1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質1一般地，對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開式中的二項式系數指的是那些？共有多少個？下面我們來研究二項式系數有些什么性質？二項式系數有什么特點？一般地，對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開2展開式中的二項式系數，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

………………二項式系數展開式中的二項式系數，如下表所示：11123(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法二項式系數的特點(a+b)1………14這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說明了表里“一”以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和，楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數學家賈憲（約公元11世紀）已經用過它。在歐洲，這個表被認為是法國數學家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先發現的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說5二項式系數的性質

展開式的二項式系數依次是：

從函數角度看，可看成是以r為自變量的函數,其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．二項式系數的性質展開式的二項式系數依次6二項式系數的性質2．二項式系數的性質

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．

這一性質可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項式系數的性質2．二項式系數的性質（1）對稱性7二項式系數的性質（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定．

二項式系數的性質（2）增減性與最大值由于：所以相對于8二項式系數的性質（2）增減性與最大值

由：

二項式系數是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當時，二項式系數的性質（2）增減性與最大值由：二項式系數9二項式系數的性質（2）增減性與最大值

當n為偶數時，中間一項的二項式系數

取得最大值；

當n為奇數時，中間兩項的二項式系數、相等，且同時取得最大值。二項式系數的性質（2）增減性與最大值當n為偶數時，中間10（3）各二項式系數的和

二項式系數的性質在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數公式．

（3）各二項式系數的和二項式系數的性質在二項式定理中，令11

一般地，展開式的二項式系數有如下性質：（1）（2）（3）當時，（4）當時，一般地，展開式的二項式系數（112初步訓練、選擇填空：1.(1﹣x)13的展開式中系數最小的項是（）(A)第六項(B)第七項（C）第八項(D)第九項2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯而成，每串有20個燈泡，只要有一個燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數為（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1CD4或5初步訓練、選擇填空：1.(1﹣x)13的展開式中系數13課堂練習：1）已知，那么=

；2）的展開式中，二項式系數的最大值是

；3）若的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數最大，則n=

；課堂練習：14

例1

證明在的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和．例1證明在的展開式中，奇數項的二項式154項的二項式系數是倒數第2項的二項式系數的7倍，求展開式中x的一次項．例2

已知的展開式中，第4項的二項式系數是倒數第2項的二項式系數的7倍，求展開式中x16

例3：的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項。變式引申：1、的展開式中，系數絕對值最大的項是（）A.第4項B.第4、5項C.第5項D.第3、4項2、若展開式中的第6項的系數最大，則不含x的項等于()A.210B.120C.461D.416例3：的展17例4、若展開式中前三項系數成等差

數列，求（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；（3）展開式中系數最大的項。例4、若181、已知的展開式中x3的系數為，則常數a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項的系數是__________課堂練習4.已知(1+)n展開式中含x-2的項的系數為12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展開式中第4項為106，求x的值.1、已知19作業作業本1.3.2（1）（1）二項式系數的三個性質。（2）數學思想：函數思想。a單調性；b圖象；c最值。（3）數學方法：賦值法、遞推法研究題：求二項式(x+2)7展開式中系數最大的項，試歸納出求形如(ax+b)n

展開式中系數最大項的方法或步驟。小結作業作業本1.3.2（1）（1）二項