第第頁2022-2023學年河南省商丘重點中學高二（下）期末數學試卷（含解析）2022-2023學年河南省商丘重點中學高二（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知全集，集合，滿足，，則()

A.B.C.D.

2.命題：，的否定是()

A.，B.，

C.，D.，

3.已知是定義域為的奇函數，時，，則()

A.B.C.D.

4.下列函數中，值域是的函數是()

A.B.C.D.

5.設函數在區間單調遞減，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

6.已知為奇函數，則()

A.B.C.D.

7.若則()

A.B.C.D.

8.已知函數，則函數的零點的個數是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.若，則下列不等式成立的是()

A.B.C.D.

10.設，，則下列結論正確的是()

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若且，，則

11.某同學根據著名數學家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為單位：，環境溫度為，單位，物體的溫度冷卻到，單位：需用時單位：分鐘，推導出函數關系為，為正的常數現有一壺開水放在室溫為的房間里，根據該同學推出的函數關系研究這壺開水冷卻的情況，則參考數據：()

A.函數關系也可作為這壺外水的冷卻模型

B.當時，這壺開水冷卻到大約需要分鐘

C.若，則

D.這壺水從冷卻到所需時間比從冷卻到所需時間短

12.若函數同時滿足：

對于定義域上的任意，恒有；

對于定義域上的任意，，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”．

下列四個函數中，能被稱為“理想函數”的有()

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知：或，：，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是______．

14.若函數同時具有下列性質：

；

當時，．

請寫出的一個解析式．

15.若，則實數的取值范圍是______．

16.定義在上的函數滿足，，當時，，則函數有______個零點．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

若二次函數的圖象的對稱軸為，最小值為，且．

求的解析式；

若關于的不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍．

18.本小題分

設，若，求的取值范圍．

19.本小題分

求不等式的解集；

求關于的不等式的解集，其中．

20.本小題分

設為實數，已知．

若函數，求的值；

當時，求證：函數在上是單調遞增函數；

若對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍．

21.本小題分

已知函數是偶函數．

求的值；

若函數的圖象與的圖象有且只有一個公共點，求的取值范圍．

22.本小題分

已知函數和．

若存在零點，求實數的取值范圍；

當函數和有相同的最小值時，求．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為全集，集合，滿足，，

則；；

故A；

故選：．

先求出，進而求得結論．

本題考查補集、交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意補集、交集的定義的合理運用．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了含有量詞的命題的否定，屬于基礎題．

利用含有一個量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，求解即可．

【解答】

解：由含有一個量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，

可得命題：，的否定是：，．

故選A．

3.【答案】

【解析】解：，由于是定義域為的奇函數，

所以．

故選：．

根據奇函數的性質即可求解．

本題主要考查了函數的奇偶性在函數求值中的應用，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：的值域為；的值域為；的值域為；，的值域為．

故選：．

根據指數函數、對數函數和的值域求每個選項函數的值域即可．

本題考查了指數函數、對數函數和的值域，指數函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．

5.【答案】

【解析】解：設，對稱軸為，拋物線開口向上，

是的增函數，

要使在區間單調遞減，

則在區間單調遞減，

即，即，

故實數的取值范圍是．

故選：．

利用換元法轉化為指數函數和二次函數單調性進行求解即可．

本題主要考查復合函數單調性的應用，利用換元法結合指數函數，二次函數的單調性進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題．

6.【答案】

【解析】解：由于函數為奇函數，

則，

即，

解得，經檢驗符合題意．

故選：．

由奇函數的性質可知，，由此可得的值．

本題考查奇函數，考查運算求解能力，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：令，則，

函數在上單調遞減，

，

即．

故選：．

令，則，可得函數在上單調遞減，即可得出．

本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

8.【答案】

【解析】解：令，

當時，，易知在上單調遞增，

由于，，

由零點存在定理可知，存在，使得；

當時，，

則，解得，，

作出、、、的圖象，如圖所示：

由圖象可知，直線與函數的圖象有三個交點；

直線與函數的圖象有兩個交點；

直線與函數的圖象只有一個交點；

綜上所述，函數的零點的個數為．

故選：．

令，根據、分別求出函數的零點或零點所在區間，再作出函數的圖象，根據圖象即可求出函數的零點．

本題考查了函數的零點與方程、轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于：當時，，成立；

對于：當時，，不成立；

對于：當時，，即，成立；

對于：，，，，即，不成立．

故選：．

利用不等式的性質判斷，利用作差法判斷．

本題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：若，則，所以，故A正確；

若，則，所以，故B不正確；

若，則，

當且僅當時取等號，故C正確；

設函數，則在上單調遞增，

若，且，，則，故D正確．

故選：．

根據不等式的性質即可判斷選項A正確，B錯誤，根據基本不等式即可判斷C正確，根據指數函數和反比例函數的單調性，即可判斷選項D正確，

本題考查了不等式的性質，基本不等式的應用，指數函數和反比例函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．

11.【答案】

【解析】解：對于：，則，

，整理得，故A錯誤；

對于：由題意得，

則當時，，故B正確；

對于：，

，解得，

，故C正確；

對于：設這壺水從冷卻到所需時間為分鐘，

則，

設這壺水從冷卻到所需時間為分鐘，

則，

，

，故D正確．

故選：．

根據函數，逐一分析選項，即可得出答案．

本題考查根據實際問題選擇函數類型，考查函數思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數單調性及奇偶性的判斷，熟練掌握基本初等函數性質是解本題的關鍵．

由已知新定義知，函數在定義域上為奇函數且單調遞減，結合各選項分別檢驗即可判斷．

【解答】

解：對于定義域上的任意，恒有，則為奇函數；

對于定義域上的任意，，當時，恒有，則單調遞減，

選項，，，故A選項錯誤；

選項為奇函數且為減函數，所以選項正確；

選項為增函數，所以選項錯誤；

選項，通過圖像可以發現為奇函數且為減函數，所以選項正確

故選：．

13.【答案】

【解析】解：條件：或，條件：，

且是的充分而不必要條件

集合是集合的真子集，

即，

故答案為：．

把充分性問題，轉化為集合的關系求解．

本題主要考查命題的真假判斷與應用、充分條件及必要條件的含義．

14.【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】

本題主要考查求函數解析式，屬于基礎題．

直接由已知函數的性質，聯想相關函數的性質，從而求出函數解析式．

【解答】

解：根據；

當時，．

所以滿足的函數關系式為．

故答案為：，答案不唯一．

15.【答案】

【解析】解：根據冪函數的定義域為，

且滿足，

函數為偶函數．

又由冪函數的性質，可得函數在單調遞增，在單調遞減．

根據不等式，可得，解得或且．

實數的取值范圍．

故答案為：．

由冪函數的定義域與單調性即可解出不等式．

本題主要考查冪函數的定義域與單調性，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：因為定義在上的函數滿足，

所以是以為周期的周期函數，

因為當時，，

所以的圖象如圖所示，

由，得，

所以將問題轉化為的圖象與交點的個數，

因為，，

，，

所以的圖象與的圖象共有個交點，

所以有個零點，

故答案為：．

由題意可得的周期為，畫出的圖象，由，得，所以將問題轉化為的圖象與交點的個數，由圖象可得答案．

本題主要考查函數的零點與方程根的關系，考查數形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由為二次函數，可設，

圖象的對稱軸為，最小值為，且，

，，

．

，即在上恒成立，

又當時，有最小值，

，

實數的取值范圍為．

【解析】根據已知條件列方程組來求得，，，也即求得．

由分離常數，進而求得的取值范圍．

本題主要考查函數恒成立問題，考查二次函數的圖象與性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：，

，，．

，

，

，

，

當時，，滿足題意；

當集合中只有一個元素時，，

此時，滿足題意；

當集合中有兩個元素時，

；

綜上的取值范圍或．

【解析】本題考查了交集的定義及其運算，考查了分類討論思想，熟練掌握分類討論解答問題的步驟是解題的關鍵．

由，得，先求得集合，利用分類討論方法分別求得集合，集合中只有一個元素和集合中有兩個元素時的范圍，再綜合．

19.【答案】解：可化為，即，

解得或，

所以不等式的解集為或；

當時，不等式的解集為，

當時，不等式可化為，不等式的解集為，

當時，不等式可化為，

當即時，不等式的解集為，

當即時，不等式的解集為或，

當即時，不等式的解集為或，

綜上，當時，不等式的解集為，

當時，不等式的解集為或，

當時，不等式的解集為或．

【解析】將分式不等式轉化為一元二次不等式，解不等式即可；

分類討論的范圍解不等式即可．

本題主要考查了分式不等式及含參二次不等式的求解，體現了分類討論思想的應用，屬于中檔題．

20.【答案】解：，

，可得，解得．

證明：．

，

當時，解析式可化簡為：，

設，是上任意兩個不相等的實數，則有

，

因為，，所以，

因此有，即，所以函數是上的遞增函數；

解：當時，而，所以，

因為，所以有，即，

化為在恒成立，

設，

對稱軸為：，，，故在上是增函數，要想恒成立，

只需該不等式恒成立，故；

當時，，

此時函數是單調遞增函數，要想在上恒成立，只需這與矛盾，故不成立；

當時，，

當時，函數是單調遞增函數，當時，由可知函數是單調遞增函數，

所以函數在時，最小值為，

要想在上恒成立，只需，而，所以，

綜上所述：的取值范圍為：．

【解析】利用函數的解析式求解即可．

化簡函數的解析式，利用函數的單調性的定義，證明即可．

推出，設，說明在上是增函數，要想恒成立，

只需恒成立，然后轉化求解即可．

本題考查函數與方程的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．

21.【答案】解：因為函數是偶函數，

所以，

所以，

即，

得對任意實數恒成立，

所以，解得；

由題意，函數的圖象與的圖象有且只有一個公共點，

則方程只有一解，

即，

即有且只有一個實根，

令，則，

所以方程有且只有一個正實根，

當時，舍去；

當時，若判別式，則，

即，解得或，

經檢驗，當時，，不滿足條件，舍去；

當時，，滿足條件；

若，即，解得或，

則方程的兩根異號，

所以，即，

所以；

綜上，實數的取值范圍是．

【解析】本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數圖象的應用，對數函數及其性質，指數函數與對數函數的綜合應用，考查分類討論思想和運算求解能力．

根據函數奇偶性的性質建立方程進行求解．

根據函數和的圖象只有一個交點，可得方程只有一解，利用換元法，令，可得方程有且只有一個正實根，對的范圍進行分類討論，即可求出結果．

22.【答案】解：因為，所以，

當時，，此時在單調遞增，

，所以在存在唯一零點，

所以在存在唯一零點；

當時，，所以在無零點；

當時，，，

此時在單調遞減，單調遞增，

所以，