2023年云南省玉溪市高考數學第一次質檢試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

1.（5分）（2023?玉溪模擬）已知集合/={x|/<4},8==,則4j8=（）

A.（-2,2）B.[0,3）C.（-2,3）D.（-2,3]

2.（5分）（2023?玉溪模擬）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，

若復數z=（2+山）,?（其中ae火）為“等部復數”,則復數z-2ai在復平面內對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

）n____

3.（5分）（2023?玉溪模擬）在扇形CO。中/CO￡>=——，0c=0。=2.設向量加=2反+，

3

n=OC+2OD,則所?）=（）

A.-4B.4C.-6D.6

4.（5分）（2023?玉溪模擬）如圖是某燈具廠生產的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐

和一個半球組合而成，圓錐的高是o.4w,底面直徑和球的直徑都是0.6m，現對這個臺燈表

面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）克（精確到個位數）

A.176B.207C.239D.270

5.（5分）（2023?玉溪模擬）已知奇函數/（X）=2COS3X-9）（0>O,0<*<外圖像的相鄰

兩個對稱中心間的距離為2萬，將/（x）的圖像向右平移。個單位得函數g（x）的圖像，則g（x）

的圖像（）

A.關于點（],0）對稱B.關于點（-弓,0）對稱

C.關于直線x=-工對稱D.關于直線》=工對稱

32

6.（5分）（2023?玉溪模擬）若a,&e{l,2,3},則在“函數/（燈=/〃（牛+ax+6）的定義

域為R”的條件下，“函數g（x）=a、-b-*為奇函數”的概率為（）

第1頁（共21頁）

20222023

7.（5分）（2023?玉溪模擬）玉知（1-媛（1+2x）5+（1+2O23x）+（1-2O22x）展開式中x的

系數為”空間有q個點，其中任何四點不共面，這4個點可以確定的直線條數為m,以這

q個點中的某些點為頂點可以確定的三角形個數為〃，以這0個點中的某些點為頂點可以確

定的四面體個數為p,則"?+”+p=（）

A.2022B.2023C.40D.50

8.（5分）（2023?玉溪模擬）已知a=e-2,b=\-ln2,c=ee-e2,則（）

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

9.（5分）（2023?玉溪模擬）已知雙曲線C過點G&）且漸近線方程為x士何=0,則下列

結論正確的是（）

A.C的方程為--匕=1

3

B.。的離心率為道

C.曲線y=e”2_i經過c的一個焦點

D.C的焦點到漸近線的距離為1

10.（5分）（2023?玉溪模擬）已知a>0,6>0,且a+6=4則下列結論一定正確的有（）

A.（4+26）2284bB.~>=H-7=22,ab

4a4h

14

C.仍有最大值4D.上+:有最小值9

ab

x2—2x,0令（2

11.（5分）（2023?玉溪模擬）已知函數/（x）=冗,則下列結論正確的有（）

sin—x,2<x^4

A-/（i）=-2r

B.函數圖像關于直線x=l對稱

C.函數的值域為[-1,0]

D.若函數y=/（x）-機有四個零點，則實數，"的取值范圍是（-1,0]

12.（5分）（2023?玉溪模擬）在棱長為1的正方體4用G2-/8C。中，M為底面N3CD的

第2頁（共21頁）

中心，。是棱4。上一點，且而=2萬%,2€[0,1],N為線段N0的中點，給出下列

A.CN與04/共面

B.三棱錐Z-DMN的體積跟2的取值無關

C.當；1=工時，AM1QM

4-

D.當彳=1時，過N,。，M三點的平面截正方體所得截面的周長為40+2拒

33

三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

13.（5分）（2023?玉溪模擬）已知函數y=2/〃（x+l）+sinx的圖象在冗=0處的切線的傾斜

角為a,則cosa=.

14.（5分）（2023?玉溪模擬）已知隨機變量X~5（2,p）,若P（X>1）=,，則p=___.

16

15.（5分）（2023?玉溪模擬）已知直線x+y-Jja=0與圓C:（x+l）2+（y-l）2=2/-2a+l

相交于點B,若ZU8C是正三角形，則實數a=—.

V22

16.（5分）（2023?玉溪模擬）已知耳，鳥分別是橢圓C：/+方v=l（a>b>0）的左、右焦

Y2

點，A,8是橢圓C與拋物線尸:y=-—+a的公共點，A,8關于y軸對稱且/位于y軸

a

右側，|NB|W2MA|，則橢圓C的離心率的最大值為.

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2023?玉溪模擬）在①4=",②夕=4這兩個條件中選擇一?個補充在下面的

問題中，然后求解.

設等差數列｛%｝的公差為d（deN）,前〃項和為S“，等比數列他,｝的公比為q.己知々=%,

4=2,,S]。=100.

（1）請寫出你的選擇，并求數列｛4｝和｛"｝的通項公式;

第3頁（共21頁）

（2）若數列｛c“｝滿足c“=&,設｛c,｝的前"項和為7；,求證：Tn<6.

b.

18.（12分）（2023?玉溪模擬）在A45C中，角/,B,C的對邊長依次是a,b,c,6=26，

sin2+sin2C+sin4sinC=sin2B.

（1）求角8的大小：

（2）當A48c面積最大時，求N8ZC的平分線的長.

19.（12分）（2023?玉溪模擬）某地力，B,C,。四個商場均銷售同一型號的冰箱，經

統計，2022年10月份這四個商場購進和銷售該型號冰箱的臺數如表（單位：十臺）：

4商場8商場C商場D商場

購講該型冰箱數3456

X

銷售該型冰箱數2.5344.5

y

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與工的關系，求y關于x的線性回歸方程/=去+4；

（2）假設每臺冰箱的售價均定為4000元.若進入/商場的甲、乙兩位顧客購買這種冰箱

的概率分別為p,且甲乙是否購買冰箱互不影響，若兩人購買冰箱總金

額的期望不超過6000元，求p的取值范圍.

2卬,_阿

參考公式：回歸方程/=八+3中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為3=號---------

十2

二天一優—2

,=!

A—，—

a=y-bx.

20.（12分）（2023?玉溪模擬）如圖，在四棱錐P-/BCO中，PA±ABCD,底面/8C。

是矩形，PA=AD=2,AB=4,M,N分別是線段PC的中點.

（1）求證：上火//平面尸40；

（2）在線段C。上是否存在一點0,使得直線N。與平面。MN所成角的正弦值為g?若存

在，求出絲的值；若不存在，請說明理由.

CD

第4頁（共21頁）

21.(12分)(2023?玉溪模擬)如圖，己知尸(1,0),直線=P為平面上的動點，過

點尸作/的垂線，垂足為點。，且/多=而?而.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點廠的直線與軌跡C交于/,8兩點，與直線/交于點設總=2,左，

MB=^BF,證明4+4定值，并求1441的取值范圍?

22.(12分)(2023?玉溪模擬)已知函數〃x)=e'T+"?+1的圖像與直線/：、+如+c=0相

切于點T(l，f(1)).

(1)求函數y=〃x)的圖像在點〃(0,7(0))處的切線在x軸上的截距：

(2)求c與0的函數關系c=g(a)；

(3)當。為函數g(a)的零點時，若對任意2],不等式/(x)-Ax20恒成立.求

實數〃的最值.

第5頁(共21頁)

2023年云南省玉溪市高考數學第一次質檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

x|y=心六卜貝'」山8=（）

1.（5分）（2023?玉溪模擬）已知集合4={X|X2<4},B=-

A.(-2,2)B.[0,3)c.(-2,3)D.(-2,3]

【解答】解：???>={x|d<4}={x|-2<x<2},

X

=3=冽=3。令<3},

/4|js={x|-2<x<3}.

故選：C.

2.（5分）（2023?玉溪模擬）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，

若復數z=（2+山）,?（其中ae夫）為“等部復數”,則復數彳-2ai在復平面內對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】ft?：vz=（2+ai）i=-a+2i,

又；“等部復數”的實部和虛部相等，復數z為“等部復數”，

-a=2>解得a=-2,

：.z=2+2i,

:.z=2-2i,即三一2山=2+2i,

復數亍-2畝在復平面內對應的點是（2,2）,位于第一象限.

故選：A.

3.（5分）（2023?玉溪模擬）在扇形CO。中/COQ=紜，OC=。。=2.設向量比=2方+礪,

3

n=OC+2OD,則濟萬二（）

A.-4B.4C.-6D.6

2TT

【解答】解：由題意，OC=OD=2,Z.COD——,

3

所以反2=］反『=4,OD=|OD|2=4,

由平面向量的數量積定義可得，反?麗=|反岡麗|xcos亨=2x2x（-；）=-2,

第6頁（共21頁）

所以和萬=（2反+而）?（反+2歷）=2方2+5OCOD+2OD2=6.

故選：D.

4.（5分）（2023?玉溪模擬）如圖是某燈具廠生產的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐

和一個半球組合而成，圓錐的高是0.4相，底面直徑和球的直徑都是0.6m,現對這個臺燈表

面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）克（精確到個位數）

A.176B.207C.239D.270

【解答】解：由已知得圓錐的母線長/=必/不=0.5,

所以臺燈表面積為S=nrl+Inr1=^-x0.3x0.5+2^x0.32=0.33萬，

需要涂膠的重量為0.33Tx200=66^^66x3.14=207.24?207（克），

故選：B.

5.（5分）（2023?玉溪模擬）已知奇函數"x）=2cos（0x-g）（＜y＞0,0＜。＜勿）圖像的相鄰

兩個對稱中心間的距離為2萬，將/（x）的圖像向右平移y個單位得函數g（x）的圖像，則g（x）

的圖像（）

A.關于點（］,0）對稱B.關于點（_予,0）對稱

C.關于直線x=-工對稱D.關于直線》=%對稱

32

【解答】解：根據題意可得工=24，又7=空，

2co2

又/（x）為奇函數，且0＜。＜乃，.,.可得*='，

/（x）=2sin^-x,g（x）=2sin（：（x-g））=2sin（!x-J）,

22326

令Lx-a=k九（kwZ）,x=2k7r+—（keZ）,故4錯誤，3正確;

263

4-x--=-+M*eZ）,x=2^+—（keZ）,故C、。錯誤.

2623

故選：B.

第7頁（共21頁）

6.(5分)(2023?玉溪模擬)若a,b&{\,2,3},則在“函數/'(x)=/〃(/+辦+6)的定義

域為R”的條件下，“函數g(x)="-b-'為奇函數”的概率為()

11cl八1c2

A.—B.—C.—D.一

6323

【解答】解：用所有的有序數對(。力)表示滿足a,bw{l,2,3}的結果，

則所有的情況為:(1,1).(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9

種，

記“函數/(幻=歷，+"+6)的定義域為R”為事件力，

因為函數/(x)=/〃，+ax+b)的定義域為我，

所以VxeR,x?+ax+6>0恒成立，

即△=/-46<0,即。2<46,

其中滿足/<46的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)共6種，故

P(A)=-=-.

93

記“函數g(x)=a*-6T為奇函數”為事件8.

已知g(x)是奇函數,且定義域為R,則g(1)=-g(-l),

g|la-l=-l+Z),即=

haah

解得a=h'^,ab=\.

滿足a=b或必=1的情況有(1,1),(2,2),(3,3)共3種，

所以，即同時滿足事件4和事件5的情況有(2,2),(3,3)共3種，

I

故尸(48)=3=1■,所以P(B|/)=[(』8)=]_=j_.

93尸(力)22

3

故選：C.

7.(5分)(2023?玉溪模擬)已知(l—x)"a+2x)5+(l+2023x)2°22+(l-2022x)2°23展開式中x的

系數為q,空間有q個點，其中任何四點不共面，這(7個點可以確定的直線條數為〃7,以這

4個點中的某些點為頂點可以確定的三角形個數為〃，以這q個點中的某些點為頂點可以確

定的四面體個數為p,則機+〃+p=()

A.2022B.2023C.40D.50

第8頁(共21頁)

【解答】解：(1-X)4(1+2X)5的展開式中含x的項為：

Cjl4(-x)°-C^l4(2x)1+C^l3(-x)'-C35(2x)°=6x,(1+2023x產22+。一2022》嚴23的展開式中含

X的項為：Go2212M(2023x)1+C；02312儂(-2022X)'=2022x2023x-2023x2022x=0,

45

所以(l-x)(l+2x)+(1+2023x>°22+(1_2022x)2023的展開式中含乂的項為6x,其系數q=6)

依題意得根+"+p=C；+C；+C：=15+20+15=50.

故選：D.

8.(5分)(2023?玉溪模擬)已知a=e-2,b=l-ln2,c=ee-e2,則()

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

【解答】令/"(x)=/〃x-x,X>1,則r(x)=1-l<0,于是/(x)在(1,+8)上單調遞減，

X

所以/(e)<f(2),即歷-2,即e-2>l-/〃2,故4>b；

令g(x)="—x,X>1,則<(幻=/一1>0,于是g(x)在(l,+oo)上單調遞增，

所以g(e)>g(2),即2,即？，一/>6一2,故c>〃；

綜上c>a>b?

故選：D.

二、選擇題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

9.(5分)(2023?玉溪模擬)已知雙曲線C過點(3,正)且漸近線方程為x士何=0,則下列

結論正確的是()

A.C的方程為/-匕=1

3

B.C的離心率為G

C.曲線y=e"2_i經過c的一個焦點

D.C的焦點到漸近線的距離為1

?>

【解答】解：因為雙曲線C的漸近線方程為X土6y=0,則設雙曲線。:日-爐=〃4H0),

又點(3,a)在雙曲線C上，有4=1,即雙曲線C的方程為=故4錯誤；

雙曲線C的實半軸長。=百，虛半軸長6=1,半焦距。=2,雙曲線C的離心率

第9頁(共21頁)

吒卷故8錯誤;

雙曲線C的焦點坐標為（±2,0）,其中（2,0）滿足y=e、-2—l,故C正確;

雙曲線C的焦點（±2,0）到漸近線x±傷=0的距離d=4==?，故。正確.

V1+3

故選：CD.

10.（5分）（2023?玉溪模擬）已知a>0,b>0,且a+6=4則下列結論一定正確的有（）

A.(a+2b)~》84bB.-廠T—尸》2jab

i4

C.仍有最大值4D.上+2有最小值9

ab

【解答】解：因為a>0,b>0,且a+b=4,

:(a+2b)2-Sab=(a-2b)2^0,/錯誤;

當a=b=2時取等號，8顯然錯誤;

因為a+b=4,

所以於（等）2=4,當且僅當a=6=2時取等號，C正確；

14a+ba+b5ba、5Jba9出口e業,八口.4

—+—=----+----=-+一+—2一+21--------=一，當且僅當力=2。且〃+力=44即a

ah4〃h44〃64\4ab43

時取等號，。錯誤.

3

故選：AC.

x2-2x,0令W2

11.（5分）（2023?玉溪模擬）已知函數/（x）=.7t，則下列結論正確的有（）

sin—x,2<送4

2

A-/（i）=_2f

B.函數圖像關于直線x=l對稱

C.函數的值域為[-1,0]

D.若函數y=/（x）-加有四個零點，則實數m的取值范圍是（-1,0]

x2-2尢,0令忘2

【解答】解：由函數/（》）=?71，

sin—x,2<我4

2

則/(-1)=sin|■乃=一

第10頁（共21頁）

且對應圖像大致如圖:

結合圖像可得：函數圖像不關于直線x=l對稱，函數的值域為[-1,0],若函數y=/（》）-，"

有四個零點，則實數加的取值范圍是（-1,0）,

故選：AC.

12.（5分）（2023?玉溪模擬）在棱長為1的正方體44Gq-48CO中，M為底面Z8CO的

中心，。是棱4A上一點，且麗=2互不，Ae[0,1],N為線段的中點，給出下列

命題，其中正確的是（）

B.三棱錐/-OA/N的體積跟4的取值無關

C.當；1=1時;AM1QM

4

D.當2時，過/,0,M三點的平面截正方體所得截面的周長為4近+2近

33

【解答】解：對選項/：在A/IC0中，因為M,N為AC,/。的中點，

所以MV//C0,所以CN與0M共面，所以才正確;

對選項3：由匕一DMV

因為N到平面4BCD的距離為定嗎，旦MDM的面積為定叫,

第11頁（共21頁）

所以三棱錐的體積跟4的取值無關，所以8正確；

]?1Q75

對選項C：當4=—時，A,Q=-9可得力A/2=—,AQ2=AA,2+A.Q2=14----=—，

4142??1616

取N。，42的中點分別為N,E,連接EN,EM,貝="N2+EN2=；+l,

在直角三角形ME。中,QM2=ME2+EQ2=（；>+（扣+/=舄，

則4加2+°”2>/。2,所以0A/不成立，所以C不正確.

對選項。：當2=；時，取瓦斤=g方高，連接HC,則HQ"A、C\,又ACI/A、C\所以，0〃/C,

所以4,M,C,H,。共面，即過X,Q,/三點的正方體的截面為ZC〃0,

由=c〃=J+.=半,則力CHQ是等腰梯形，且=；4G=*，

所以平面截正方體所得截面的周長為/=&+1+2x、用=還挈正,所以。正確：

3V93

故選：ABD.

三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

第12頁（共21頁）

13.（5分）（2023?玉溪模擬）已知函數歹=2比（x+l）+sinx的圖象在x=0處的切線的傾斜

角為a,則cosa=_—.

2-TT3

【解答】解：y=------+cosx,y|=3,HPtana=3>0,0<a<—,tana=-,

x+1v=021

利用三角函數定義，cosa=/==遮.

Vl+910

故答案為：—.

10

71

14.（5分）（2023?玉溪模擬）已知隨機變量X?8（2,p）,若P（X>1）=,，則

164

【解答】解：已知X?8（2,p）,

則尸（右1）=c\p（\-p）+C；p2（l-p）°=2p-p2,

717

/.2p-p2-—，解得p=—或p=—（因為0<夕<1,故舍去）.

1644

故答案為：

4

15.（5分）（2023?玉溪模擬）已知直線工+^-百〃=0與圓。:（工+1）2+3-1）2=2/一2〃+1

相交于點/,B,若ZU5C是正三角形，則實數

2

【解答】解：設圓。的半徑為，由2/一24+1=2（4-；）2+；〉0

貝I]r=,2/-2a+1

??,ZU8C是正三角形,

.?.點到直線AB的距離為當廠，

即*M7ET化簡整理可得,

替=（（2/_24+1）,解得”;.

故答案為：

2

r22

16.（5分）（2023?玉溪模擬）已知與，居分別是橢圓。:\+4v=1（。〉6>0）的左、右焦

a"h~

2

點，A,8是橢圓C與拋物線尸:y=-二+”的公共點，A,8關于y軸對稱且/位于y軸

a

右側，|N8|W2MBI，則橢圓C的離心率的最大值為

X2X2V2

【解答】解：聯立拋物線P:y=+a與橢圓C：A+4=l（a>b>0）的方程，

aab-

第13頁（共21頁）

消去x可得《一2=0,解得y=0或y=0,

baa

2

①y=0時，代入歹=一土+a,解得x=±a,

a

已知點Z位于y軸右側，取交點4（〃,0）,則8（-〃,0）,

此時|48《2|/行|o2”2（a-c）oc《0,與c〉0矛盾，不合題意；

b2x2

@y=一時，代入y=-----+〃，解得x=±c,

aa

已知點4,3關于y軸對稱且4位于y軸右側，取交點4（°,乙）、S（-c,—）,

aa

L2

???瑪（c,0）,???/_1_工軸,\AF1=—,

2a

2力2

此時\AB\^1\AF1|o2cW”-，

即acW〃=02-c2,兩端同除以/可得：

e2+e-1^0.

解得止叵WK上叵，又0<e<l,

22

.?.0<冬旦，

2

V5-1

???—=、一?

故答案為：好二！.

2

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2023?玉溪模擬）在①g=d,②=4這兩個條件中選擇一個補充在下面的

問題中，然后求解.

設等差數列｛”“｝的公差為d（deN*）,前"項和為S"，等比數列也J的公比為q.已知bt=at,

b2=2,,go=100.

（1）請寫出你的選擇，并求數列｛a,J和也,｝的通項公式：

（2）若數列｛g｝滿足設｛q,｝的前〃項和為7；,求證：Tn<6.

b?

【解答】解：（1）由題意得a“=q+（n-\）d,bn=l\q"',S“=na、+,

選條件①：二

第14頁（共21頁）

b\=4

b、q=2二廠。,解得a=i

,即

q=dd=2

10%+45d=1009=2

nx

/.an-a}+(〃-l)d=2n-\,bn—b}q~-2"，

故=2〃-1,bn-；

選條件②：???d€N”,

b、=a,%=1

[2a?+9d=20

髭=2,即.by=1

4，解得■

qd=4a.-=2d=2

a

10%+45d=100烏=2

/.an=%+(/?-l)d=2〃-1,b?=如"一

故。〃=2〃-1,bn-2"一1；

2n-\

（2）證明：由（1）得見=2〃-1,q=2〃T,

2小

35792,?-1

7=1t+-+—+—+—+???+①,

〃2222324

1Tl3579+竽②，

/=5+尹+尹+環+>+?…

111

-yX—

.x->,/^\/曰1__1112〃-122"-22n-1.2/7+3

由①一②得=2+^+齊+…+尹--—=2+-----二3-----------

2〃T

.Tx2〃+3

??北=62“—I?

又?.?對VneN*,即單>0恒成立,

2n~]

?U<6?

18.（12分）（2023?玉溪模擬）在A48C中，角4,B,C的對邊長依次是a,b,c,b=243,

sin2/i+sin2C+sin^sinC=sin2B.

（1）求角B的大小；

（2）當A4BC面積最大時，求N5NC的平分線力。的長.

【解答】解：（1）vsin2^4+sin2C+sin/IsinC=sin2B,

第15頁（共21頁）

由正弦定理可得"2=一雙，

由余弦定理得cos8=七=二.=

2ac2

又?..8￡（0,乃）,

-27r

B——；

3

7

22

（2）在AABC中，由余弦定理得人2=Q?+/-2accosB=>12=a+c一2〃ccos—4，即

3

Q2+c?+ac=12,

。>0,c>0,

/.a2+c2^2ac,當且僅當a=c時取等號，

22

12=a+c+ac23acnac^4，當且僅當a=c=2時，（ac）/MflX=4,

又??,bABC面積為S=—acsinB=—dfcsin—=—ac,

2234

當且僅當a=c=2時\ABC面積最大，

127r

當a=c=2時，NBAC=NC=—（4—〃）=—，

236

又???4。為N8/C的角平分線，

TT

/BAD=/DAC=——，

12

.?.在根8。中，ZADB=ZDAC+ZC=-+-=~,

1264

9百

72X--

.,.在中，由正弦定理得——=----nAD=—二-=娓.

.2萬.兀、/2

sin——sin

342

19.（12分）（2023?玉溪模擬）某地4,B,C,。四個商場均銷售同一型號的冰箱，經

統計，2022年10月份這四個商場購進和銷售該型號冰箱的臺數如表（單位：十臺）：

A商場B商場C商場D商場

購講該型冰箱數3456

X

銷售該型冰箱數2.5344.5

y

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程j）=R+a；

第16頁（共21頁）

(2)假設每臺冰箱的售價均定為4000元.若進入N商場的甲、乙兩位顧客購買這種冰箱

的概率分別為0,且甲乙是否購買冰箱互不影響，若兩人購買冰箱總金

額的期望不超過6000元，求p的取值范圍.

z%%一坷

參考公式：回歸方程)=%+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為5=上---------，

行-應2

<=|

a=y-bx.

【解答】解：(1)斤=3+4+5+6=46,

4

,2.5+3+4+45一

y—=3.5,

4

44

=3x2.5+4x3+5x4+6x4.5=66.5,^x,2=32+42+52+62=86,

，=11=1

所以，=66"4"4Q：3.5=o.7,則&=歹-宸=3.5-0.7x4.5=0.35，

86-4x4.5?

故y關于x的線性回歸方程為y=0.7x+0.35；

(2)設甲、乙兩人中選擇購買這種冰箱的人數為X,

則X的所有可能取值為0，1,2,

P(X=0)=(1-p)(2-2p)=2p2-4p+2,

P(X=1)=(l-p)(2p-1)+p(2-2p)=-4p2+5p-l,

P(X=2)=p(2p-1)=2p2-p,

所以X的分布列為：

X012

P2P2-4p+2-4p2+5p-l2P2-p

所以E(X)=0x(2p2-4p+2)+\x(-4p2+5p-\)+2x(2p2-p)=3p-\

￡(4000%)=4000(3/7-1),

令￡(4000X)^6000,即4000(3/7-l)^6000,解得p^-,

6

又因為pvl,

2

所以,<p4—,

26

第17頁(共21頁)

所以P的取值范圍為(；,6.

20.(12分)(2023?玉溪模擬)如圖，在四棱錐尸-488中，，平面Z8C。，底面/8C。

是矩形，PA=AD=2,AB=4,M,N分別是線段PC的中點.

(1)求證：4郎//平面尸/。；

(2)在線段C。上是否存在一點。，使得直線N0與平面ZM/N所成角的正弦值為:？若存

在‘求出器的值；若不存在’請說明理由

【解答】解：(1)如圖，取尸8中點E,連接ME,NE.

■：M,N分別是線段48,PC的中點,

:.ME//PA.又MEV平面P4D,P4u平面尸40,

.,.ME//平面尸4D,同理得NE//平面尸4D,又MECNE=E,

平面尸/平面A/NE,又MNu平面MNE,

.?.血//平面產力￡)；

(2)?.?四邊形/8C。為矩形，又產4_L平面N8C。，

AP>AB、兩兩垂直.

:.以4B、AD、/P所在直線為x、y、z軸建，立如圖的空間直角坐標系，

則根據題意可得C(4,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),M(2,0,0),N(2,1,1),

DM=(2,-2,0),麗=(2,-1,1),

設平面D