1984年全國高考數學試題及其解析

理工農醫類試題(本試卷共八大題，滿分120分?第九題是附加題，滿分10分，不計入總分)(本題滿分15分)本題共有5小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結論，其中只有一個結論是正確的?把正確結論的代號寫在題后的圓括號內?每一個小題：選對的得3分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的(不論是否都寫在圓括號內)，一律得負1分TOC\o"1-5"\h\z數集X={(2n+)n，n是整數}與數集Y={(4k±1)n，k是整數}之間的關系是()(A)XuY(B)X二Y(C)X=Y(D)XHY如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點，那么()(A)F=0，GM0,EM0.(B)E=0，F=0，GM0.(C)G=0，F=0，EM0.(D)G=0，E=0，FM0.如果n是正整數，那么石"-(一1)n](n2-1)的值()8(A)—定是零?(B)一定是偶數”(C)不一定是整數(D)是整數但不一定是偶數arccos(—x)大于arccosx的充分條件是()兀(A)xe(0,1](B)xe(-1,0)(C)xe[0,1](D)xe[0,—]2ggg5?如果e是第二象限角，且滿足cos--sin-=V1-sin0,那么-()(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)是第二象限角(D)可能是第一象限角，也可能是第三象限角(本題滿分24分)本題共6小題，每一個小題滿分4分+只要求直接寫出結果)已知圓柱的側面展開圖是邊長為與4的矩形，求圓柱的體積函數log(x2+4x+4)在什么區間上是增函數？0.53.求方程(sinx+cosx)2=-的解集.4?求(IxI+丄-2)3的展開式中的常數項，|x|5.求lim的值+ns3n+16.要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰，問有多少種不同的排法(只要求寫出式子，不必計算)?（本題滿分12分）本題只要求畫出圖形.1.設H（1.設H（x）=0,當x<0,1,當x>0,畫出函數y=H（x-1）的圖象+2.畫出極坐標方程（p—2）（8—￡）=0（p>0）的曲線+4（本題滿分12分）已知三個平面兩兩相交，有三條交線+求證這三條交線交于一點或互相平行.（本題滿分14分）設c,d,x為實數，cMO,x為未知數?討論方程logdX=—1在什么情況下有解?有解時（cx+一）x求出它的解+（本題滿分16分）設p豐0，實系數一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個虛數根Z],z2.再設Z],z2在復平面內的對應點是z,Z.求以Z,Z為焦點且經過原點的橢圓的長軸的長（7分）1212求經過定點M（1,2）,以y軸為準線，離心率為￡的橢圓的左頂點的軌跡方程’（9分）（本題滿分15分）在厶ABC中，ZA,ZB,ZC所對的邊分別為a,b,c，且c=10,cosAb4=—=三，卩為厶ABC的內切圓上的動點+求點P到頂點A,B,C的距離的平方和的最cosBa3大值與最小值.（本題滿分12分）x2設a>2,給定數列｛x｝，其中x=a,x二n(n=1,2…)求證:n1n+12(x—1)n1.x1.x>2,且n+1<1(n=1,2…);nxn2.如果a<3,那么x<2.如果a<3,那么x<2+^^(n=1,2…);n2n-1alg7如果a>3,那么當n>3時,必有x<3.、4n+1lg3九（附加題，本題滿分10分，不計入總分）如圖，已知圓心為0、半徑為1的圓與直線L相切于點A,3.點P自切點A沿直線L向右移動時，取弧AC的長為蚱3兀直線PC與直線AO交于點M又知當AP=時，點P的速度為V4求這時點M的速度.文史類試題(本試卷共八道大題，滿分120分)(本題滿分15分)本題共有5小題，每小題都給出代號為A,B,C,D的四個結論，其中只有一個結論是正確的-把正確結論的代號寫在題后的圓括號內每一個小題：選對的得3分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的(不論是否都寫在圓括號內)，一律得負1分*數集X={(2n+)n,n是整數}與數集Y={(4k±1)n,k是整數}之間的關系是()(A)XuY(B)X二Y(C)X=Y(D)XHY2?函數y=f(x)與它的反函數y=f-1(x)的圖象((A)關于y軸對稱(B)關于原點對稱(C)關于直線x+y=0對稱(D)關于直線x-y=0對稱3復數2-弓1的三角形式是兀..兀(B)cos+i兀..兀(B)cos+ism33(A)cos(-3)+ism(-3)兀..5兀cos+ism-36直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內的C)兀..兀cos-ism33D)(D)無數(A)一條直線不相交(B)兩條直線不相交(C)(D)無數條直線不相交方程x2-79x+1=0的兩根可分別作為()(A)一橢圓和一雙曲線的離心率(B)兩拋物線的離心率(C)一橢圓和一拋物線的離心率(D)兩橢圓的離心率(本題滿分24分)本題共6小題，每一個小題滿分4分+只要求直接寫出結果)已知函數log05(2x一3)>0，求x的取值范圍*已知圓柱的側面展開圖是邊長為與4的矩形，求圓柱的體積已知實數m滿足2x2-(2i-1)x+m-i=0,求m及x的值.4.求limnT8的值+n(n-1)(n-2)(n2+1)+(n2+2)4.求limnT8的值+n(n-1)(n-2)5?求(2<x—丄)6的展開式中x的一次幕的系數?X要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰問有多少種不同的排法(只要求寫出式子，不必計算)?(本題滿分12分)本題只要求畫出圖形.畫出方程y2=-4x的曲線+1畫出函數y二的圖象.(x+1)2

（本題滿分12分）已知等差數列a,b,c中的三個數都是正數，且公差不為零+求證它們的倒數所組成的數111、、列一，〒‘不可能成等差數列.abc（本題滿分14分）把1—]sin22a-sin2p-cos4a化成三角函數的積的形式（要求結果最簡廠4（本題滿分14分）如圖，經過正三棱柱底面一邊AB,作與底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面積為32cm2,求截得的三棱錐D-ABC的體積+D（本題滿分14分）某工廠1983年生產某種產品2萬件，計劃從1984年開始，每年的產量比上一年增長20%問從哪一年開始，這家工廠C生產這種產品的年產量超過12萬件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771）（本題滿分15分）已知兩個橢圓的方程分別是q：x2+9y2-45=0,C:x2+9y2-6x-27=0.求這兩個橢圓的中心、焦點的坐標求經過這兩個橢圓的交點且與直線-2y+11=0相切的圓的方程理工農醫類參考答案一、本題考查基本概念和基本運算.TOC\o"1-5"\h\z(1)C；(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本題考查基礎知識和基本運算,只需直接寫出結果.4卡8r.7兀r.兀(1)—或一.(2)xV—2.(3){xIx=一+n兀,neZ}u{xIx=-一+n兀,neZ}(4)-20兀兀1212(4)-20(5)0(6)P4-6!(5)07三、本題考查在直角坐標系和極坐標系內畫出圖形的能力.解：1111110_1蠱解：⑴四、本題考查直線、平面之間的位置關系，空間想象能力和邏輯推理能力.證明：設三個平面為a,B,Y,且aGB=c,an丫=b,BGY=a.*.*aGB=c,aGY=b,cca?bea.從而c與b或交于一點或互相平行.⑴若c與b交于一點,設cGb=P.由P$c,且cB，有PeB;又由Peb,且bY,有P^y.于是P^BGY=a.所以a,b,c交于一點(即P點).⑵若c〃b,則由bY,有c〃丫?又由cB,且BGy=a,可知c〃a.所以a,b,c互相平行.五、本題考查對數函數的基本概念、對數方程的解法和分析問題的能力.解：原方程有解的充要條件是:x>0,d0cx+>0,xd0cx+豐0,xd(cx+)-1=xx由條件(4)知x(cx+—)=1，所以cx2+d=1+再由cHO,可得x2=L衛TOC\o"1-5"\h\zxcdd又由x(cx+)=1及x>o,知cx+>0，即條件(2)包含在條件(1)及(4)中+xx再由條件(3)及x(cx+)=1，知x豐1?因此，原條件可簡化為以下的等價條件組:x

x>0,<x豐1,x>0,<x豐1,c1—dx2=、c由條件(1)(6)(5)(6)1—dc知>0.這個不等式僅在以下兩種情形下成立：cc>0,l—d>0,即c>O,dVl;cVO,l-dVO,即cVO,d>l.再由條件(1)(5)及(6)可知c豐1—d從而，當c>O,dV1且c豐1—d時，或者當cVO,d>1且c豐1—d時，原方程有解，它的解,'1—d是x二——c六、本題考查復數的概念、復數的幾何意義、橢圓的基礎知識和軌跡方程的求法.解：1.因為p,q為實數，P豐0，Z],z2為虛數，所以(—2p)2-4q<0,q>p2>0由Z],z2為共軛復數，知Z],Z2關于x軸對稱，所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點+根據橢圓的性質，復數加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數的關系，可得橢圓的短軸長=2b=|Z]+z2l=2|p|,焦距離=2c=|z-z|=J|(z+z)2—4zzI=2Jq—p2,12*1212長軸長=2a=2\：b2+c2=2\：'q.2?因為橢圓經過點M(1,2),且以y軸為準線，所以橢圓在y軸右側，長軸平行于％軸?1設橢圓左頂點為A(x,y)，因為橢圓的離心率為，1所以左頂點A到左焦點F的距離為A到y軸的距離的-，3x從而左焦點F的坐標為(~2,y)+設d為點M到y軸的距離，則d=1-|MF|1根據=懇及兩點間距離公式，可得d23x12G-—1)2+(y—2)2=(-)2,即9(x—3)2+4(y—2)2=1這就是所求的軌跡方程?七、本題考查解三角形和用坐標法解幾何問題的能力.cosAb解：由=—，運用正弦定理，有cosBacosAsincosAsinBcosBsinA由c=10.sinAcosA=sinBcosB:.sin2A=sin2B.冗因為AMB,所以2A=n-2B,即A+B=?^2由此可知厶ABC是直角三角形+b4—=,a2+b2=c2以及a>0,b>0可得a=6,b=8.a3如圖，設△ABC的內切圓圓心為OX切點分別為D,E,F,則AD+DB+EC=1(10+8+6)=12.但上式中AD+DB=c=10,^2所以內切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標系，則內切圓方程為：(x-2”+(y-2)2=4設圓上動點P的坐標為(x,y),則S=1PA|2+1PB|2+1PC|2=(x一8)2+y2+x2+(y一6)2+x2+y2=3x2+3y2一16x一12y+100=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3x4-4x+76=88-4x.因為P點在內切圓上，所以0<x<4,S=88-0=88,最大值S=88-16=72+最小值「x=2+2cosa解二：同解一，設內切圓的參數方程為｛(0<a<2兀),Iy=2+2sina從而S=1PA|2+|PB|2+|PC|2=(2cosa-6)2+(2+2sina)2+(2+2cosa)2+(2sina-4)2+(2+2cosa)2+(2+2sina)2=80-8cosa因為0<a<2兀，所以S=80+8=88,S=80-8=72*八、本題考查數列的基礎知識最大值不等式的證明和數學歸納法的運用.1.證：先證明x>2(n=1,2,…)用數學歸納法?n由條件a>2及X]=a知不等式當n=1時成立+假設不等式當n=k(k三1)時成立-當n=k+1時，因為由條件及歸納假設知x>2ox2-4x+4>0o(x-2)2>0,TOC\o"1-5"\h\zk+1kkk再由歸納假設知不等式(x-2)2>0成立，所以不等式x>2也成立從而不等式X>2kk+1n對于所有的正整數n成立?(歸納法的第二步也可這樣)證：111x=-[(x-1)+——+2]>-(2+2)=2k+12kx—12k所以不等式x〉2(n=1,2，…)成立■)n

再證明—+1<l(n=1,2…).由條件及x〉2(n=l,2,…)知再證明xxxn+1<1On——<1Ox>2,因此不等式fl<1(n=1,2…).也成立.TOC\o"1-5"\h\zx2(x一1)nxnnn(也可這樣證：對所有正整數n有x—x—n+1xn二-(1+)<-(1+——)二1.2x-122-1n還可這樣證：對所有正整數n有x-xnx-xnn+1x(x-2)―nn—2(x-1)nx>0,所以xn<1(n=1,2…).)2.證一：用數學歸納法由條件X］二aW3知不等式當1=1時成立假設不等式當n=k（k三1）時成立+當n=k+1時，由條件及x>2知kx<1+—Ox2<2（x-1）（2+丄）ox2-2（2+丄）x+2（2+丄）<0o（x-2）［x-（2+丄）］<0,k+12kkk2kk2kk2kkk2k-1再由x>2及歸納假設知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式x<2+丄也成kk+12k1立，從而不等式x<2+對所有的正整數n成立.n2n-1證二：用數學歸納法+證不等式當n=k+1時成立用以下證法：11由條件知x二（x+1+）再由x>2及歸納假設可得k+12kx-1kk1x<1x<k+121(2+茁)+1+12kTOC\o"1-5"\h\zx3x111133.證：先證明若x>3,貝Uk+1<.這是因為k+1=(1+)<(1+)—.kx4x2x-123-14kkk然后用反證法+若當n>a然后用反證法+若當n>alg34時,%有xk+1>3,則由第1小題知x1>x2>…>xn>x>3.

n+1xxx3因此，由上面證明的結論及乂=a可得3<x—x?—?—十1<a(丁)n,1n+11xxx412nlg4這與假設矛盾?所以本小題的結論成立■九、（本題不計入總分）本題考查導數概念、微分法和利用導數概念的物理意義解決實際問題的能力.解：作CD丄AM,并設AP=x,AM=y,ZCOD=e.由假設,2…2AC的長為3AP=3x，2半徑oc=i，可知e=半徑oc=i，可知e3考慮xe(0,兀)AMDM???△apm^dcm,??.喬=灰22=y-(1-C0S3X)22=y-(1-C0S3X)，°C=sin3Ism—x3x(1-cos2x)TOC\o"1-5"\h\z解得y=2.x-sinx32222222(x-sinx)(1-cosx+xsinx)-x(1-cosx)(1-cosx),而??dy/dt=[3J—篤3「^]冒(x-sin—x)2t3當兀=苧時,少v，代入上式得胚點的速度dy2(3兀2-4兀一8)=v.dt(3兀一4)2文史類參考答案一、本題考查基本概念和基本運算.（1）C;⑵D;⑶A;⑷C;⑸A.二、本題考查基礎知識和基本運算,只需直接寫出結果.⑴3<x<2.⑴3<x<2.2(3)m=0,x=—2(4)1(5)240(6)P4-6!7三.解:(4)1(5)240(6)P4-6!7三.解:（本題滿分12分）本題只要求畫出圖形.四.證:（本題滿分12分）四.證:如果一，匸，成等差數列，那么abc111a—bb—ca—bb—c——-—,即=兩邊乘以b,得=cbbccbac又因為a,b,c成等差數列，且公差不為零，所以a-b=b-c豐0.由以上兩式，可知1=丄.ac兩邊都乘以ac,得a=c.但由數列a,b,c的公差不為零，知aHe,這就得出矛盾.111、、從而一，丁,不可能成等差數列+abc五.（本題滿分14分）解:原式二(1-sin2sin22&-cos4cl4二匚ossin￡7cosa-coscosCOSQ+C：O￡oQ=CQSCOS4=（CQS-l-COS0—匚0$②嚴0十口■^一工，”r-Q十G■妙一氐、■z6.?/杯=（2亡鳳—-—COS—-—）X（-2sifL—-—Sin—-—）=QgltL（母-0）六.（本題滿分14分）解：因為這個三棱錐是正三棱錐，所以△ABC是正三角形，且DC所在直線與△ABC所在平面垂直+如圖，作厶ABC的高CE,連結DE由三垂線定理，知DE丄AB,所以ZDEC是二面角a-AB-B的平面角，ZDEC=300

CE=與60。三AB,DE=黑=呂用S截表示△ABD的面積，貝y截32CE=與60。三AB,DE=黑=呂用S截表示△ABD的面積，貝y截32=S=1AB-DE=1AB2,.?.AB=8.截22用5底表示△ABC的面積，則S=1AB-CE二底2?.?ZDEC=3Oo,所以DC=4.???V三棱錐B七.（本題滿分14分）解：設a［為這家工廠1983年生產這種產品的年產量，即a廠2.并將這家工廠1984,1985,…年生產這種產品的年產量分別記為a2,a3，….根據題意，數列{a}是一個公比為1.2的等比數列，其通項公式為a二2x1.2n-1n根據題意，設2x1.2n-i=12兩邊取常用對數，得lg2+(x-1)lg1.2二lg12.x二仗12一仗2+1二⑴+牝2一仗2+1二0.7781+1?10.84lg1.2lg3+2lg2-10.0791因為y二2x1.2x是增函數，現x取正整數，可知從1993年開始，這家工廠生產這種產品的產量超過12萬臺?答：略?八.（本題滿分15分）X2y2:—:—