三排列數(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)QUOTE=2QUOTE,則m的值為 ()A.5 B.3 【解析】選A.根據題意,若QUOTE=2QUOTE,則有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m(m-1)(m-2),即(m-3)(m-4)=2,解可得:m=5(m=2舍去).2.若6名學生排成兩排,每排3人,則不同的排法種數為 ()A.36 B.120 【解析】選C.此問題可以看成求6名同學站成一排的方法數,即QUOTE=QUOTE=720.QUOTE= ()A.12 B.24 【解析】選D.QUOTE=7×6×QUOTE,QUOTE=6×QUOTE,所以原式=QUOTE=36.4.由0,1,2,3,4,5組成的無重復數字的三位數中是5的倍數的有 ()【解析】選C.因為5的倍數的特征是個位數字為5或0,所以按照個位數字分為兩類:當個位數字為5時,首位數字從1,2,3,4中選一個,十位數字從0及余下的3個數字中選一個,所以有4×4=16個;當個位數字為0時,前面兩位數字從1,2,3,4,5中選2個排列,所以有QUOTE=5×4=20個,所以所求的三位數有16+20=36個.5.現有10名學生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相鄰排在一起,則不同的排法共有種 ()

A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.采用捆綁法和插空法;從4名男生中選擇3名,進而將3個相鄰的男生捆在一起,看成1個男生,方法數是QUOTE種,這樣與第4個男生看成是2個男生;然后6個女生任意排的方法數是QUOTE種;最后在6個女生形成的7個空隙中,插入2個男生,方法數是QUOTE種.綜上所述,不同的排法共有QUOTE種.6.10個人排隊,其中甲、乙、丙、丁4人兩兩不相鄰的排法有 ()A.QUOTE種 B.QUOTE-QUOTE種C.QUOTE種 D.QUOTE種【解析】選C.因為10個人排成一排,其中甲、乙、丙、丁4人兩兩不相鄰排成一排,所以采用插空法來解,另外六人,有QUOTE種結果,再在排列好的六人的七個空隙里,排列甲、乙、丙、丁,有QUOTE種結果,根據分步乘法計數原理知共有QUOTE種.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在學校國慶文藝晚會上,有三對教師夫婦參加表演節目,要求每人只能參加一個單項表演節目.按節目組節目編排要求,男教師的節目不能相鄰,且夫妻教師的節目也不能相鄰,則該6名教師表演的節目的不同編排順序共有種.(用數字填寫答案)

【解析】把6個節目按照先后出場順序依次記為編號1,2,3,4,5,6,則3名男教師只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)共4種位置安排,由于夫妻教師的節目又不能相鄰,可得以上4種安排的每種安排里,3名女教師的安排均是1種,故該6名教師的節目不同的編排順序共有4QUOTE=24種.答案:248.三個女生和五個男生排成一排.(1)如果女生必須全排在一起,可有種不同的排法.

(2)如果女生必須全分開,有種不同的排法.

【解析】(1)由于女生排在一起,可把她們看成一個整體,這樣同五個男生合在一起有六個元素,排成一排有QUOTE種排法,而其中每一種排法中,三個女生間又有QUOTE種排法,因此共有QUOTE·QUOTE=4320種不同排法.(2)先排5個男生,有QUOTE種排法,這5個男生之間和兩端有6個位置,從中選取3個位置排女生,有QUOTE種排法,因此共有QUOTE·QUOTE=14400種不同排法.答案:(1)4320(2)14400三、解答題(每小題10分,共20分)9.七名班委中有A,B,C三人,有七種不同的職務,現對七名班委進行職務具體分工.(1)若正、副班長只能從A,B,C三人中選兩人擔任,有多少種分工方案?(2)若正、副班長至少要選A,B,C三人中的一人擔任,有多少種分工方案?【解析】(1)先排正、副班長有QUOTE種方案,再安排其余職務有QUOTE種方案,依分步乘法計數原理知,共有QUOTE=720種分工方案.(2)七人中任意分工方案有QUOTE種,A,B,C三人中無一人任正、副班長的分工方案有QUOTE種,因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班長的分工方案有QUOTE-QUOTE=3600(種).10.用0,1,2,3,4,5這六個數字,完成下面兩個小題.(1)若數字不允許重復,可以組成多少個能被5整除的且百位數字不是3的不同的五位數?(2)若直線方程ax+by=0中的a,b可以從已知的六個數字中任取2個不同的數字,則直線方程表示的不同直線共有多少條?【解析】(1)當末位數字是0時,百位數字有4個選擇,共有4QUOTE=96(個);當末位數字是5,首位數字是3時,共有QUOTE=24(個);當末位數字是5時,首位數字是1或2或4時,共有3×3×QUOTE=54(個);故共有96+24+54=174(個).(2)a,b中有一個取0時,有2條;a,b都不取0時,有QUOTE=20(條);a=1,b=2與a=2,b=4重復;a=2,b=1,與a=4,b=2重復.故共有2+20-2=20(條).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對得3分,有選錯的得0分)1.3位數學家,4位物理學家,站成兩排照相.其中前排3人后排4人,要求數學家要相鄰,則不同的排隊方法共有 ()【解析】選D.第一類:3位數學家相鄰在前排有QUOTE種;第二類:三位數學家相鄰在后排,先從4位物理學家中選3位排在前排有QUOTE種,將3位數學家合一,與剩下的一名物理學家在后排排列有QUOTE種,3位數學家再排有QUOTE種,此類共有QUOTE種,綜上共有QUOTE+QUOTE=432(種).2.將9個相同的小球放入3個不同的盒子,要求每個盒子中至少有一個小球,且每個盒子里的小球個數都不相同,則不同的放法有 ()【解析】選B.每個盒子先放一個球,用去3個球,則不同放法就是剩余6個球的放法;有兩類:第一,6個球分成1,5或2,4兩組,共有2QUOTE=12種方法;第二,6個球分成1,2,3三組,有QUOTE=6種方法.所以不同放法共有12+6=18(種).3.(多選題)A,B,C,D,E五個人并排站在一起,則下列說法正確的有 ()A.若A,B兩人站在一起有24種方法B.若A,B不相鄰共有72種方法D.若A不站在最左邊,B不站最右邊,有78種方法【解析】選BCD.對于A,先將A,B排列,再看成一個元素,和剩余的3人,一共4個元素進行全排列,由分步乘法計數原理可知共有QUOTE=48種,所以A不正確;對于B,先將A,B之外的3人全排列,產生4個空,再將A,B兩元素插空,所以共有QUOTE=72(種),所以B正確;對于C,5人全排列,而其中A在B的左邊和A在B的右邊是等可能的,所以A在B的左邊的排法有QUOTE=60種,所以C正確;對于D,對A分兩種情況:一是若A站在最右邊,則剩下的4人全排列有QUOTE種,另一個是A不在最左邊也不在最右邊,則A從中間的3個位置中任選1個,然后B從除最右邊的3個位置中任選1個,最后剩下3人全排列即可,由分類加法計數原理可知共有QUOTE+QUOTE=78(種),所以D正確.4.《中國詩詞大會》(第二季)亮點頗多,十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞.在聲光舞美的配合下,百人團齊聲朗誦,別有韻味.若《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場,且《將進酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有 ()【解析】選B.根據題意分2步進行分析:①將《將進酒》《望岳》和另外兩首詩詞全排列,則有QUOTE=24種順序,因為《將進酒》排在《望岳》的前面,所以這4首詩詞的排法有QUOTE=12種.②這4首詩詞排好后,不含最后,有4個空位,在4個空位中任選2個,安排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》,有QUOTE=12種安排方法,則后六場的排法有12×12=144種.二、填空題(每小題5分,共20分)5.首屆中國國際進口博覽會在上海舉行,某高校擬派4人參加連續5天的志愿者活動.若甲連續參加2天,其他人各參加1天,則不同的安排方法有種;若甲參加2天,其中1天是第一天,其他人參加1天,則不同的安排方法有種.(用數字作答)

【解析】在5天里,連續2天的情況,一共有4種,剩下的3人全排列有QUOTE種,故一共有4×QUOTE=24(種);若甲參加第一天和剩下4天當中的一天,則等價于4人選擇4天的全排列,有QUOTE種,即24種.答案:24246.現有完全相同的物理書4本,語文、數學、英語書各1本,把這7本書擺在書架的同一層,要求每一本物理書至少與另一本物理書相鄰,則共有種擺法(用數字作答)

【解析】第一類,把物理書看作1本,和另外三本書全排即可,即QUOTE=24種,第二類,把4本物理書分每兩本組合在一起,把語文、數學、英語排好,有QUOTE=6種排列,將每兩本物理書插入到所形成的空中,即有QUOTE=36種,由分類加法計數原理可得共有24+36=60(種).答案:607.5位同學排隊演出,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相鄰,且女生甲不能排在第一位,則排法種數為.

【解析】若第一個出場的是男生,則第二個出場的是女生,以后的順序任意排,有2×3×QUOTE=36種排法;若第一個出場的是女生(不是女生甲),則將剩余的2位女生排列好,2位男生插空,有2×QUOTE×QUOTE=24種排法.故所有的排法種數為36+24=60.答案:608.用數字0,1,2,3,4,5組成無重復數字的6位自然數.若要求相鄰兩個數字奇偶性不同,則可以組成個.(用數字作答)

【解析】用數字0,1,2,3,4,5組成無重復數字的6位自然數,若首位為偶數,則首位不為0,有2×QUOTE×QUOTE=24(個),若首位為奇數,則有:QUOTE×QUOTE=36(個);故共有24+36=60(個).答案:60三、解答題(每小題10分,共30分)9.從6名運動員中選4人參加4×100米接力賽,在下列條件下,各有多少種不同的排法?(1)甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒;(2)甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.【解析】(1)因為甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒,所以可分兩步,第一步,排甲、乙兩人,有QUOTE=2種排法;第二步,從剩下4人選出兩人來跑第一棒和第四棒,有QUOTE=12種排法,所以共有2×12=24種排法.(2)以乙跑不跑第一棒分成兩類:第一類,乙跑第一棒,有QUOTE=60種排法;第二類,乙不跑第一棒,有QUOTE=192種排法,所以共有60+192=252種排法.10.在班級活動中,4名男生和3名女生站成一排表演節目:(寫出必要的數學式,結果用數字作答)(1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少種不同的排法?(2)甲、乙、丙三人按高矮從左到右有多少種不同的排法?(甲、乙、丙三位同學身高互不相等)(3)現在有7個座位連成一排,僅安排4個男生就座,恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種?【解析】(1)根據題意,分2種情況討論:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有QUOTE=720種情況,②女生甲不站在右端,甲有5種站法,女生乙有5種站法,將剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有QUOTE=120種站法,則此時有5×5×120=3000種站法,則一共有QUOTE+5×5×QUOTE=720+3000=3720種站法.(2)根據題意,首先把7名同學全排列,共有QUOTE種結果,甲、乙、丙三人內部的排列共有QUOTE=6種結果,要使甲、乙、丙三個人按照一個高矮順序排列,結果數只占6種結果中的一種,則有QUOTE=840(種).(3)根據題意,恰好有兩個空座位相鄰分2種情況:①兩個相鄰空座位在兩邊,1、2或6、7上,第三個空座有4種選擇;②兩個相鄰空座位在中間,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一個,第三個空位有3種選擇,4個男生全排列有QUOTE=24種坐法,共(2×4+4×3)×24=480種坐法.11.從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列,求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種?(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種?(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種?(4)甲不在首位,同時乙不在末位的排法有多少種?【解析】(1)方法一:把元素作為研究對象.第一類,不含甲,此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名放在5個位置上,有QUOTE種排法.第二類,含有甲,甲不在首位.先從4個位置中選出1個放甲,再從甲以外的6名同學中選出4名排在沒有甲的位置上,有QUOTE種排法.根據分步乘法計數原理,有4×QUOTE種排法.由分類加法計數原理知,共有QUOTE+4×QUOTE=2160(種)排法.方法二:把位置作為研究對象.第一步,從甲以外的6名同學中選1名排在首位,有QUOTE種方法;第二步,從