第一部分考研真題精選

一、選擇題

 

1設A，B，C為三個隨機事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，則A，B，C中恰有一個事件發生的概率為（）。[數一2020研]

A．3/4

B．2/3

C．1/2

D．5/12

【答案】D查看答案

【解析】只發生A事件的概率：

只發生B事件的概率：

只發生C事件的概率：

A，B，C中恰有一個事件發生的概率：

故選擇D項。

 

2設A，B為隨機事件，則P（A）＝P（B）的充分必要條件是（）。[數一2019研]

A．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

B．P（AB）＝P（A）P（B）

C．P（AB(＿)）＝P（BA(＿)）

D．

【答案】C查看答案

【解析】選項A只能說明事件A與事件B不相容，選項B只能說明事件A與事件B相互獨立，并不能說明P（A）＝P（B）。對選項D來說，若令B＝A(＿)，等式恒成立，亦不能說明P（A）＝P（B），故選C。

 

3設事件A，B相互獨立，P（B）＝0.5，P（A－B）＝0.3，則P（B－A）＝（）。[數一、數三2014研]

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】B查看答案

【解析】P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），故P（A）＝0.6，P（B－A）＝P（B）－P（AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2。

 

4設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從正態分布N（μ，σ2），則P{|X－Y|＜1}（）。[數一2019研]

A．與μ無關，而與σ2有關

B．與μ有關，而與σ2無關

C．與μ，σ2都有關

D．與μ，σ2都無關

【答案】A查看答案

【解析】因為X，Y相互獨立且都服從N（μ，σ2），記Z＝X－Y，則Z服從N（0，2σ2）分布。P{|Z|＜1}只與σ2有關，因此P{|X－Y|＜1}與μ無關，而與σ2有關。故選A。

 

5設隨機變量X的概率密度f（x）滿足f（1＋x）＝f（1－x），且

則P{X＜0}＝（）。[數一2018研]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

【答案】A查看答案

【解析】由f（1＋x）＝f（1－x），知f（x）的圖像關于x＝1對稱，利用特殊值法：將f（x）看成隨機變量X～N（1，σ2）的概率密度，根據正態分布的對稱性，P{X＜0}＝0.2。

 

6設隨機變量X～N（μ，σ2）（σ＞0），記p＝P{X≤μ＋σ2}，則（）。[數一2016研]

A．p隨著μ的增加而增加

B．p隨著σ的增加而增加

C．p隨著μ的增加而減少

D．p隨著σ的增加而減少

【答案】B查看答案

【解析】因為p＝P{X≤μ＋σ2}＝P{（X－μ）/σ≤σ}＝Φ（σ），所以p的大小與μ無關，隨著σ的增大而增大。

 

7設連續型隨機變量X1，X2相互獨立，且方差均存在，X1，X2的概率密度分別為f1（x），f2（x），隨機變量Y1的概率密度為，隨機變量Y2＝（X1＋X2）/2，則（）。[數一2014研]

A．EY1＞EY2，DY1＞DY2

B．EY1＝EY2，DY1＝DY2

C．EY1＝EY2，DY1＜DY2

D．EY1＝EY2，DY1＞DY2

【答案】D查看答案

【解析】

DY1＝E（Y12）－E2（Y1）＝EX12/2＋EX22/2－E2（X1）/4－E2（X2）/4－E（X1）E（X2）/2＝D（X1）/4＋D（X2）/4＋E（X1－X2）2/4≥D（X1）/4＋D（X2）/4＝DY2

 

8設X1，X2，X3是隨機變量，且X1～N（0，1），X2～N（0，22），X3～N（5，32），Pj＝P{－2≤Xj≤2}（j＝1，2，3）則（）。[數一、數三2013研]

A．P1＞P2＞P3

B．P2＞P1＞P3

C．P3＞P1＞P2

D．P1＞P3＞P2

【答案】A查看答案

【解析】若X～N（μ，σ2），則（X－μ）/σ～N（0，1），故

P1＝2Φ（2）－1，P2＝P{－2≤X2≤2}＝P{－1≤X2/2≤1}＝2Φ（1）－1，則P1＞P2；

P3＝P{－2≤X3≤2}＝P{（－2－5）/3≤（X3－5）/3≤（2－5）/3}＝Φ（－1）－Φ（－7/3）＝Φ（7/3）－Φ（1）

P3－P2＝1＋Φ（7/3）－3Φ（1）＜2－3Φ（1）＜0，故P2＞P3。

 

9設F1（x），F2（x）為兩個分布函數，其相應的概率密度f1（x），f2（x）是連續函數，則必為概率密度的是（）。[數一、數三2011研]

A．f1（x）f2（x）

B．2f2（x）F1（x）

C．f1（x）F2（x）

D．f1（x）F2（x）＋f2（x）F1（x）

【答案】D查看答案

【解析】四個選項均滿足大于等于零的條件，由D選項而易知，D項滿足連續分布概率密度的條件，為概率密度（其他選項均無法驗證滿足（－∞，＋∞）上積分為1的條件）。

 

10設隨機變量（X，Y）服從二維正態分布N（0，0；1，4；－1/2），下列隨機變量中服從標準正態分布且與X獨立的是（）[數三2020研]

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案

【解析】由二維正態的性質知X＋Y～N（μ，σ2），因

μ＝E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0

故

又服從二維正態分布，而

故與X不相關，由二維正態的性質知，與X獨立。

故應選C項。

 

11隨機試驗E有三種兩兩不相容的結果A1，A2，A3，且三種結果發生的概率均為1/3。將試驗E獨立重復做2次，X表示2次試驗中結果A1發生的次數，Y表示2次試驗中結果A2發生的次數，則X與Y的相關系數為（）。[數一2016研]

A．－1/2

B．－1/3

C．1/3

D．1/2

【答案】A查看答案

【解析】由題可求出X，Y的聯合分布概率如表1所示。

表1

所以，EX＝0×4/9＋1×4/9＋2×1/9＝2/3。同理EY＝2/3，EX2＝8/9，EY2＝8/9，EXY＝2/9。Cov（X，Y）＝EXY－EXEY＝－2/9。DX＝EX2－（EX）2＝4/9，DY＝EY2－（EY）2＝4/9。所以

 

12設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N（1，2），Y～N（1，4），則D（XY）＝（）。[數三2016研]

A．6

B．8

C．14

D．15

【答案】C查看答案

【解析】根據題意，X、Y相互獨立，則D（XY）＝E（XY）2－（EXY）2＝EX2EY2－（EXEY）2＝[DX＋（EX）2][DY＋（EY）2]－（EXEY）2＝14。

 

13將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關系數為（）。[數一2012研]

A．1

B．1/2

C．－1/2

D．－1

【答案】D查看答案

【解析】假設木棒兩段長度分別為x，y，有x＋y＝1即y＝1－x，故x，y是線性關系，且相關系數為－1。

 

14設隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從參數為1與參數為4的指數分布，則P{X＜Y}＝（）。[數一2012研]

A．1/5

B．1/3

C．2/5

D．4/5

【答案】A查看答案

【解析】已知X～E（1），Y～E（4）。故概率密度

從而（X，Y）聯合概率密度為

則

 

15設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區間（0，1）上的均勻分布，則P{X2＋Y2≤1}＝（）。[數三2012研]

A．1/4

 

B．1/2

C．π/8

D．π/4

【答案】D查看答案

【解析】由題意知X～U（0，1），Y～U（0，1）且相互獨立，則

由圖1，得

圖1

 

16設隨機變量X與Y相互獨立，且EX與EY存在。記U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}則E（UV）等于（）。[數一2011研]

A．EU·EV

B．EX·EY

C．EU·EY

D．EX·EV

【答案】B查看答案

【解析】UV＝max{X，Y}min{X，Y}，而無論X與Y的關系如何，UV＝XY。從而E（UV）＝E（XY）＝EX·EY。

 

17設X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，其中P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，Φ（x）表示標準正態分布函數，則利用中心極限定理可得的近似值為（）。[數一2020研]

A．1－Φ（1）

B．Φ（1）

C．1－Φ（2）

D．Φ（2）

【答案】B查看答案

【解析】E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，，，將標準化可得，由中心極限定理可知近似服從標準正態分布，，故選B項。

 

18設X1，X2，…，Xn（n≥2）為來自總體N（μ，σ2）（σ＞0）的簡單隨機樣本，令

則（）。[數三2018研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B查看答案

【解析】因為

所以

根據抽樣定理得：

又X(＿)與S2相互獨立，所以

 

19設X1，X2，…，Xn（n≥2）為來自總體N（μ，1）的簡單隨機樣本，記，則下列結論中不正確的是（）。[數一2017研]

A．服從χ2分布

B．2（Xn－X1）2服從χ2分布

C．服從χ2分布

D．n（X(＿)－μ）2服從χ2分布

【答案】B查看答案

【解析】A項，Xi－μ～N（0，1），故

B項，

即（Xn－X1）2/2～χ2（1）。

C項，由

D項，（X(＿)－μ）～N（0，1/n），則，所以n（X(＿)－μ）2～χ2（1）。

 

20設X1，X2，X3為來自正態總體N（0，σ2）的簡單隨機樣本，則統計量服從的分布是（）。[數三2014研]

A．F（1，1）

B．F（2，1）

C．t（1）

D．t（2）

【答案】C查看答案

【解析】由題意知，，X1－X2～N（0，2σ2），，X3～N（0，σ2），所以X3/σ～N（0，1），X32/σ2～χ2（1），且與X3/σ相互獨立，故

 

21給定總體X～N（μ，σ2），σ2已知，給定隨機樣本X1，X2，…，Xn，對總體均值μ進行檢驗，令H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0，則（）。[數一2018研]

A．若顯著性水平α＝0.05時拒絕H0，則α＝0.01時必拒絕H0

B．若顯著性水平α＝0.05時拒絕H0，則α＝0.01時必接受H0

C．若顯著性水平α＝0.05時接受H0，則α＝0.01時必拒絕H0

D．若顯著性水平α＝0.05時接受H0，則α＝0.01時必接受H0

【答案】D查看答案