2.4.1函數微分的概念2.4.2微分的計算2.4.3微分形式的不變性2.4.4微分的應用2.4函數的微分2.4.1函數微分的概念2.4.2微分的計算2.4.3若給定函數在點處可導,根據導數定義有.由定理1.2知，，其中是當

時的無窮小量，上式可寫作.(2.4.1)2.4.1

函數微分的概念返回1/16上一頁上一頁下一頁下一頁若給定函數在點處可導,根據導數定義有.由定理1(2.4.1)式表明函數的增量可以表示為兩項之和．第一項是的線性函數，第二項，當時是比高階的無窮小量．因此，當很小時，我們稱第一項

為的線性主部，并叫做函數的微分．2.4.1

函數微分的概念返回2/16上一頁上一頁下一頁下一頁(2.4.1)式表明函數的增量可以表示為兩項之和．第一項

定義2.3

設函數在點處有導數，則稱為在點處的微分，記作，即，(2.4.2)此時，稱在點

處是可微的.例如，函數在點處的微分為．2.4.1

函數微分的概念返回3/16上一頁上一頁下一頁下一頁定義2.3設函數在點處有導數，則稱函數在任意點的微分，叫做函數的微分，記作．(2.4.3)如果將自變量當作自己的函數，則有，說明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數的微分可以寫成2.4.1

函數微分的概念返回4/16上一頁上一頁下一頁下一頁函數在任意點的微分，叫做函數的微分，記作．，(2.4.4)即，

(2.4.5)也就是說，函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數，因此，導數又叫微商．2.4.1

函數微分的概念返回5/16上一頁上一頁下一頁下一頁，(2.4.4)即，(2.4.5)解；.可見.2.4.1

函數微分的概念返回6/16上一頁上一頁下一頁下一頁例1

求函數在，時的改變總量及微分．解；.可見.2.4.1函數微分的概念返回6/16上一頁上一2.4.1

函數微分的概念返回7/16上一頁上一頁下一頁下一頁曲線坐標的改變量微分的幾何意義示意圖動畫演示2.4.1函數微分的概念返回7/16上一頁上一頁下一頁下一函數微分的幾何意義就是：在曲線上某一點處．當自變量取得改變量時，曲線在該點處切線縱坐標的改變量．2.4.1

函數微分的概念返回8/16上一頁上一頁下一頁下一頁函數微分的幾何意義就是：在曲線上某一點處．當自變量取得改例2

求下列函數的微分：(1)；(2)．解(1)所以．(2)，．2.4.2微分的計算返回9/16上一頁上一頁下一頁下一頁例2求下列函數的微分：(1)；(2)，無論是自變量還是中間變量，的微分總可以用與的乘積來表示．函數微分的這個性質叫做微分形式的不變性．2.4.3微分的形式的不變性返回10/16上一頁上一頁下一頁下一頁以為中間變量的復合函數的微分，無論是自變量還是中間變量，2.4.3微分的形利用微分可以進行近似計算.這個公式可以直接用來計算函數增量的近似值．由微分的定義知，當很小時，有近似公式．，，2.4.4微分的應用返回11/16上一頁上一頁下一頁下一頁利用微分可以進行近似計算.這個公式可以直接用來計算函即．這個公式則可以用來計算函數在某一點附近的函數值的近似值．2.4.4微分的應用返回12/16上一頁上一頁下一頁下一頁即．這個公式則可以用來計算函解令，，因為相對于較小，可用上面的近似公式來求值．2.4.4微分的應用返回13/16上一頁上一頁下一頁下一頁例3

設某國的國民經濟消費模型為．其中：為總消費(單位：十億元)；為可支配收入單位：十億元).當時，問總消費是多少？解令，，因為相對于較小，可用上面的(十億元)．2.4.4微分的應用返回14/16上一頁上一頁下一頁下一頁(十億元)．2.4.4微分的應用返回14/16上一頁上一頁2.4.4微分的應用例4

1830年代后期，法國生理學家普瓦澤伊（JeanPoiseuille）發現了今天我們仍在用來預測必須擴張部分受阻塞的動脈半徑多少才能恢復正常的血液流動．他的公式為

即流體以固定的壓力在單位時間內流過的細管的體積V等于一個常數乘以管半徑的四次冪．問：半徑r增加10%對V的影響有多大？返回15/16上一頁上一頁下一頁下一頁2.4.4微分的應用例41830年代后期，法國解

因為

所以，r的微分和V的微分之間的關系為V的相對變化為即