理得到：：，代入有關數據即可求出；

兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，由此即可證明問題．

本題考查相似三角形的判定，平行線分線段成比例定理，關鍵是由，得到：：；證明：：．

24.【答案】解：由題意得：，

，

，

，

，

∽，

，

，

解得：，

，

，

樹的高度為．

【解析】根據題意可得：，從而可得，然后證明∽，從而利用相似三角形的性質可求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．

本題