第16講復數的概念【考點分析】考點一：虛數單位的概念虛數單位：，規定，則，，所以虛數單位是以為周期循環的。考點二：復數的引入對于方程，由于，所以方程在實數范圍內無解，若引入一個新的數，使得，則此方程的解可寫成，考點三：復數的定義①我們把形如(a、b∈R)的數叫做復數，其中叫做虛數單位，滿足。其中a和b分別叫做復數z的實部與虛部。②全體復數構成的集合叫做復數集，用來表示，復數集包含實數集和虛數集。③為實數，為虛數，為純虛數④虛數不能比較大小，但不等說復數不等比較大小，因為復數集包含實數集和虛數集。考點四：復數相等的充要條件設a、b、c、d都是實數，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d．考點五：復數的幾何意義①復平面的概念：用平面直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，其中x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．②復數的幾何意義1.復數與復平面內的點是一一對應關系．2.復數與復平面內以原點為始點的向量也可以建立一一對應關系．如圖，在復平面內，復數z＝a＋bi(a、b∈R)可以用點Z(a，b)或向量表示．③復數的模：復數z＝a＋bi(a、b∈R)對應的向量為，則的模叫做復數z的模，記作|z|且|z|＝eq\r(a2＋b2)．復數模的幾何意義就是復數z＝a＋bi所對應的點Z(a，b)到原點(0,0)的距離．【題型目錄】題型一：復數的相關概念題型二：復數的幾何意義題型三：兩個復數相等題型四：復平面的概念【典型例題】題型一：復數的相關概念【例1】若a，，則“復數為純虛數（是虛數單位）”是“”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【例2】已知復數z滿足，若z為純虛數，則（）A．-3B．C．3D．0【例3】已知復數.當實數為何值時，復數為(1)實數；(2)純虛數；(3)零.【例4】在復平面內，復數對應的點在第一象限，則實數m的取值范圍為．【例5】（多選題）下列命題中，不正確的是（）A．是一個復數B．形如的數一定是虛數C．兩個復數一定不能比較大小D．若，則【例6】若復數，則實數m的值為_________.【題型專練】1．（多選題）下列說法中正確的有（）A．若，則是純虛數B．若是純虛數，則實數C．若，則為實數D．若，且，則2．（多選）下列說法錯誤的是（）A．復數不是純虛數B．若，則復數是純虛數C．若是純虛數，則實數D．若復數，則當且僅當時，z為虛數3．（多選題）下列四種說法中正確的有（）A．復數是純虛數B．復數中，實部為1，虛部為C．復數的共軛復數為，則的一個充要條件是D．（為虛數單位）4．（多選題）對于復數(，∈R)，下列說法正確的是（）A．若，則為純虛數B．若，則，C．若，則為實數D．的平方等于15.已知復數，當為何實數時，復數是：（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數；（4）對應點在實軸的上方.6.已知i為虛數單位,下列命題中正確的是()A．虛數的平方不小于0B．的平方根只有一個,即為iC．i是方程的一個根D．的虛部是i7．設，則“”是“復數為純虛數”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件題型二：復數的幾何意義【例1】在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量OA→，OB→對應的復數分別是1﹣i，﹣1+2i，則向量CD【例2】在復平面內，復數z＝2i對應的點為Z，將向量OZ→繞原點O按逆時針方向旋轉π3【例3】設復數滿足，在復平面內對應的點為，則不可能為（）A．B．C．D．【例4】設復數滿足（為虛數單位），在復平面內對應的點為（，），則（）A．B．C．D．【例5】復數滿足條件，則實數的取值范圍是().A．B．C．D．【例6】已知復數，現有如下說法：①；②復數z的實部為正數；③復數z的虛部為正數．則正確說法的個數為（）．A．3B．2C．1D．0【題型專練】1.如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)所表示的復數；(2)對角線所表示的復數；(3)B點對應的復數．2.設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則A．B．C．D．3.已知復數，，如果，那么實數a的取值范圍是________.4．設為虛數單位，復數，則的最大值為__________．5.在復平面內，復數與所對應的向量分別是和，其中O是原點，則向量對應的復數為（）A．B．C．D．6．已知復數，，在復平面上對應的點分別為，，，若四邊形為平行四邊形（為復平面的坐標原點），則復數的模為（）A．B．17C．D．15題型三：兩個復數相等【例1】已知，其中，是實數，是虛數單位，則（）A．B．C．D．【例2】設，其中為實數，則（）A．B．C．D．【例3】若，是虛數單位，，則等于（）A．B．C．D．【題型專練】1．已知復數，，，則（）A．3B．1C．D．2．實數滿足條件：，（其中為i虛數單位），則（）A．B．2C．3D．3．若實數滿足，則_____________．題型四：復平面的概念【例1】同時滿足以下三個條件的一個復數是（）①復數在復平面內對應的點位于第三象限；②復數的模為5；③復數的實部大于虛部.A．B．C．D．【例2】如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部”復數，若復數（其中）為“等部復數”，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例3】已知復數，，在復平面上對應的點分別為，，，若四邊形為平行四邊形（為復平面的坐標原點），則復數的模為（）A．B．17C．D．15【例4】若復數（）在復平面上對應的點位于第二象限，則m的取值范圍是_______.【例5】在復平面內，復數對應的點位于第四象限，且，則（）A．B．C．2D．【例6】（多選題）下列命題中正確的是（）A．在復平面內，實數對應的點都在實軸上B．在復平面內，純虛數對應的點都在虛軸上C．在復平面內，實軸上的點所對應的復數都是實數D．在復平面內，虛軸上的點所對應的復數都是純虛數【題型專練】1．（多選題）復數，，下列結論正確的是（）A．若z對應復平面上的點在第四象限，則B．若z是純虛數，則C．當時，z是虛數D．當時，2．已知為虛數單位，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已