第第頁四川省名校2023屆高三下學期高考仿真測試（二）數學（理）試卷（含解析）四川省名校2023屆高三下學期高考仿真測試（二）數學（理）試卷

學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題

1、已知集合,若,則實數m的取值范圍是()

A.B.C.D.

2、“”是“,是假命題”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3、在各項均為正數的等比數列中,,則()

A.1B.C.4D.

4、從分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張,則抽到的兩張卡片上的數字之積是3的倍數的概率為()

A.B.C.D.

5、函數在區間上的圖象大致為()

A.B.

C.D.

6、如圖,在長方體中,底面ABCD為正方形,E,F分別為,CD的中點,直線BE與平面所成角為,給出下列結論:

①平面;

②;

③異面直線BE與所成角為;

④三棱錐的體積為長方體體積的.

其中,所有正確結論的序號是()

A.①②③B.①②④C.②③③D.①②③④

7、一個算法的程序框圖如圖所示,該程序輸出的結果為,則空白處應填人的條件是()

A.B.C.D.

8、設,,則a,b,c的大小關系是()

A.B.C.D.

9、已知中,,,AD與BE交于點P,且,則()

A.B.C.D.

10、已知三棱錐的四個頂點在球O的球面上,,是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,,則球O的體積為()

A.B.C.D.

11、已知雙曲線,其焦點到漸近線的距離為6,則下列說法錯誤的是()

A.

B.雙曲線C的漸近線方程為:

C.雙曲線C的離心率為

D.雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為2

12、已知函數,若方程有兩個不相等的實數根,則實數k的取值可以是()

A.B.C.2D.4

二、填空題

13、的展開式中的系數為____________.

14、數在上單調遞增,則的最大值為_________.

15、過拋物線的焦點F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點$A,B(橫坐標分別為，，點A在第一象限)，為C的準線,過點A與垂直的直線與相交于點M.若,則________.

16、已知函數,若存在,使得成立,則的最小值為___________.

三、解答題

17、如圖,在平面四邊形ABCD中,,,.

(1)若,求的面積;

(2)若,求BC.

18、現有三個白球,十五個紅球,且甲、乙、丙三個盒子中各裝有六個小球.

(1)若甲、乙、丙三個盒子中各有一個白球,且小明從三個盒子中任選兩個盒子并各取出一個球,求小明取出兩個白球的概率;

(2)若甲盒中有三個白球,小明先從甲盒中取出一個球,再從乙盒中取出一個球,最后再從丙盒中取出一個球,如此循壞,直至取出一個白球后停止取球,且每次取球均不放回.若小明在第X次取球時取到白球,求X的概率分布和數學期望.

19、如圖,在四棱錐中,已知四邊形ABCD是邊長為的正方形,點S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心O,點P在棱SD上,且的面積為1.

(1)若點P是SD的中點,證明:平面平面PAC;

(2)在棱SD上是否存在一點P,使得直線SA與平面PAC所成的角的正弦值為若存在,求出點P的位置;若不存在,說明理由.

20、已知橢圓的短軸長為,左頂點A到右焦點F的距離為3.

(1)求橢圓C的方程及離心率;

(2)設直線l與橢圓C交于不同兩點M,N(不同于A),且直線AM和AN的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數,求F在l上的射影H的軌跡方程.

21、已知函數.

(1)是否存在實數a使得在上的最小值為,如果存在,求出a的值;如果不存在,請說明理出;

(2)已知函數有兩個不同的零點,記的兩個零點是,.

①求證:;

②求證:.

22、在直角坐標系xOy中,已知曲線C的參數方程為(t為參數),以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為(為直線l的傾斜角).

(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程;

(2)設,直線l與曲線C相交于A,B兩點,求的最大值.

23、不等式對于恒成立.

(1)求證:;

(2)求證:.

參考答案

1、答案：C

解析：，.故選C.

2、答案：B

解析：由題意,可得命題“，”是真命題,當即時,不等式恒成立;當時,應滿足,解得,綜上可得,實數;即命題“，”是假命題時m的范圍是,又由“”是“”的必要不充分條件,故選B.

3、答案：D

解析：，故選D

4、答案：A

解析：在六張卡片中隨機抽兩張的所有方法為種,兩張卡片數字之積是3的倍數有種,故概率為.故選A.

5、答案：B

解析：由題得,,可知為奇函數,排除C、D選項;當時,,故選B.

6、答案：D

解析：

7、答案：A

解析：運行程序,,判斷是,,判斷是,,判斷是,,判斷是,,判斷是,,判斷是,

，,判斷是,

,判斷是,

,判斷是,

，,

此時,需要退出程序,輸出S的值.

故填“”,

故選A.

8、答案：D

解析：由題，，.

構造函數，則，

可知單調遞增,當時,，

故在時單調遞減,則，

此時,則.

構造,則，

可知時,單調遞減,.

故在時單調遞增,則，

此時,,則有.

綜上所述,,故選D.

9、答案：B

解析：由題意得

，

又

,

,解得，，，

故選B.

10、答案：D

解析：如圖,由，是邊長為2的正三角形,

可知三棱錐為正三棱錐,則頂點P在底面的射影O為底面三角形的中心,

連接BO并延長,交AC于G,則,又,,

可得平面PBG,則,E,F分別是PA,AB的中點,,

又,即,,得平面PAC,正三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直,把三棱雉補形為正方體,則正方體外接球即為三棱錐的外接球,其直徑為,半徑為,則球O的體積為,

故選D.

11、答案：A

解析：依題意雙曲線的標準方程為中,，,故A不正確,雙曲線的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為,即,由①②可得，，雙曲線的方程為,從而可得到BCD均正確.故選A.

12、答案：D

解析：如圖,作出函數，的大致圖象,當時,，

,故在點處的切線斜率為，直線過定點，

當時,與圖象有一個交點；直線過點時,,此時與圖象有2個交點;當時,與圖象有一個交點;當時,與圖象有2個交點;綜上,當時,與圖象有2個交點,故方程有兩個不相等的實數根,則實數k的取值可以是4,故選D.

13、答案：9

解析：的系數為.

14、答案：

解析：在上單調,,

當時,，，,要滿足單調遞增,則只需,解得.

15、答案：9

解析：如圖,由拋物線定義知,而，為等邊三角形,,故直線的傾斜角為,直線的方程為.

由,得,即,

則,故.

16、答案：

解析：

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)由,

則,

，

故,

.

(2)設,則,

,

,

在內,,

即,

即,

即,

故,

即,

即,

即,

或(舍),

,

18、答案：(1)

(2)

解析：(1).

(2)X可取1,4,7,10,

，

，

，

X分布列如下

X14710

P

.

19、答案：(1)見解析

(2)存在點P符合題意,點P為棱SD上靠近端點D的三等分點

解析：(1)點S在底面ABCD上的射影為點O,

平面ABCD,

四邊形ABCD是邊長為的正方形,

,

,

,

即:,

又,點P是SD的中點,

,同理可得:,

又,且AP,平面PAC,

平面PAC,

又平面SCD,

平面平面PAC.

(2)如圖,連接OB,易知OB,OC,OS兩兩互相垂直,

分別以OB,OC,OS為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則,,,

假設存在點P使得直線SA與平面PAC所成的角的正弦值為,

點P在棱SD上,不妨設,

又，，

，，

設平面PAC的法向量為,

則,

令,則,又,

設直線SA與平面PAC所成的角為,則,

，

即,解得:或(不合題意,舍去),

存在點P符合題意,點P為棱SD上靠近端點D的三等分點.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)設橢圓C的半焦距為c,由已知,

又.

解得,故橢圓C的方程為.

橢圓C的離心率.

(2)當直線l垂直于y軸時,直線AM,AN的斜率乘積為正,與已知矛盾.

故可設l的方程為,代入,

并整理得.

設,則,.(*)

,由,

得.

整理得,將式代入,

得,

,化簡得,

解得(此時恒成立),

直線l經過定點,

又,

H的軌跡是以PF為直徑的圓(除去點F),

故點H的軌跡方程為.

21、答案：(1)

(2)見解析

解析：(1)，.

則,

當時,恒成立,函數單調遞增,沒有最值;

當時,令,

解得,負值舍去,

當時,,函數單調遞減,

當時,,函數單調遞增,

當時,函數取到最小值,

，

解得,

存在滿足條件的.

(2)由,得,令,

則,

令,解得,函數在上單調遞減,在單調遞增,

故在上有唯一最小值點,

若方程有兩個不同的零點,

則,且,

①函數的圖象在點，處的切線方程分別為和,

且在內,在上,先證:

即,即,

,令,解得,

在上單調遞減,在上單調遞增,

；

再證:,即,

令,

則恒成立,

在上單調遞減,,

令,

即可得,

即,

②,則,

若證,即證,

即,即,

即證,

即，

令,即證明,令,顯然,

，

令，

，，

故在區間，上單調遞減,

在區間，上單調遞增,又因，在區間上單調遞增,故,在區間上單調遞增,,則不等式