前課回顧模態正交性的含義？[U]T[M][U]=[∧][U]T[K][U]=[∧]展開定理？振動系統的響應是n個振型的線性組合前課回顧模態正交性的含義？主要內容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析主要內容1.概述主要內容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析主要內容1.概述1.概述(1)多自由度系統在外部激勵作用下的響應分析稱為動力響應分析。系統的動力響應與系統的固有振動特性、激勵特性以及系統的初始條件有關。響應類型：簡諧激勵響應周期性激勵響應非周期激勵響應隨機振動響應（第五章內容）系統的動力響應分析可以從理論計算、數值模擬和試驗測試三個渠道進行，三者互相結合、促進，共同應用于實際的工程分析。1.概述(1)多自由度系統在外部激勵作用下的響應分析稱為動1.概述(2)動力響應分析主要方法：振型疊加法逐步積分法積分變換方法1.概述(2)動力響應分析主要方法：1.概述(3)振型疊加法基于線性疊加與振型正交性理論，將物理空間耦合的振動模型轉換為模態空間解耦的微分方程；主要特點：計算效率高，適用于線性系統1.概述(3)振型疊加法1.概述(4)逐步積分法（直接積分法）是指在積分運動方程之前不進行方程形式的變換，直接進行逐步數值積分。主要方法：中心差分法，Newmark方法，精細積分法主要特點：計算量大，適用于線性系統、非線性系統，可以求解所有確定激勵下的響應問題。1.概述(4)逐步積分法（直接積分法）1.概述(5)積分變換法利用Fourier變換或Laplace變換將時間域微分形式的運動方程變換為頻域域或Laplace域的代數方程進行求解。一般與振型疊加法與試驗模態分析方法相結合，獨立應用較少。主要應用于線性系統。1.概述(5)積分變換法主要內容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析主要內容1.概述2振型疊加法(modesummationmethod)主要思想：將線性定常系統振動微分方程組中的物理坐標變換為模態坐標（主坐標），使方程解耦，成為一組以模態坐標及模態參數描述的獨立方程，以便求出系統的動力響應。主要依據：展開定理、模態正交性和線性疊加原理。=+++

+2振型疊加法(modesummationmethod)WhyBotherwithModalModels?PhysicalCoordinates=CHAOSModalSpace=Simplicityq1

11

2q21q31

3BearingRotorBearingFoundationWhyBotherwithModalModels?P方程(1)與方程(2)計算量差多少？方程(1)與方程(2)計算量差多少？振型疊加法主要計算過程特征值分析：求解系統的固有頻率和模態振型坐標變換：將運動方程轉換到模態空間Duhamel積分：求解一系列單自由度系統振動方程振型疊加：得到系統的物理響應振型疊加法主要計算過程特征值分析：求解系統的固有頻率和模態振SolutionofaSDOFsystem零輸入響應(初值問題)零狀態響應SolutionofaSDOFsystem零輸入響應SolutionofaSDOFsystem？？？？？SolutionofaSDOFsystem？？？？？SummationofmodalequationsolutionsSummationofmodalequationso例題4.5求圖示系統在零初始條件下的響應

例題4.5求圖示系統在零初始條件下的響應主要思路利用影響系數法、牛頓第二定律或Lagrange方程列出系統的運動方程；利用頻率方程法或特征值分解法計算系統的固有頻率與振型；利用振型矩陣計算模態質量矩陣、模態剛度矩陣及模態力；利用Duhamel積分求解單自由度系統的動力響應；利用疊加原理和模態變換矩陣合成系統的物理響應。主要思路利用影響系數法、牛頓第二定律或Lagrange方程列解：建立系統微分方程

固有頻率，主振型

解：建立系統微分方程固有頻率，主振型解得

解得由

解得

構成

由解得構成主質量矩陣

主剛度矩陣

主質量矩陣主剛度矩陣主坐標下的振動微分方程（令）

主坐標下的振動微分方程（令第09課-多自由度系統的振動響應課件利用杜哈梅積分

利用杜哈梅積分第09課-多自由度系統的振動響應課件第09課-多自由度系統的振動響應課件討論幾個問題振型疊加法的理論依據？展開定理，模態正交性，疊加原理阻尼問題振型矩陣對阻尼矩陣正交性，Rayleigh阻尼可以利用試驗模態分析測量的阻尼比振型疊加法的計算量？模態截斷將振型方程凝聚（個數減少）可以方便地只計算感興趣的自由度響應討論幾個問題振型疊加法的理論依據？振型疊加法的基礎（依據）展開定理基于線性空間理論系統任一瞬時的響應都可以表示為各階振型的線性組合，從而運動方程可以實現物理空間與模態空間的轉換。模態正交性模態振型對于質量矩陣、剛度矩陣正交，從而保證模態空間中的運動方程是解耦的。線性疊加原理模態空間中系統總響應等于各單自由度響應之和，從而可以獨立求解各振型方程，再疊加得到系統的響應。阻尼矩陣呢？振型疊加法的基礎（依據）展開定理阻尼矩陣呢？WithregardtoWithregardto第09課-多自由度系統的振動響應課件振型疊加法的計算量幾乎所有的工程結構的振動響應中低階模態振動占主導地位，高階振動影響極小，因此只采用低幾階模態進行振型疊加計算可以獲得足夠的精度（模態截斷），這一思想在大量工程實踐得到充分證明。振型疊加法的計算量幾乎所有的工程結構的振動響應中低階模態振動討論幾個問題振型疊加法的理論依據？展開定理，模態正交性，疊加原理阻尼問題振型矩陣對阻尼矩陣正交性，Rayleigh阻尼可以利用試驗模態分析測量的阻尼比振型疊加法的計算量？模態截斷將振型方程凝聚（個數減少）可以方便地只計算感興趣的自由度響應討論幾個問題振型疊加法的理論依據？主要內容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析主要內容1.概述第09課-多自由度系統的振動響應課件第09課-多自由度系統的振動響應課件第09課-多自由度系統的振動響應課件第09課-多自由度系統的振動響應課件主要內容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析主要內容1.概述4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態空間理論的matlab動力響應分析k1=1000;k2=2000;k3=3000;m1=1;m2=2;alpha=1;beta=0.005;M=[m1,0;0,m2];K=[k1+k2,-k2;-k2,k2+k3];C=alpha*M+beta*K;n=size(M,1);Z=zeros(n);G=[CM;MZ];H=[K,Z;Z,-M];E=[eye(n);Z];ssA=-G\H;ssB=G\E;ssC=[-M\K-M\C];ssD=inv(M);t=0:0.01:10;f1=2*ex