2023屆新高考數學真題解析幾何專題講義第17講定值問題

方法綜述

解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某

些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確，定的值，求定值問題常見

的解題模板有兩種：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

類型一與面積有關的定值問題

【例1】已知橢圓C:二+1過點/(2,0),8(0,1)兩點.

a~b

(I)求橢圓。的方程及離心率；

(11)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線尸N與y軸交于點直線尸8與x軸交于點N,求證：四邊

形/3NM的面積為定值.

解：(1)由題意得，a=2,6=1.所以橢圓。的方程為二+/=i.

4

又‘=A/(72-b2=所以離心率e=-=—.

a2

(2)設尸(%,%)(%<0,%<0),則X；+4*=4,又4(2,0),8(0,1)，二直線PA的方程為y=』-(x-2).

xn-2

令安。，得獷言‘；?即卜f+碧.

直線PB的方程為》=為二1+1.令y=0,得從而|/N|=2-x1,=2+

X。y0-1^-]

；|叫渺叫=：(2+士）（1+鼻）

所以四邊形/8M0的面積S=

1

y0-%-2

=蒼+4y<；+4%y04x°8K+4=2x°y。-2x。-4%+4=從而四邊形的面積為定值.

2aM-%-+2)xoyo-x0-2y0+2

【方法小結】

解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量

無關；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的

代數運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.

【例2】已知橢圓E:三+口=1,點4,8,C都在橢圓上，O為坐標原點，。為48中點，且函=2而.

43

1

(1)若點C的坐標為(13))，求直線45的方程；

(2)求證：A48c面積為定值.

——13

解：(1)設力(占,%),8小,%),-：CO=2OD,將4,8代入橢圓方程中

"k2

I

+M

-

l3一

露

可4化簡可得&+&)(再-%)+(必+必)(乂-%)-o

一N2

?%'43

+--

4I31

yry-_3（再+超）__3,i__工

2，直線〃8的方程為x+2y+2=0；

西-々4（乂+%）4k0D2

(2)證明：設C(w,〃)，，。(-絲,-巳)，

22

①當直線N8的斜率不存在時，〃=0,由題意可得C(2,0),31,3/或C(-2,0),/f3(l3,

19

此時SMBC=］倉電3=5；

31

②當直線48的斜率存在時，n'0,由（1）k^~--=,

ABB

4k0c4〃

3rn3m2+4n23〃z3

AB:y+--^（x+y）,即直線Z8:y=—x----------二——x——

4〃8〃4n2n

口r.￥3〃a+4ny+6=0/口，。

即3mx+4ny+6=0,由I））得3x2+3mx+3-4獷=0

|3x2+4y2=12

%+y-=1-竽

9：Cd=2OD,—^6n2+9m2,

2

。到AB的.距離d=/°二4.=3&a?=3倉*；的川+苛69

d9m?+16/72業+16〃」2

???S^c為定值.

【方法歸納】

1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某些

代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，,而始終是一個確定的值.常見定值問題的處

理方法：

(1)確定一個(或兩個)變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示

(2)將所求表達式用核心變量進行表示(有的甚至就是核心變量)，再進行化簡，看能否得到一個常數.

2.定值問題的處理技巧:

2

（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的

處理提供一個方向.

（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏

（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算.

【變式訓練1】

已知點48的坐標分別為「6,0）,（百,0）,直線/P,8P相交于點尸，且它們的斜率之積為

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點尸的軌跡為C,點M,N是軌跡C上不同于4,8的兩點，且滿足AP〃OM，BP〃ON,求證：AA/ON的

面積為定值.

解：（1）設點尸的坐標為（x,y）,由題意得，kAPkBP—'「—'「——（x貢-73）

x+V3x-V33

化簡得，點尸的軌跡方程為蚤+[=l（x貢百）.

（2）證明：由題意知，是橢圓C上不同于48的兩點，S.AP//OM,BP//ON,則直線4P,BP的斜

率必存在且不為0.

2

因為4P〃。河,8尸〃。N,所以七“kmkAPkH,,-§（x貢73）.

設直線MY的方程為x=tny+t,的坐標分別為Af/W%,%），

4mt

把x=叼+M弋入橢圓方程占+/二13+2m2

得（3+2nr）y2+4mty+It1-6=0

322t2-6

3+2m2

又k派="=_________繩_________-2*6.2*6-o

即2/=2川+3.

22

°、XjX2/歹必+mt{y}+%）+/3r_6M?3t-6m3

8m

又SAWN=；卜||乂-%|=J"'2：+：72.$慚=當-=當，即的面積為定值

【變式訓練2】在平面直角坐標系my中，已知點/（士,乂）,8（%,必）是橢圓E:工+必=]上的非坐標軸上的點,

4

且4k0A次QB+1=°（k0A,k0B分別為直線。4。3的斜率）.

（1）證明：x；+X）力+/均為定值;

（2）判斷AO/3的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

解：（1）證明：依題意，玉,々,乂,%均不為0,

則由米瘀+1=0,得"曲+1=0,化簡得力=-以，

中24乂

因為點A,B在橢圓上，所以x；+4y；=4,①，￥+4員=4,②

把力=-以代入②，整理得（X：+4寸）￥=16".

4M

3

結合①得考=4必2,同理可得X；=4^2，從而X：+x；=4月+x；=4,為定值,

2

才+W=才+,=1，為定值.

(2)S皿B=4OB=；舊+"舊貨71cos2AOB

二:舊+必2祀+貨小:竺)—+y；)(x；+戈廣(xm+必%)2=；|國力—x2yt\.

2V\x\必)(王2十與)乙

由⑴知￥=化，占2=4￡,易知必=-1,凹=￡或%=,*=-￡，

Sxo1t=；卜必-七必|=1gx：+2代=xj+44K二1,因此A0/8的面積為定值1.

類型二：與斜率有關的定值問題

與斜率有關的定值問題包括直線的斜率為定值，或兩直線的斜率之積為定值，或兩直線的斜率之比為定值,

或兩直線的斜率之和為定值等.

【例1】如圖，橢圓［+4=1的離心率是無，點(/3在橢圓上，設點4團分別是橢圓的右頂點和上頂點,

a'b~22

過點4，片引橢圓C的兩條弦4瓦57.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線與耳尸的斜率是互為相反數.

①直線斯的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是，說明理由;

②設年?、\B.EF的面積分別為E和邑，求E+$2的取值范圍.

I_c_8

i4二22

解：（1）fa2,解得j-，，橢圓的方程為二+/=i.

0+_L=i例=14-

,34b2

(2)①設點E(%,%)，尸(乙,必)，直線4E:y=%(x-2),直線與F:y=-云+1

獷=k{x~2)

聯立方程組Ex?,，消去V得(4/+1)/-16/》+16r-4=0

匕+「=1

2

16k-4=8H-2

2x,2*e?必=以占-2）=

4k2+1'*-4k+14儲+1軟2+1'442+1

4

y=-kx+\

聯立方程組8k

、，消去y得：(4/+i)V-8h二0,x2

24k2+1

IT+y=1

1-4A2.上8k1-4k2

y=-kx-^1=—；——，..點F(），故它口=；

222

4A+14公+1'止+1X]一工22

1

y=-x+t

22

②設直線￡/Ly=入聯立方程組，消去y得：x+2Zx+2『-2=0,

-2

1

△=(-2Z)2-4(2?-2)=8-4*>0,-V2<t<歷,x,+2

-2z,x,x2=2t-29

???|明=引=-4/.

設d\,d1分別為點4,4到直線EF的距離，則4=J1=&=1J?=>C

S\+S廣g(4+d2)\EF\^(\t+1|+1?-,

當1</<血時，&+S?=2/V2-t2=2V2?-Z4I(0,1)；

2

當-11時，S,+52=272-tI[2,272]；

2

當-亞〈/<-l時，S1+s2=-2rV2-t242ti(0,1)；

綜上可知：E+S2的取值范圍是（0,20].

22L

【例2】已知橢圓C:=r+Jv=T（a>b>0）的長軸長為4,焦距為2VL

a~b~

（I）求橢圓。的方程；

（II）過動點M（0,加）（加〉0）的直線交x軸與點N,

交C于點4尸（尸在第一象限），且M是線段PN

的中點.過點尸作x軸的垂線交C于另一點0,

延長線。M交C于點反

（i）設直線PM,0M的斜率分別為4,X,證明身為定值.

k

（ii）求直線的斜率的最小值.

解：（1）設橢圓的半焦距為c,由題意知2〃=4.2c=2V2,：.a=2,b=>la2-c2=也

.??橢圓c的方程為片+片=1.

42

（2）（i）設尸（工0，%）（%>。，%>0），由〃（0,加），可得尸（工0,2加）,。（％,-2掰）

5

...直線尸W的斜率左=由=㈣，直線0〃的斜率左仁-2m-m=-—

X。X。x0x0

此時能二?為定值-3.

一3，

(ii)設Z(X],切入例%，乃)，直線產力的方程為〉二kx+m,直線。4的方程為丁=-3kx+m,

y-kx+m

2

2。可得』2m~4

x2y2_整理得(2公+1)/+4加&+2m-4=0.由/玉=

(2k2+l)x

I!—+—=10

I42

2"尸2)+”2(7712-2)-64(陽2-2)+

必二處十加二同理:

2(18/+])x。'%一(18/+1)為''

(2k+l)x0

2(wi2-2)2(w2-2)_-32k2(m2-2)

2-

(18/2+Ox。(2k+l)x0(18&2+1)(2/+1)/

一6零2a〃L2")一〃，=二的空+=-2),.陰+_L)

1

(18/+1居(2k+l)x0(18F+1)(2/+1)/x2-x,4k4k

由加〉0,x0>0,可知%>0,6k+-32娓,當且僅當％=逅時取等號.此時土一=逅

k6V4-8w26

即〃?=恒，符合題意.所以直線Z8的斜率的最小值為逅.

72

【方法歸納】本題利用a,Ac,e的關系，確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓(圓錐曲

線)方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系，得到參數的解析式或方程是關鍵，易錯點是復雜式子

的變形能力不足，導致錯漏百出.

【例3】如圖，橢圓E：0+^-=l(a>b>0)經過點4(0,-1),且離心率為先.

ab2

(I)求橢圓E的方程；

(II)經過點(1,1),且斜率為左的直線與橢圓E交于不同兩點尸,。(均異于點/),證明：直線“尸與/。的

斜率之和為2.

解：(I)由題意知￡=變力=1,又/=/+/,...”=④，.?.橢圓的方程為反+2

a22

(II)由題設知直線P。的方程為y=Mx-1)+1(82),代入]+/=i,得

(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知A>0,設尸(冷凹),。(9,三)，王馬1°，

6

A

.，.x,+x2=：，9田2=2誓婷，直線4P與Q的斜率之和為

..y,+1y?+1kx、+2-kkx)+2-k~.xz11、

kAP+kAQ=—+—二-------—--------二條+(2-%)(一+—)

%1x2X)x2Xjx2

=2k+(2-k)%?&=2k+(2-左嚴6-D=2k-2(k-1)=2.即直線/尸與40的斜率之和為2.

x}x22k(k-2)

【方法歸納】定值問題的處理常見的方法：(1)通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進行一般

性的證明或計算，即將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角形形式，證明該式是恒定的，如果以客觀題形

式出現，特殊方法往往比較快速奏效；(2)進行一般計算推理求出其結果.

【例4】如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓耳=l(a>b>0)的右頂點和

ab

-------3.

上頂點分別為48,M為線段，8的中點，且。0必8=

2

(1)求橢圓的離心率；

(2)若。=2,四邊形4CD內接于橢圓，且/8〃￡)C.記直線

的斜率分別為匕,內，求證：占次為定值.

解：(1)由題意，45,0),8(0,6),由M為線段N8的中點得

：.OM=(p1),~AB=(-a,6).

因為曲必至=-3〃，所以b)=-4+Q=-空，整理得/=4/，即。=26.

222222

因為/=/+。2,所以3a2=4，，即2c.所以橢圓的離心率e=￡=且.

a2

丫21

(2)證明：由。=2得6=1,故橢圓方程為了+/=1.從而4(2,0),8(0,1),直線的斜率為

v-21

設C(x。,%),則點+需=1.因為/8〃OC,故CD的方程為y=-1(x-%)+”.

［尸~-(x-x0)+盟

聯立方程組j,，消去y,得/-(%+2.%)x+=0,

解得x=/或》=2yo.所以點。的坐標為(2%,gx°).

I

所以尢居=-----山----—>即尢溝為定值—.

-2%-2/4-4

【例5】已知橢圓』+4=l(a>b>0)的焦距為2,離心率為巫，右頂點為.

aIT2

(1)求該橢圓的方程;

7

（2）過點。（-忘，點）作直線尸0交橢圓于兩個不同點產，。，求證：直線1尸，40的斜率之和為定值.

解：（1）由題意可知2c=2D八又e—a3PK，所以橢圓方程為奪"L

（2）由題意得，當直線尸0的斜率不存在時，不符合題意；

當直線尸。的斜率存在時，設直線尸0的方程為y+亞=在（%-應），即y=kx-6k-五,

ly=kx--J2k--41

由1t>Q+2*)/-4應第+公x+4*+8在+2=0.

因為直線與橢圓交于兩點，故其D=-48A+1）>ODk〈-g,

,、mu4>/2(A2+A)4A2+Sk+2T7,,廣人、

設Pd,%),。a2,%)，則*1+々=-]+、/—,為々=-j~~點——>又4(后，0)

所以

_J]_y2_k&\-亞)-6_kG[-&)-五.￡&、+x>4_

“^x\x「在匕+々升2

即直線AP,AQ的斜率之和為定值1.

x2V21

【變式訓練2】已知橢圓C：q+5=&>b>0）的離心率為上,以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓

ab~2

與直線V7x-V5y+12=0相切.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設/94,0）,過點"（3,0）作與x軸不重合的直線/交橢圓C于0，0兩點，連接/P,4。分別交直線

x=與于〃，N兩點，若直線M的斜率分別為4,勾，試問：4黨是否為定值？若是，求出該定值,

若不是，請說明理由.

C_1

a2|a=4,,

【解析】(1)由題意得j~==bD26P—+—=

e21612

嚴電=甘+@1

由\!x正2十y五r_一「

2

（2）設2d,y2）,月仇，乃），直線PQ的方程為*二my+3,Qm+4)/+18/77y-21=0,

lx=my+3

-18m二-21

所以外+%二3m2+4'""3/z/2+4

28%

由力，P,M三點共線可知為

16+4為+43d+4)

3

同理可得行缶'選二A--9九八16yly2

16_49%+4)%+4)

——一3

33

8

2

,/%+4)%+4)=偽匕+7)fey2+7)=myty2+Im(y,+y2)+49,，&k廣—-------竽——-——=--.

m%%+7m解+y2)+497

【變式訓練3].如圖，橢圓G：[+5=l(a>b>0)和圓C2：x?+y2=b2,已知橢圓￡過點(1,日),焦距為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)橢圓G的下頂點為E,過坐標原點。且與坐標軸不重合的任意直線/與圓相交于點48,直線

EA,EB與橢圓G的另一個交點分別是點P,M.設/W的斜率為4,

直線/斜率為匕，求殳的值.

解：(I)解法1：將點(1,1)代入方程，解方程組，求得橢圓q的方

程為工+/=1.

2,

2

解法2：由橢圓定義的2a=2近，.?.橢圓G的方程為與+/=L

(2)由題意可知直線PE,板的斜率存在且不為0,PE1EM,不妨設直線PE的斜率為左伏>0),則

2L=4k

CL11rk+/=1,曰J2k2+1?A

PE.y-kx~1,由12。得t,或1=0,:.尸(￥-產;

i.i2k--\\y=-12k2+12k2+1

iy=7kx-\iv=———

1!2k2+1

用去代.左，得忖(辭,。)，則冗=*=1E-I

KK'Z.K'Z.3k，

|二2k

2V2

,|x+/=1fk+IX=0.2k3)

由士得士,或i,,.?A(——

Iy=kx-1|_k2-I~1k+1'/+r

rk2+1

則&=心，=*，所以,=|.

【變式訓練4】如圖，M是拋物線V=x上的一點，動弦ME,MF分別交x軸于48兩點，且.若M

為定點，證明：直線E『的斜率為定值.

【證明】設“(4,”)，直線A/E的斜率為左(左＞0),則直線板的斜率為-左，y\

.,?直線Affi的方程為歹-y0=k(x~需).

聯立亞一為a-訴)消去X,得7

(i-機產。.

ty=x

解得丹=匚盧，?.?4=￡興?同理，孫=1+儀).=(1+如。尸

kk-k'巨k2,

?如o_1+.02

.??h=?「孫_k-k_k(定值).二直線EF的斜率為定值.

22

“xE-XF(1-ky0)_(1+kyu)-4何%)2%

k2k2k2

類型三:與長度有關的定值問題

9

與長度有關的定值問題包括線段長度（弦長）為定值，或兩線段長度之積為定值，或兩線段對應數量積為

定值等.

【例1】已知橢圓4=1色>b>0）的離心率為亞，橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形面積為2.

a2tr2

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知直線y=k（x-l）0f>0）與橢圓C交于/,8兩點，且與x軸，y軸交于M"，兩點.

（I）若，^=TN,求*的值；

（II）若點0的坐標為己,0）,求證：至了加為定值；

4

解：（1）???4+4=l（a>b>0）滿足a?=b2+又e=^，:.a2=2?P甘=@

a2If2

又橢圓C的頂點與其兩個焦點構成的三角形的面積為2,即,倉協2c=2,即bc=2P6d=4

2

以上各式聯立解得/=4,廳=2,

...橢圓方程為工+二=1.

42

（2）（I）直線y=AG-1）與x軸交點為M（1,0）,與y軸交點為N。，％）,

聯立1）pQ+2*）/_4*x+2*-4=0

次+2/=4

AD16A4-40+22)(2*—4)=24^+16>0.

,4公

設力優，％）,8，/2），則占+巧=]+2.

又MB=(x2-lty2),AN=(~為，-4-%)

由"了=而得七+々=/^虧=1,解得k=±—

I21+2*2

由k>OPk=

2

4公2*-4

(II)由上可知+X]=--------,占次2二

121+2A2121+2A2'

______77>2-1)+.

所以6MX)B=Uj--^)=%一

二Uj-1)生一()十川%-1)CY2-1)

hc、/7A、4A249

=Q++(---*)-------+*+—

41+2*16

2爐—4+2k4-4k1-72一4〃+2+2A249

+——

1+2k216

-8*-44915

1+2k2161616

10

所以，萬萬列為定值-".

16

【例2】已知橢圓￡:=+4=1伍>b>0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P（K一）在

ah2

橢圓E上.

（1）求橢圓后的方程；

（II）設不過原點。且斜率為；的直線/與橢圓E交于不同的兩點48,線段AB的中點為M,直線。必與橢圓E

交于C,D,證明：|跖^MB\=\MC\桐D|.

2212

解:⑴由已知，“=2b.又橢圓—+專■=l（a>0）過點PG反,，.?.親?+今=1，解得。=1，所以橢圓

2

E的方程為工+/=1.

4

（2）設直線/的方程為y=m（加?0）,“（國,必）,8（乙,%）

|y+/=1

由方程組I4得/+2"a+2機2-2=0,

1=-x+m

由△=4(2-a/)>0得-逝<w<yf2.x,+x2--2m,xtx2=1m~~2,>>M點的坐標為(-zn,-y)

,K+/=i五

直線O”的方程為歹=-±X,由方程組J4得C(-加,汁),。(五

2b=4x2

所以|MC|根。|=虛)專(應+m)=*(2-m2).

1191C5C

又^MB\=-\AB\=-[(x,-x)2+(必-為『]=—[(^+x)2-4XX]

442lo2]2

=—[4w2-4(2〃/-2)]=-(2-m2).

164

所以|初4聚|皿,

【方法歸納】在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點問題時，一般都設交點坐標為（士,必）,（乙,力），同時把直

線方程與橢圓方程聯立，消元后，可得再+x2,xtx2,再把用X］,%表示出來，并代入剛才的玉+x2,x}x2,

這種方法是解析幾何中的“設而不求”法.可減少計算量，簡化解題過程.

2

［例3］已知橢圓E:y_l（a>h>0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線

/:>=-x+3與橢圓￡有且只有一個公共點7.

（1）求橢圓E的方程及點7的坐標;

11

(II)設0是坐標原點，直線/加07,與橢圓￡交于不同的兩點43,且與直線/交于點P.證明：存在常數

4,使得|尸刀2=⑷尸⑷榨并求使的值.

解：(I)由已知，a2+a2=(2c)2.即°=缶，所以〃=揚則橢圓E的方程為+仁=1.

22

三+匕=1

2b2b2"得3f-12x+(18-2/)=0.①

S\y=-x+3,

方程①的判別式為IZ%/-3),由A=0,得b2=3,此時方程①的解為x=2,

所以橢圓E的方程為《+仁=1?點7坐標為(2,1).

63

1|y=1

—x+m,

(II)由已知可設直線性的方程為y=aS/0),由方程組―2

ly=-x+3,

1二2--

可得1?所以P點坐標為(2-也，1+網),：.\PTf^-m2.

卜1+與.339

1+以1,

設點的坐標分別為/(』,")，BN，%).由方程組:63可得3x2+4wx+(4/-12)=0.②

卜=-x+m,

2

方程②的判別式為△=16(9-2m))由△>(),得-3f<m<，由②得x,+x2=~^-,xtx2-§

■-\pA=，(2樣-再)2+(1+?一必)2=當2一?一項，同理：\PB\=^-2-專X-

所以1PH懵|=:(2-典_司)(2一

592加、2—2m、/、

二-(2~—)~(2--)(-^1+工2)+玉G

=1(2-%-(2--)(--)+而-12

43333

102

=-m'.

9

故存在常數；i=使得|p?f=4PH將司.

【方法歸納】在涉及到直線與橢圓(圓錐曲線)的交點問題時，一般都設交點坐標為&,%),(々,外),同時把直

線方程與橢圓方程聯立，消元后，可得X]+%2，七“2，再把|P4|整咧用工”工2表示出來，并代入剛才的玉+工2，再工2，

這種方法是解析幾何中的“設而不求”法.可減少計算量，簡化解題過程.

12

【例4】在平面直角坐標系xoy中，過點C（p,0）的直線與拋物線/=2px（p>0）相交于兩點.設

A（xi,yi）,B（x2,y2）.

（1）求證：,必為定值；

（2）是否存在平行于夕軸的定直線被以ZC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長,

如果不存在，說明理由.

解：（1）（解法1）當直線N8垂直于x軸時，必=應0,%=-&P，因此切力=-2p2（定值）；

當直線不垂直于X軸時，設直線的方程為夕=%（x-p）,由￥：*"一力得O'2py-2P24=0,

I夕=2px

必必=-2p2,因此乂力=-2P2為定值；

（解法2）設直線AB的方程為叩=x-p,由護：V'得/-2pmy-2P2=0,必必=-2p2,因此

1N=2Px

y,y2=-2P2為定值；

（2）設存在直線/:x=。滿足條件，則/C的中點E（土產,/）,二AC=依-pF+婷.以4c為直徑的圓

的半徑r=~AC~；J（X1_p）2+y：=+p2,點E到直線x=a的距離d="；0-a

所以所截弦長為：

2yJr2-d~=+P2）~a）2=^xi+P2~（xt+P~2a）2=J-2x4p-2a）+4ap-4a?,

當p-2a=0即a=］時，弦長J4P4-4'4二夕為定值，此時直線方程為x=g

【例5】如圖，曲線￡是以原點。為中心、耳,居為焦點的橢圓的“八

一部分，曲線G是以。為頂點、工為焦點的拋物線的一部分，/是/-—碎A

曲線G和C2的交點且D/凡丹為鈍角，若用=］，|/周=2.______/.（//.

-L部~~7

（I）求曲線G和G的方程；\