第第頁2022-2023學年山東省煙臺市福山區八年級（下）期中數學試卷（五四學制）（含解析）2022-2023學年山東省煙臺市福山區八年級（下）期中數學試卷（五四學制）

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列四個數中，其絕對值小于的數是()

A.B.C.D.

2.若使算式的運算結果最小，則表示的運算符號是()

A.B.C.D.

3.使有意義的實數的取值范圍是()

A.B.且

C.且D.且

4.下列命題中，是真命題的有()

對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

對角線互相垂直的四邊形是菱形

四邊相等的四邊形是正方形

四邊相等的四邊形是菱形

A.B.C.D.

5.下列一元二次方程有實數解的是()

A.B.C.D.

6.當為實數時，，則在數軸上對應的點在()

A.原點的左側B.原點或原點右側C.原點的右側D.原點或原點的左側

7.若，是方程的兩個實數根，則的值為()

A.或B.或C.或D.或

8.已知、是一元二次方程的兩個根，則的值為()

A.B.C.D.

9.在下列條件中，能夠判定為矩形的是()

A.B.C.D.

10.小穎初一時體重是，到初三時體重增加到，則她的體重平均每年增加的百分率為()

A.B.C.D.

11.如圖，將矩形折疊，使點和點重合，折痕為，與交于點若，，則的長為()

A.

B.

C.

D.

12.如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了，另一邊減少了，剩余一塊面積為的矩形空地，則原正方形空地的邊長是()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.將化為最簡二次根式為______．

14.若成立，則的取值范圍是．

15.如圖有一張一個角為，最小邊長為的直角三角形紙片，沿圖中所示的中位線剪開后，將兩部分拼成一個四邊形，所得四邊形的周長是______．

16.如圖，在矩形中，是邊上一點，，分別是，的中點，連接，，，若，，，矩形的面積為______．

17.我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”，極富創新意識地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是，小正方形的面積是，則______．

18.菱形的邊長為，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．

三、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

計算：

；

．

20.本小題分

解方程：

配方法或公式法；

用因式分解法．

21.本小題分

已知關于的一元二次方程．

若方程有實數根，求實數的取值范圍；

若方程兩實數根分別為，，且滿足，求實數的值．

22.本小題分

如圖，中，，，，求：

的面積；

斜邊的長；

求邊上的高的長．

23.本小題分

某商店經銷一批小商品，每件商品的成本為元據市場分析，銷售單價定為元時，每天能售出件；現因貨源稀缺，采用提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，若銷售單價每漲元，每天的銷售量就減少件．

當銷售單價為元，每天可售出多少件？每天銷售利潤為多少？

針對這種小商品的銷售情況，該商店要保證每天盈利元，同時又要使顧客得到實惠，那么銷售單價應定為多少元？

24.本小題分

如圖，在矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．

求證：≌；

若，，連接，，求四邊形的周長．

25.本小題分

將一些棋子按如圖所示的規律擺放：

第個圖有個棋子，第個圖有個棋子，第個圖有個棋子，，按此規律依次遞增．

第個圖中有______個棋子；

第個圖中有______個棋子；

如果第個圖中有個棋子，應用方程求出的值；

第個圖中的棋子個數能是個嗎？如果能，求出的值；如果不能，試用一元二次方程的相關知識說明理由．

26.本小題分

如圖，中，，，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；過作，交于連結，過作，交的延長線于設運動時間為，解答下列問題：

求證：四邊形是平行四邊形；

當為何值時，四邊形是矩形？

在運動過程中，是否存在某一時刻，使四邊形是菱形？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，，，

，，，，

四個數中，其絕對值小于的數是．

故選：．

首先求出每個數的絕對值各是多少；然后根據實數大小比較的方法判斷即可．

此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數負實數，兩個負實數絕對值大的反而小．

2.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

表示的運算符號是“”時，運算結果最小，

故選：．

分別把四個選項中的符號代入計算，再比較結果的大小即可．

此題主要考查了二次根式，關鍵是掌握二次根式的計算法則．

3.【答案】

【解析】解：根據題意得，，

解得，且．

故選：．

根據二次根式和分式的性質可求出的取值范圍．

本題主要考查了二次根式和分式的意義和性質，關鍵是明白分式的分母不能為．

4.【答案】

【解析】

【分析】

此題主要考查了命題與定理，正確把握特殊四邊形的判定方法是解題關鍵．

直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分別分析進而得出答案．

【解答】

解：對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原命題是真命題；

對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原命題假命題；

四邊相等的四邊形是菱形，故原命題是假命題；

四邊相等的四邊形是菱形，故原命題是真命題．

故選：．

5.【答案】

【解析】解：，

方程沒有實數根；

B.，

方程沒有實數根；

C.，

方程有兩個不相等的實數根；

D.，

方程沒有實數根．

故選：．

根據各方程的系數結合根的判別式，可求出各方程根的判別式的值，取的選項即可得出結論．

本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根”是解題的關鍵．

6.【答案】

【解析】解：由題意可知：，

，

故選：．

根據二次根式的性質即可求出答案．

本題考查二次根式，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質，本題屬于基礎題型．

7.【答案】

【解析】解：解方程得，，或，，

或的，

故選：．

解方程求得方程的根，然后求得的值即可．

本題考查了解一元二次方程因式分解法，求得方程的根是解題的關鍵．

8.【答案】

【解析】解：、是一元二次方程的兩個根，

，，

是的一個根，

，

，

．

故選：．

由于、是一元二次方程的兩個根，根據根與系數的關系可得，，而是方程的一個根，可得，即，那么，再把、的值整體代入計算即可．

本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程兩根、之間的關系：，．

9.【答案】

【解析】解：、中，，不能判定是矩形，故選項A不符合題意；

B、中，，

是菱形，故選項B不符合題意；

C、中，，

是菱形，故選項C不符合題意；

D、中，，

是矩形，故選項D符合題意；

故選：．

由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．

本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質等知識；熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關鍵．

10.【答案】

【解析】解：設她的體重平均每年增加的百分率為，

依題意得：，

，

解得：，不符合題意，舍去，

她的體重平均每年增加的百分率為．

故選：．

設她的體重平均每年增加的百分率為，利用小穎初三時的體重小穎初一時的體重她的體重平均每年增加的百分率，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查矩形的性質、折疊軸對稱的性質，勾股定理等知識．由矩形的性質，折疊軸對稱的性質，可求出，由勾股定理求出，，進而求出即可．

【解答】

解：四邊形是矩形，

，，，

，

由折疊可得，

，

，

由折疊得，，，

，

在中，，

在中，，

，

故選：．

12.【答案】

【解析】解：設原正方形的邊長為，依題意有

，

解得：，不合題意，舍去

即：原正方形的邊長．

故選：．

可設原正方形的邊長為，則剩余的空地長為，寬為根據長方形的面積公式方程可列出，進而可求出原正方形的邊長．

本題考查了一元二次方程的應用．學生應熟記長方形的面積公式．另外求得剩余的空地的長和寬是解決本題的關鍵．

13.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案為：．

把小數化成分數，根據化簡，再分母有理化即可得出答案．

本題考查了最簡二次根式，掌握是解題的關鍵．

14.【答案】或

【解析】解：，

．

．

．

或．

或．

檢驗：當，；當，．

或．

故答案為：或．

根據分式的性質解決此題．

本題主要考查分母有理化，熟練掌握分式的性質是解決本題的關鍵．

15.【答案】或

【解析】解：由題意可得：，

，

，，

圖中所示的中位線剪開，

，，，

如圖所示：

拼成一個矩形，矩形周長為：；

如圖所示，可以拼成一個平行四邊形，周長為：，

故答案為：或．

根據三角函數可以計算出，，再根據中位線的性質可得，，，然后拼圖，出現兩種情況，一種是拼成一個矩形，另一種拼成一個平行四邊形，進而算出周長即可．

此題主要考查了圖形的剪拼，關鍵是根據畫出圖形，要考慮全面，不要漏解．

16.【答案】

【解析】解：四邊形是矩形，

，，

，分別是，的中點，，，，

，，，

，

是直角三角形，，

，

，

，

故答案為：．

由矩形的性質得出，，由直角三角形斜邊上中線的性質及三角形中位線的性質求出，，，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，進而求出，即可求出矩形的面積．

本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線，三角形中位線，熟練掌握矩形的性質，直角三角形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理的逆定理等知識是解決問題的關鍵．

17.【答案】

【解析】解：大正方形的面積是，小正方形的面積是，

，，

根據題意，設，

則，

在中，，

，

解得：，舍去，

，

故答案為：．

根據題意得出，，設，結合圖形得出，利用勾股定理列方程求解．

題目主要考查正方形的性質，勾股定理解三角形，一元二次方程的應用等，理解題意，利用方程思想解題是關鍵．

18.【答案】

【解析】解：連接，作于，

四邊形是菱形，

，，

在和中，

≌，

，

當點、、共線時，的最小值為的長，

，，

，

的最小值為，

故答案為：．

連接，作于，利用證明≌，得，當點、、共線時，的最小值為的長，再求出的長即可．

本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，軸對稱的性質等知識，將的最小值轉化為的長是解題的關鍵．

19.【答案】解：

；

．

【解析】先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再進行計算即可解答；

首先計算乘方、化簡二次根式，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．

本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．

20.【答案】解：，

，

，

，

，

或，

，；

，

，

或，

，．

【解析】利用解一元二次方程配方法，進行計算即可解答；

利用解一元二次方程因式分解法，進行計算即可解答．

本題考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．

21.【答案】解：由題意有，

整理得，

解得，

實數的取值范圍是；

由兩根關系，得，，

，

，

，

解得或

．

【解析】若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式，建立關于的不等式，求出的取值范圍；

由，；代入，建立關于的方程，據此即可求得的值．

本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數關系，利用兩根關系得出的結果必須滿足的條件．

22.【答案】解：，，，

的面積；

，，，

；

，

，

故AB邊上的高的長為．

【解析】根據三角形大面積公式即可得到結論；

根據勾股定理即可得到結論；

根據三角形的面積公式即可得到結論．

本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關鍵．

23.【答案】解：件，

利潤元，

答：當銷售單價為元，每天可售出件，每天銷售利潤為元；

設銷售單價應定為元件，則每天可售出件，

根據題意得：，

整理得：，

解得：，．

要使顧客得到實惠，

不合題意．

答：銷售單價應定為元件．

【解析】根據銷售數量定價，利潤每件商品利潤數量，即可得出結論；

設銷售單價應定為元件，則每天可售出件，根據總利潤單件利潤銷售數量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

24.【答案】證明：四邊形是矩形，

，，

，

又，

，

在和中，

，

≌；

解：由可得，，，

四邊形是平行四邊形，

，，

，

四邊形是菱形，

根據，，設，可得，

在中，根據勾股定理可得：，

即，

解得：，

，

四邊形的周長．

【解析】本題主要考查了矩形的性質的應用，結合菱形的判定與性質、全等三角形的判定進行求解是解題的關鍵．

根據矩形的性質可得，，，即可證得兩個三角形全等；

設，根據已知條件可得，由可得，可證得四邊形是菱形，根據勾股定理可得的長，即可求得周長；

25.【答案】

【解析】解：根據第個圖形有個棋子，第個圖形有個棋子，第個圖形有個棋子，第個圖形有個棋子，

，，，，

第個圖形有：個，

故答案為：；

第個圖形有：個棋子，

故答案為：；

由題意得，，

解得：或