./幾何變換的三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)知識(shí)關(guān)聯(lián)圖知識(shí)關(guān)聯(lián)圖真題演練真題演練〔2013北京中考在中,,〔,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段．〔1如圖1,直接寫(xiě)出的大小〔用含的式子表示；〔2如圖2,,判斷的形狀并加以證明；〔3在〔2的條件下,連結(jié),若,求的值．〔2012年北京中考在中,,是的中點(diǎn),是線段上的動(dòng)點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．〔1若且點(diǎn)與點(diǎn)重合〔如圖1,線段的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn),請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并寫(xiě)出的度數(shù)；〔2在圖2中,點(diǎn)不與點(diǎn)重合,線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn),猜想的大小〔用含的代數(shù)式表示,并加以證明；〔3對(duì)于適當(dāng)大小的,當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一位置〔不與點(diǎn),重合時(shí),能使得線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn),且,請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍．例題精講例題精講考點(diǎn)1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形〔正方形、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等,處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型,及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來(lái)〔1等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等〔2等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等〔3等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等〔4不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似〔14年海淀期末已知四邊形和四邊形都是正方形,且．〔1如圖,連接、．求證：；〔2如圖,如果正方形的邊長(zhǎng)為,將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得,．=1\*GB3①求的度數(shù)；=2\*GB3②請(qǐng)直接寫(xiě)出正方形的邊長(zhǎng)的值．[題型總結(jié)][題型總結(jié)]手拉手模型是中考中最常見(jiàn)的模型,突破口常見(jiàn)的有哪些信息？常見(jiàn)的考試方法有哪些？〔2014年西城一模四邊形是正方形,是等腰直角三角形,,,連接,為的中點(diǎn),連接,,。〔1如圖24-1,若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上,直接寫(xiě)出與的位置關(guān)系及的值；〔2將圖24-1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置,請(qǐng)問(wèn)〔1中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由；ACACDGEFB圖111124-1圖24-2ACDGEFB[題型總結(jié)][題型總結(jié)]此類(lèi)型題目方法多樣,你還能找到其他的解題方法嗎？另外涉及到的中點(diǎn)輔助線你還能說(shuō)出幾種？〔2015年海淀九上期末如圖1,在中,,以線段為邊作,使得,連接,再以為邊作,使得,．〔1如圖2,當(dāng)且時(shí),用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系；圖1圖1〔2將線段沿著射線的方向平移,得到線段,連接．若,依題意補(bǔ)全圖3,求線段的長(zhǎng)；請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)〔用含的式子表示．圖2圖3備用圖〔13年房山一模〔1如圖1,和都是等邊三角形,且、、三點(diǎn)共線,聯(lián)結(jié)、相交于點(diǎn),求證：．〔2如圖2,在中,,分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊,聯(lián)結(jié)、和交于點(diǎn),下列結(jié)論中正確的是_______〔只填序號(hào)即可①；②；③；〔3如圖2,在〔2的條件下,求證：．圖1圖1圖2[題型總結(jié)][題型總結(jié)]到三個(gè)定理的三條線段之和最小,夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問(wèn)題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題,同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問(wèn)題,比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題費(fèi)爾馬問(wèn)題告訴我們,存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小,解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．考點(diǎn)2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等〔2012年西城期末已知：如圖,正方形的邊長(zhǎng)為a,,分別平分正方形的兩個(gè)外角,且滿足,連結(jié),,．猜想線段,和之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論．〔2014年平谷一模〔1如圖1,點(diǎn)分別是正方形的邊上的點(diǎn),,連接,則之間的數(shù)量關(guān)系是：．連結(jié),交于點(diǎn),且滿足,請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系；〔2在中,,點(diǎn)分別為邊上的兩點(diǎn)．①如圖2,當(dāng),時(shí),應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________；②如圖3,當(dāng),,時(shí),應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________．[參考：][題型總結(jié)][題型總結(jié)]角含半角的特點(diǎn)有哪些,哪些是不變的量？由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？如何描述這類(lèi)題目的輔助線？考點(diǎn)3：對(duì)角互補(bǔ)模型常和角平分線性質(zhì)一起考,一般有兩種解題方法〔全等型—90°〔全等型—120°〔全等型—任意角四邊形被對(duì)角線分為等腰直角三角形和直角三角形,其中和都是直角,另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為,求四邊形的面積．已知：點(diǎn)是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn),射線交射線于點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn),且使．〔1利用圖1,求證：；〔2如圖1,若點(diǎn)是與的交點(diǎn),當(dāng)時(shí),求與的比值；圖1圖2[題型總結(jié)][題型總結(jié)]對(duì)角互補(bǔ)模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn),題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪種圖形同時(shí)出現(xiàn)？<初二期末>已知：如圖,在中,,,且．為內(nèi)部一點(diǎn),且,．〔1用含的代數(shù)式表示,得=_______________________；〔2求證：；〔3求的度數(shù)．[題型總結(jié)][題型總結(jié)]一般涉及到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來(lái),根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比較便捷的方法。〔全能突破全能突破〔2015年昌平九上期末如圖,已知和都是等腰直角三角形,,,．連接交于,連接交于,與交點(diǎn)為,連接．〔1如圖1,求證：；〔2如圖1,求證：是的平分線；〔3如圖2,當(dāng),時(shí),求的長(zhǎng).〔2014西城九上期末已知：,都是等邊三角形,是與的中點(diǎn),連接,.〔1如圖1,當(dāng)與在同一條直線上時(shí),直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；〔2固定不動(dòng),將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〔≤≤角,如圖2所示,判斷〔1中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)加以證明；若不成立,說(shuō)明理由；〔3△ABC固定不動(dòng),將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)〔≤≤角,作于點(diǎn)．設(shè),線段,,,所圍成的圖形面積為．當(dāng),時(shí),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)的的取值范圍．圖圖2備用圖圖1〔2014年XX一模24題在中,,在中,,點(diǎn)、分別在、上,〔1圖①,若,則與的數(shù)量關(guān)系是______________；〔2若,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置,則與的數(shù)量關(guān)系是______________；〔3若,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置,探究線段與的數(shù)量關(guān)系,并加以證明〔用含的式子表示〔2015年燕山九上期末小輝遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在中,,點(diǎn),在邊上,．若,,求的長(zhǎng)．圖1圖1圖2圖3小輝發(fā)現(xiàn),將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90o,得到,連接〔如圖2,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及,可證,得．解,可求得<即>的長(zhǎng)．請(qǐng)回答：在圖中,的度數(shù)是__________,的長(zhǎng)為_(kāi)__________．參考小輝思考問(wèn)題的方法,解決問(wèn)題：如圖3,在四邊形中,,．分別是邊上的點(diǎn),且．猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．〔11年石景山一模已知：如圖,正方形中,,為對(duì)角線,將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)<>,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn),交,于點(diǎn)、點(diǎn),聯(lián)結(jié)、．〔1在的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,的大小是否改變,若不變寫(xiě)出它的度數(shù),若改變,寫(xiě)出它的變化范圍〔直接在答題卡上寫(xiě)出結(jié)果,不必證明；〔2探究與的面積的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出結(jié)論并加以證明．〔2015年延慶九上期末已知：是的內(nèi)接三角形,,在所對(duì)弧上,任取一點(diǎn),連接,〔1如圖1,,直接寫(xiě)出的大小〔用含的式子表示；〔2如圖2,如果,求證：；〔3如圖3,如果,那么與之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫(xiě)出猜測(cè)并加以證明；〔4如果,直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系.圖3圖2圖1圖3圖2圖1〔1>如圖,在四邊形中,,分別是邊上的點(diǎn),且．求證：;<2>如圖在四邊形中,,分別是邊上的點(diǎn),且,<1>中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明．<3>如圖,在四邊形中,,,分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且,<1>中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并證明．小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題,如圖1,中,30o,,在內(nèi)部有一點(diǎn),連接,求的最小值．小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題,首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離,然后再將它們連接成一條折線,并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn),這樣依據(jù)"兩點(diǎn)之間,線段最短",就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法,發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題．他的做法是,如圖2,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o,得到,連接,則的長(zhǎng)即為所求．〔1請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中,的最小值為_(kāi)_______；〔2參考小華的思考問(wèn)題的方法,解決下列問(wèn)題：①如圖3,菱形中,60o,在菱形內(nèi)部有一點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出并指明長(zhǎng)度等于最小值的線段〔保留畫(huà)圖痕跡,畫(huà)出一條即可；②若①中菱形的邊長(zhǎng)為4,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)值最小時(shí)的長(zhǎng)．圖1圖圖1圖2圖3〔2014年西城二模在,為銳角,,平分交于點(diǎn)．〔1如圖1,若是等腰直角三角形,直接寫(xiě)出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系；〔2的垂直平分線交延長(zhǎng)線于點(diǎn),交于點(diǎn)．①如圖2,若,判斷,,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②如圖3,若,求的度數(shù)．<2014年1月西城八年級(jí)期末試題—附加題>已知：如圖,為銳角,平分,點(diǎn),點(diǎn)分別在射線和上,.〔1若點(diǎn)在線段上,線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),求證：；〔2若〔1中的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上,〔1中的其它條件不變,