第4章不確定性推理方法教材：王萬良《人工智能導論》（第4版）高等教育出版社，2017.7第4章不確定性推理方法教材：2第4章不確定性推理方法現實世界中由于客觀上存在的隨機性、模糊性，反映到知識以及由觀察所得到的證據上來，就分別形成了不確定性的知識及不確定性的證據。因而還必須對不確定性知識的表示及推理進行研究。這就是本章將要討論的不確定性推理。下面首先討論不確定性推理中的基本問題，然后著重介紹基于概率論的有關理論發展起來的不確定性推理方法，主要介紹可信度方法、證據理論，最后介紹目前在專家系統、信息處理、自動控制等領域廣泛應用的依據模糊理論發展起來的模糊推理方法。2第4章不確定性推理方法現實世界中由于客觀上存在的隨機性3第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概念4.2可信度方法4.3證據理論4.4模糊推理方法3第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概念4第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理中的基本問題

4.2可信度方法4.3證據理論4.4模糊推理方法4第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理中的基本問54.1不確定性推理中的基本問題推理：從已知事實（證據）出發，通過運用相關知識逐步推出結論或者證明某個假設成立或不成立的思維過程。不確定性推理：從不確定性的初始證據出發，通過運用不確定性的知識，最終推出具有一定程度的不確定性但卻是合理或者近乎合理的結論的思維過程。54.1不確定性推理中的基本問題推理：從已知事實（證據）出6不確定性的表示與量度不確定性匹配算法及閾值的選擇組合證據不確定性的算法

不確定性的傳遞算法結論不確定性的合成4.1不確定性推理中的基本問題6不確定性的表示與量度4.1不確定性推理中的基本問題74.1不確定性推理中的基本問題1.不確定性的表示與量度（1）知識不確定性的表示（2）證據不確定性的表示——證據的動態強度（3）不確定性的量度

在專家系統中知識的不確定性一般是由領域專家給出的，通常是一個數值——知識的靜態強度

用戶在求解問題時提供的初始證據。在推理中用前面推出的結論作為當前推理的證據。①

能充分表達相應知識及證據不確定性的程度。②度量范圍的指定便于領域專家及用戶對不確定性的估計。③

便于對不確定性的傳遞進行計算，而且對結論算出的不確定性量度不能超出量度規定的范圍。④度量的確定應當是直觀的，同時應有相應的理論依據。

74.1不確定性推理中的基本問題1.不確定性的表示84.1不確定性推理中的基本問題2.不確定性匹配算法及閾值的選擇不確定性匹配算法：用來計算匹配雙方相似程度的算法。閾值：用來指出相似的“限度”。3.組合證據不確定性的算法：最大最小方法、Hamacher方法、概率方法、有界方法、Einstein方法等。84.1不確定性推理中的基本問題2.不確定性匹配算法及94.1不確定性推理中的基本問題4.不確定性的傳遞算法（1）在每一步推理中，如何把證據及知識的不確定性傳遞給結論。（2）在多步推理中，如何把初始證據的不確定性傳遞給最終結論。5.結論不確定性的合成94.1不確定性推理中的基本問題4.不確定性的傳遞算法10第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概念4.2可信度方法4.3證據理論4.4模糊推理方法10第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概111975年肖特里菲（E.H.Shortliffe）等人在確定性理論（theoryofconfirmation）的基礎上，結合概率論等提出的一種不確定性推理方法。優點：直觀、簡單，且效果好。4.2可信度方法111975年肖特里菲（E.H.Shortliffe）等12可信度：根據經驗對一個事物或現象為真的相信程度。可信度帶有較大的主觀性和經驗性，其準確性難以把握。C－F模型：基于可信度表示的不確定性推理的基本方法。4.2可信度方法12可信度：根據經驗對一個事物或現象為真的相信程度。4.213

產生式規則表示:

：可信度因子（certaintyfactor），反映前提條件與結論的聯系強度。

1.知識不確定性的表示

IF頭痛

AND流涕

THEN感冒

（0.7）

4.2可信度方法13產生式規則表示:1.知識不確定性的表示IF頭14

CF（H，E）的取值范圍:[-1,1]。若由于相應證據的出現增加結論H為真的可信度，則CF（H，E）>0，證據的出現越是支持H為真，就使CF（H，E)的值越大。反之，CF（H，E）<0，證據的出現越是支持H為假，CF（H，E）的值就越小。若證據的出現與否與H無關，則CF（H，E）=0。1.知識不確定性的表示4.2可信度方法14CF（H，E）的取值范圍:[-1,1]。1.知識15證據E的可信度取值范圍：[-1，1]。對于初始證據，若所有觀察S能肯定它為真，則CF(E)=1。若肯定它為假，則

CF(E)=–1。若以某種程度為真，則0<CF(E)<1。若以某種程度為假，則－1<CF(E)<0。若未獲得任何相關的觀察，則CF(E)=0。CF(E)＝0.6：E的可信度為0.62.證據不確定性的表示4.2可信度方法15證據E的可信度取值范圍：[-1，1]。CF(E)＝0.162.證據不確定性的表示

靜態強度CF（H，E）：知識的強度，即當E所對應的證據為真時對H的影響程度。動態強度

CF（E）：證據E

當前的不確定性程度。4.2可信度方法162.證據不確定性的表示靜態強度CF（H，E）：知識的17

組合證據：多個單一證據的合取則組合證據：多個單一證據的析取

則

3.組合證據不確定性的算法E=E1ANDE2AND…ANDEnE=E1ORE2OR…OREn4.2可信度方法17組合證據：多個單一證據的合取3.組合證據不確定性的算18C－F模型中的不確定性推理：從不確定的初始證據出發，通過運用相關的不確定性知識，最終推出結論并求出結論的可信度值。結論H

的可信度由下式計算：

4.不確定性的傳遞算法4.2可信度方法18C－F模型中的不確定性推理：從不確定的初始證據出發，通過19設知識：5.結論不確定性的合成算法（1）分別對每一條知識求出CF（H）：IFTHENIFTHEN4.2可信度方法19設知識：5.結論不確定性的合成算法（1）分別對每一條知20（2）求出與對H的綜合影響所形成的可信度：5.結論不確定性的合成算法4.2可信度方法20（2）求出與對H的綜合影響所形成的可信度21例4.1

設有如下一組知識：

已知：求：

4.2可信度方法21例4.1設有如下一組知識：已知：求：4.222解：

第一步：對每一條規則求出CF（H）。

4.2可信度方法22解：4.2可信度方法23解：

第一步：對每一條規則求出CF（H）。4.2可信度方法23解：4.2可信度方法24解：

第一步：對每一條規則求出CF（H）。

4.2可信度方法24解：4.2可信度方法25第二步：根據結論不確定性的合成算法得到：

綜合可信度：

4.2可信度方法25第二步：根據結論不確定性的合成算法得到：26第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概念4.2可信度方法4.3證據理論4.4模糊推理方法26第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概27

證據理論(theoryofevidence)：又稱D－S理論，是德普斯特（A.P.Dempster）首先提出，沙佛（G.Shafer）進一步發展起來的一種處理不確定性的理論。

1981年巴納特（J.A.Barnett）把該理論引入專家系統中，同年卡威（J.Garvey）等人用它實現了不確定性推理。目前，在證據理論的基礎上已經發展了多種不確定性推理模型。4.3證據理論27證據理論(theoryofevidence)：又稱284.3證據理論

4.3.1概率分配函數4.3.2信任函數4.3.3似然函數4.3.4概率分配函數的正交和（證據的組合）4.3.5基于證據理論的不確定性推理284.3證據理論4.3.1概率分配函數294.3.1概率分配函數

設D是變量x所有可能取值的集合，且D中的元素是互斥的，在任一時刻x都取且只能取D中的某一個元素為值，則稱D為x的樣本空間。在證據理論中，D的任何一個子集A都對應于一個關于x

的命題，稱該命題為“x

的值是在A中”。

設x：所看到的顏色，D={紅，黃，藍}，則A={紅}：“x是紅色”；

A={紅，藍}：“x或者是紅色，或者是藍色”。294.3.1概率分配函數設D是變量x所有可能取304.3.1概率分配函數

設D為樣本空間，領域內的命題都用D的子集表示，則概率分配函數（basicprobabilityassignmentfunction）定義如下：定義4.1

設函數M：（對任何一個屬于D的子集A，命它對應一個數M[0，1]）且滿足則M:上的基本概率分配函數，M（A）:A的基本概率數。304.3.1概率分配函數設D為樣本空間，領域內的命題都31幾點說明：（1）設樣本空間D中有n個元素，則D中子集的個數為個。：D的所有子集。（2）概率分配函數：把D的任意一個子集A都映射為[0，1]上的一個數M（A）。，時，M（A）：對相應命題A的精確信任度。（3）概率分配函數與概率不同。

4.5.1

概率分配函數

例如，設

A={紅}，

M（A）=0.3：命題“x是紅色”的信任度是0.3。

4.3.1概率分配函數

設D={紅，黃，藍}M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，

M（{藍}）=0.1，

M（{紅，黃}）=0.2，M（{紅，藍}）=0.2，M（{黃，藍}）=0.1，M（{紅，黃，藍}）=0.1，M（Φ）=0但：M（{紅}）+M（{黃}）+M（{藍}）=0.4設D={紅，黃，藍}則其子集個數23＝8，具體為：A={紅}，

A={黃}，

A={藍}，

A={紅，黃}，A={紅，藍}，

A={黃，藍}，A={紅，黃，藍}，A={}31幾點說明：4.5.1概率分配函數例如，設A={紅}32定義4.2

命題的信任函數（belieffunction）且：對命題A為真的總的信任程度。

4.3.2信任函數

由信任函數及概率分配函數的定義推出：

設D={紅，黃，藍}M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，M（{紅，黃}）=0.2，

32定義4.2命題的信任函數（belieffunct33

似然函數（plansibilityfunction）：不可駁斥函數或上限函數。定義4.3

似然函數且對所有的4.3.3似然函數

設D={紅，黃，藍}M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，M（{紅，黃}）=0.2，

33似然函數（plansibilityfunction）34定義4.4

設和是兩個概率分配函數；則其正交和：其中：

4.3.4概率分配函數的正交和（證據的組合）如果，則正交和M也是一個概率分配函數；如果，則不存在正交和M，即沒有可能存在概率函數，稱與矛盾。34定義4.4設和是兩個概率分配354.3.4概率分配函數的正交和例4.2設D={黑，白}，且設

則：

354.3.4概率分配函數的正交和例4.2設D={364.3.4概率分配函數的正交和同理可得:組合后得到的概率分配函數:364.3.4概率分配函數的正交和同理可得:374.3.5基于證據理論的不確定性推理

基于證據理論的不確定性推理的步驟：（1）建立問題的樣本空間D。（2）由經驗給出，或者由隨機性規則和事實的信度度量算基本概率分配函數。（3）計算所關心的子集的信任函數值、似然函數值。（4）由信任函數值、似然函數值得出結論。374.3.5基于證據理論的不確定性推理基于證據理論的38

例4.3

設有規則：（1）如果

流鼻涕

則

感冒但非過敏性鼻炎（0.9）或

過敏性鼻炎但非感冒（0.1）。（2）如果

眼發炎

則

感冒但非過敏性鼻炎（0.8）或

過敏性鼻炎但非感冒（0.05）。有事實：（1）小王流鼻涕（0.9）。（2）小王發眼炎（0.4）。問：小王患的什么病？4.3.5基于證據理論的不確定性推理38例4.3設有規則：4.3.5基于證據理論的不確39取樣本空間：表示“感冒但非過敏性鼻炎”，表示“過敏性鼻炎但非感冒”，表示“同時得了兩種病”。取下面的基本概率分配函數：4.3.5基于證據理論的不確定性推理39取樣本空間：4.3.5基于證據理論的不確定性推理40將兩個概率分配函數組合：

40將兩個概率分配函數組合：41似然函數：

結論：小王可能是感冒了。

信任函數：

41似然函數：結論：小王可能是感冒了。信任函數：42第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概念4.2可信度方法4.3證據理論4.4模糊推理方法

42第4章不確定性推理方法4.1不確定性推理的基本概434.4模糊推理方法4.4.1模糊邏輯的提出與發展4.4.2模糊集合4.4.3模糊集合的運算4.4.4模糊關系與模糊關系的合成4.4.5模糊推理4.4.6模糊決策434.4模糊推理方法4.4.1模糊邏輯的提出與發展444.4.1模糊邏輯的提出與發展

1965年，美國L.A.Zadeh發表了“fuzzyset”的論文，首先提出了模糊理論。444.4.1模糊邏輯的提出與發展1965年，美國L.454.4.1模糊邏輯的提出與發展2008年10月，Zadeh在北京現代智能國際會議上做報告。454.4.1模糊邏輯的提出與發展2008年10月，Zad464.4.1模糊邏輯的提出與發展

從1965年到20世紀80年代，在美國、歐洲、中國和日本，只有少數科學家研究模糊理論。

1974年，英國Mamdani首次將模糊理論應用于熱電廠的蒸汽機控制。

1976年，Mamdani又將模糊理論應用于水泥旋轉爐的控制。

464.4.1模糊邏輯的提出與發展從1965年到20世紀474.4.1模糊邏輯的提出與發展1983年日本FujiElectric公司實現了飲水處理裝置的模糊控制。1987年日本Hitachi公司研制出地鐵的模糊控制系統。1987年－1990年在日本申報的模糊產品專利就達319種。目前，各種模糊產品充滿日本、西歐和美國市場，如模糊洗衣機、模糊吸塵器、模糊電冰箱和模糊攝像機等。

474.4.1模糊邏輯的提出與發展1983年日本Fuji48

論域：所討論的全體對象，用U等表示。元素：論域中的每個對象，常用a,b,c,x,y,z表示。集合：論域中具有某種相同屬性的確定的、可以彼此區別的元素的全體，常用A，B等表示。元素a和集合A的關系：a屬于A或a不屬于A，即只有兩個真值“真”和“假”。模糊邏輯給集合中每一個元素賦予一個介于0和1之間的實數，描述其屬于一個集合的強度，該實數稱為元素屬于一個集合的隸屬度。集合中所有元素的隸屬度全體構成集合的隸屬函數。

4.4.2模糊集合1.模糊集合的定義48論域：所討論的全體對象，用U等表示。4.4.249例如，“成年人”集合：

4.4.2模糊集合1.模糊集合的定義“成年人”

隸屬度函數圖

“成年人”

特征函數圖

00494.4.2模糊集合1.模糊集合的定義“成年人”50當論域中元素數目有限時，模糊集合的數學描述為：元素屬于模糊集的隸屬度，是元素的論域。4.4.2模糊集合2．模糊集合的表示方法50當論域中元素數目有限時，模糊集合的數學描述為4.4514.4.2模糊集合2．模糊集合的表示方法（1）Zadeh表示法（1）論域是離散且元素數目有限:或

（2）論域是連續的，或者元素數目無限：514.4.2模糊集合2．模糊集合的表示方法（1）論域是離524.4.2模糊集合2．模糊集合的表示方法（2）序偶表示法（3）向量表示法524.4.2模糊集合2．模糊集合的表示方法（3）向量表示533.隸屬函數常見的隸屬函數有正態分布、三角分布、梯形分布等。

隸屬函數確定方法：（1）模糊統計法（2）專家經驗法（3）二元對比排序法（4）基本概念擴充法4.4.2模糊集合533.隸屬函數4.4.2模糊集合543．隸屬函數4.4.2模糊集合

例如：以年齡作論域，取，扎德給出了“年老”O與“年青”Y兩個模糊集合的隸屬函數為

采用Zadeh表示法:

543．隸屬函數4.4.2模糊集合例如：以年齡作論域55（1）模糊集合的包含關系

若，則（2）模糊集合的相等關系

若，則（3）模糊集合的交并補運算

①交運算(intersection)

4.4.3模糊集合的運算55（1）模糊集合的包含關系（2）模糊集合的相等關系（3）模56②并運算(union)

③補運算(complement)或者

4.4.3模糊集合的運算例4.4

設論域，A及B是論域上的兩個模糊集合，已知：BABABAè?、、、求56②并運算(union)4.4.3模糊集合574.4.3模糊集合的運算解：

574.4.3模糊集合的運算解：58（4）模糊集合的代數運算

①代數積：②代數和：③有界和：④有界積：4.4.3模糊集合的運算58（4）模糊集合的代數運算①代數積：4.4.3模59

例4.5設論域，A

及B是論域上的兩個模糊集合，已知：4.4.3模糊集合的運算解：59例4.5設論域604.4.4模糊關系與模糊關系的合成1．模糊關系身高與體重的模糊關系表

從X到Y的一個模糊關系R，用模糊矩陣表示：

普通關系:兩個集合中的元素之間是否有關聯，模糊關系:兩個模糊集合中的元素之間關聯程度的多少。

例4.6某地區人的身高論域X={140,150,160,170,180}（單位：cm），體重論域Y={40,50,60,70,80}。604.4.4模糊關系與模糊關系的合成1．模糊關系身高與614.4.4模糊關系與模糊關系的合成1．模糊關系

模糊關系的定義：

A、B：模糊集合，模糊關系用叉積(cartesianproduct)表示：叉積常用最小算子運算：

A、B：離散模糊集，其隸屬函數分別為：則其叉積運算：614.4.4模糊關系與模糊關系的合成1．模糊關系模糊62

例4.7

已知輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B：

求A到B的模糊關系R。解：4.4.4模糊關系與模糊關系的合成1.模糊關系0.02.05.08.00.1ooúúúúúú?ùêêêêêê?é==′=BTABARmm62例4.7已知輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B：求634.4.4模糊關系與模糊關系的合成1.模糊關系634.4.4模糊關系與模糊關系的合成1.模糊關系644.4.4模糊關系與模糊關系的合成2.模糊關系的合成

例8

設模糊集合644.4.4模糊關系與模糊關系的合成2.模糊關系的合654.4.4模糊關系與模糊關系的合成2.模糊關系的合成

解：654.4.4模糊關系與模糊關系的合成2.模糊關系的664.4.5模糊推理1.模糊知識表示人類思維判斷的基本形式：如果（條件）→則（結論）例如：如果壓力較高且溫度在慢慢上升則閥門略開

模糊規則：從條件論域到結論論域的模糊關系矩陣R。通過條件模糊向量與模糊關系R的合成進行模糊推理，得到結論的模糊向量，然后采用“清晰化”方法將模糊結論轉換為精確量。664.4.5模糊推理1.模糊知識表示模糊規則：從條件674.4.5模糊推理2.對IFATHENB

類型的模糊規則的推理

若已知輸入為

A，則輸出為

B

；若現在已知輸入為，則輸出用合成規則求取

其中模糊關系R:

控制規則庫的N條規則有N個模糊關系：對于整個系統的全部控制規則所對應的模糊關系R：674.4.5模糊推理2.對IFATHEN684.4.5模糊推理2.對IFATHENB類型的模糊規則的推理

例9已知輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B：前面已經求得模糊關系為：684.4.5模糊推理2.對IFATHEN694.4.5模糊推理2.對IFATHENB類型的模糊規則的推理

則：

當輸入