南通市通州區金沙中學高二年級第二次調研考試數學試卷2021年11月5日命題人：審題人：試做人：時間：120分鐘分值：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線化為標準方程可得焦點坐標.【詳解】拋物線標準方程為，其焦點坐標為故選：C.2.已知方程－＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據方程表示雙曲線列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由題意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.故選：C3若直線與圓相交，則點（）A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內 D.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關系確定點與圓的位置關系即可.【詳解】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：，即，據此可得：點與圓的位置關系是點在圓外.故選：B.4.已知點為直線上的一點，分別為圓與圓上的點，則的最小值為（）A.5 B.6 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】分別求得圓的圓心坐標和半徑，求得，結合，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，所以，當共線時，取得最小值，故的最小值為.故選：C.5.若橢圓或雙曲線上存在點，使得點到兩個焦點的距離之比為，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“點”，下列曲線中存在“點”的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出滿足條件時的和，再求出，驗證，，能否是三角形的三邊長，即可得．【詳解】，則，若是橢圓，則，，，若是雙曲線，則，，A中橢圓，，，，，不存在；B中橢圓，，，，，不存在C中雙曲線，，雙曲線上點到到右焦點距離的最小值是，，，，構成，存在“點”，D中雙曲線，，，，，，不存在故選：C．【點睛】本題考查新定義“點”，解題方法是弱化條件，求出滿足部分條件的點具有的性質，驗證是否滿足另外的條件：構成三角形．從而完成求解．6.設點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為一邊作正方形，然后把問題轉化為正方形的中心在圓上或圓內，從而求出的取值范圍.【詳解】以為一邊作正方形，若對角線與圓有交點，則滿足條件存在，此時正方形的中心在圓上或圓內，即，所以，所以，所以.故選：D.7.若橢圓上的點到右準線的距離為，過點的直線與交于兩點，且，則的斜率為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】點代入橢圓方程，點到準線距離和，解得，由，得，聯立直線與橢圓方程得到，聯立消去即可求出【詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓，設：設因為，所以由得則結合，聯立消去解得故選：B.【點睛】在運用圓錐曲線問題中的設而不求方法技巧時，需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設而不求”；②“設而不求”不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多.8.已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、、A為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為，設，則，求出點P，Q的坐標，得出，，根據，再利用余弦定理求出，之間的關系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為．設，則，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點，則，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，則，所以，則，即，所以∴．故選：C.【點睛】方法點睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據圓錐曲線的統一定義求解．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓上，則△PAB面積的可能值是（）A. B.2 C.4 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由題意可知：，，求出的長，再利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離，則點到直線的距離的最大值為圓心到直線的距離加上一個半徑，最小值為圓心到直線的距離減去一個半徑，再結合三角形面積公式即可求出面積的取值范圍，結合選項得答案．【詳解】解：由題意可知：，，則，圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，設點到直線的距離為，則，，即，，又，，，即面積的取值范圍是，，結合選項可知，面積的可能取值是2或4或6．故選：BCD．10.已知，是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，則（）A.時，滿足的點有2個 B.時，滿足的點有4個C.的周長等于 D.的最大值為a2【答案】ABD【解析】【分析】對和，橢圓中使得最大的點位于短軸的兩個端點，利用余弦定理與基本不等式即可得到答案；對，結合橢圓定義及和的大小關系即可得到答案；對，結合橢圓定義及基本不等式即可得到答案.【詳解】對和，又又當時，，兩個短軸端點恰能使，正確；當時，，點位于短軸端點時，為鈍角，根據對稱性，在四個象限各有一個點能使，正確；對，，的周長為，錯誤；對，，，正確.故選：.11.設、分別是雙曲線：的左右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則下列結論正確的是（）A. B.的焦距是C.的離心率為 D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】設，則，，根據雙曲線的定義和離心率的公式可求得離心率，從而對選項進行逐一判斷即可得出答案.【詳解】設，則，，離心率，選項C正確，∴，，選項A正確，，選項B錯誤，設，將代入得，的面積為，選項D正確，故選:ACD.12.已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（）A.點的坐標為B.若直線過點，則C.若，則的最小值為D.若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程確定焦點坐標知A錯誤；直線與拋物線方程聯立，利用韋達定理可知B正確；根據過焦點可知最小值為通徑長，知C錯誤；利用拋物線焦半徑公式，結合中點坐標公式可求得點縱坐標，知D正確.【詳解】解：拋物線，即，對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；對于B，依題意，直線斜率存在，設其方程為，由，消去整理得，，，故B正確；對于C，若，則直線過焦點，所以，所以當時，的最小值為拋物線的通徑長，故C正確；對于D，，，即點縱坐標為，到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓與圓的公共弦長為___________.【答案】##【解析】【分析】先求出兩圓的公共弦直線的方程，再利用圓的弦長公式求解.【詳解】由題得兩圓的公共弦直線的方程為，圓的圓心為（1,2），半徑為3，所以圓心到直線的距離為.所以公共弦長為.故答案為：14.雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，直線l過F1與C的左支和右支分別交于A，B兩點，若x軸上存在點Q使得的角平分線過F2，且滿足，則C的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設，結合已知得到，利用角平分線定理得到，再結合雙曲線定義得到一個關于m，a的方程，在中利用余弦定理得到另一個m，c的方程，兩個方程聯立消元即可得到答案.【詳解】如圖所示，由題意可得，因為，所以，所以，設，則，因為平分，由角平分線的性質定理可得，，所以，，．由雙曲線的定義可得，所以，即①，，所以，所以，即是等邊三角形，所以，在中，，化簡可得②，由①②可得，所以．故答案為：15.已知拋物線：的焦點和準線，過點的直線交于點，與拋物線的一個交點為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義和線段比例關系，并結合已知條件即可求解.【詳解】由拋物線：的方程，易知焦點和準線：，過點作，垂足為，設準線與軸交于點，如下圖：不妨設，故，從而，又由拋物線定義可知，，又因為，，所以，解得，，所以.故答案為：.16.已知橢圓的左右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點，則的周長是___________，內切圓面積的最大值是________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據橢圓的定義求得的周長.將內切圓半徑的最大轉化為面積最大來求解，結合弦長公式求得面積的表達式，利用基本不等式求得面積的最大值，由此求得內切圓半徑的最大值，進而求得內切圓面積的最大值.【詳解】根據橢圓定義可知的周長；在內，，只要求面積最大值即可，設，，，則，于是，則，等號在時取到．故答案為：；【點睛】本小題主要考查橢圓的定義，考查橢圓中三角形的面積有關計算，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，的平分線BN所在直線方程為．求：（1）頂點B的坐標；（2）直線BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，由AB中點在上，B在直線上，聯立方程求出B的坐標；（2）求出A關于的對稱點為的坐標，即可求出BC邊所在直線的方程.【小問1詳解】設，由AB中點在上，可得即，又，聯立，解得，即；【小問2詳解】設A點關于的對稱點為，則有，解得，即，∴BC邊所在的直線方程為，即.18.已知橢圓，離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若，過的直線l交橢圓C于M?N兩點，且直線l傾斜角為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率及所過的點列方程組求參數、，寫出橢圓方程.（2）根據直線與橢圓相交，應用相交弦的弦長公式求，由點線距離公式求到的距離，進而求的面積.【詳解】（1）由題設，，則，故，∴橢圓C的標準方程為.（2）由題設易知：直線l為，聯立橢圓并整理得：，∴，，則，到的距離為，∴19.已知圓的圓心在第一象限內，圓關于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為．若點在直線上運動，過點作圓的兩條切線、，切點分別為，點．（1）求四邊形面積的最小值；（2）直線是否過定點？若過定點，求此定點坐標；若不過定點，請說明．【答案】（1）（2）過定點，定點坐標為【解析】【分析】（1）利用待定系數法求得圓的標準方程，再將四邊形面積轉化為，從而利用且求得最小值，由此得解；（2）根據題意得四點共圓，進而得四點所在圓的方程，再根據弦是四點所在圓與圓的公共弦求得直線的方程，最后結合直線系方程即可求得定點.【小問1詳解】依題意，設圓的標準方程為：，圓關于直線對稱，，圓與軸相切：，點到的距離為：，圓被直線截得的弦長為，，所以，，又，，，圓的標準方程為：，圓心為，與圓相切，，，，易得，所以，圓心到直線的距離，，即（當時取等號），又，（當時取等號），四邊形面積的最小值為.【小問2詳解】設，如圖，與圓相切，，，∴，∴四點共圓，圓心為，半徑為，所以四點所在圓的方程為，即，由題知弦是四點所在圓與圓的公共弦，所以兩圓相減，得直線的方程為,又∵，∴直線的方程為，即，所以由直線系方程可知直線的方程過和的交點，所以聯立方程，解得，所以直線過定點.20.已知拋物線：經過點.（1）求拋物線的方程及其準線方程；（2）設過點的直線與拋物線交于，兩點，若，軸.垂足為，求證：.【答案】（1）拋物線的方程為，其準線方程為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據拋物線經過的點求得，由此求得拋物線的方程及其準線方程.（2）設直線的方程為，聯立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數關系，求得、點的坐標，利用向量法證得.【詳解】（1）由拋物線經過點，得，即.所以拋物線的方程為，其準線方程為.（2）由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為.將代入，消去得，顯然，設，，則，.∵，∴是線段的中點，設，則，，∴，又軸，所以垂足的坐標為.則，，所以，所以.【點睛】解析幾何中，要證明兩條直線垂直，可以利用數量積為零或斜率相乘等于來證明.21.已知雙曲線的實半軸長為1，且上的任意一點到的兩條漸近線的距離乘積為（1）求雙曲線的方程；（2）設直線過雙曲線的右焦點，與雙曲線相交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得的平分線與軸或軸垂直？若存在，求出定點的坐標；否則，說明理由．【答案】（1）；（2）存在點使得的平分線與軸或軸垂直.【解析】【分析】（1）由已知得，漸近線為，利用點到直線的距離公式列方程即可求得，進而可得雙曲線的方程；（2）假設存在滿足題意，可得，設設，，直線與雙曲線方程聯立，消去可得關于的二次方程，得出、代入即可求解.【詳解】（1）由題意可得：，所以雙曲線所以漸近線方程為，設，則，即，因在雙曲線上，所以，即，所以，解得：，所以雙曲線的方程為：（2）假設存在，使得的平分線與軸或軸垂直，則可得，，設，，直線，由可得：，所以，，所以，即恒成立，整理可得：，所以即，所以，所以，解得，所以存在點使得