山西省太原市同華中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象,則稱為”可連數(shù)”.例如:32是”可連數(shù)”,因32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象;23不是”可連數(shù)”,因23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.那么小于1000的”可連數(shù)”的個(gè)數(shù)為(

)A．27

B．36

C.39

D.48參考答案：D略2.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，且p(A)=,p(B)=,則p(A)=

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.不等式的解集不可能是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D4.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是20，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為---

（

）A．

B．C．

D．參考答案：C5.已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A．

B.

C．

D．參考答案：C略6.函數(shù)f(x)=x3－ax2－bx+a2,在x=1時(shí)有極值10，則a、b的值為（

）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11

；

B.a=－4,b=1或a=－4,b=11；

C.a=－1,b=5；

D.以上都不對(duì)參考答案：D7.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+（n+3）=時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（） A．1 B． 1+2 C． 1+2+3 D． 1+2+3+4參考答案：D12.中，=

A．

B．

C．D．或參考答案：B略9.一個(gè)組合體的三視圖如圖，

則其表面積為

．參考答案：略10.函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A．

B.C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，則不等式f（x）＞f（1）的解集是．參考答案：{x|x＜1或x＞2}【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】先求出f（1）的值，由求得x的范圍，再由求得x的范圍，再取并集即得所求．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（1）=4．由解得x＞2．由解得x＜1．故不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2}，故答案為{x|x＜1或x＞2}．12.甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖如圖所示．現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲小組學(xué)生”記為事件A；“抽出的學(xué)生英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)不低于85分”記為事件B．則的值是

．參考答案：略13.將45（6）改寫成十進(jìn)制數(shù)為．參考答案：29（10）【考點(diǎn)】進(jìn)位制．【分析】用所給的6進(jìn)制的數(shù)字從最后一個(gè)數(shù)字開始乘以6的0次方，1次方，最后累加求和得到結(jié)果．【解答】解：由于45（6）=4×61+5×60=29（10）．故答案為：29（10）．14.函數(shù)的最小正周期是__________．參考答案：2【分析】直接利用余弦函數(shù)的周期公式求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期是：2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基本知識(shí)的考查．15.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

．

參考答案：1216.已知集合，若是的子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________；參考答案：17.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝

________

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥ax+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，從而求出f（x）的最小值；（Ⅱ）【法一】討論a≤0以及a＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出滿足f（x）＜ax+1時(shí)a的取值范圍．【法二】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex﹣x2﹣x﹣ax﹣1，利用導(dǎo)數(shù)h′（x）判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性與是否存在零點(diǎn)，從而求出滿足f（x）＜ax+1時(shí)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以f′（x）=ex﹣x﹣1；令g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0；故g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；故當(dāng)x=0時(shí)f（x）取得最小值1；（Ⅱ）【法一】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)于任意的x≥0，恒有ax+1≤1，又由（Ⅰ）得f（x）≥1，故f（x）≥ax+1恒成立；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令h（x）=ex﹣x2﹣x﹣ax﹣1，則h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1，由（Ⅰ）知g（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1在[0，+∞）上單調(diào)遞增；又h′（0）=﹣a＜0，取x=2，由（Ⅰ）得≥+2+1，h′（2）=﹣2﹣a﹣1≥+2+1﹣2﹣a﹣1=a＞0，所以函數(shù)h′（x）存在唯一的零點(diǎn)x0∈（0，2），當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減；所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；綜上，a的取值范圍是（﹣∞，0]．【法二】令h（x）=ex﹣x2﹣x﹣ax﹣1，則h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1，由（Ⅰ）知，x＞0時(shí)，ex﹣x﹣1＞0；（1）當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1＞0，此時(shí)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≥h（0）=0，即ex﹣x2﹣x≥ax+1，即a≤0時(shí)，f（x）≥ax+1恒成立；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由（Ⅰ）知g（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1＞0在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）在[0，+∞）上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，如果h′（x）在[0，+∞）上存在零點(diǎn)x0，因?yàn)閔′（0）=﹣a＜0，則x0＞0，且h′（x0）=0，故當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）＜h′（x0）=0，所以h（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減；所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；如果h′（x）在[0，+∞）上不存在零點(diǎn)，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h′（x）＜0，所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減；則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；綜上，a的取值范圍是（﹣∞，0]．19.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；參考答案：（Ⅰ）由題意知，∴，即

又，∴故橢圓的方程為……………4分（Ⅱ）解：由得：…………6分

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則………………8分∴……10分

∵∴，

∴

∴的取值范圍是．…………12分20.（本題8分）如圖，在△中，，，點(diǎn)在邊上，,，為垂足．（Ⅰ）若△的面積為，求的長(zhǎng)；（Ⅱ）若，求角的大小．參考答案：（Ⅰ）由已知得，

又，得．

在△中，由余弦定理得

，

所以的長(zhǎng)為． （Ⅱ）方法1：因?yàn)椋? 在△中，由正弦定理得，又，得， 解得，所以即為所求．

方法2：在△中，由正弦定理得，又由已知得，為中點(diǎn)，

，

所以．

又，所以，

得，所以即為所求．

略21.已知函數(shù)f（x）=lnx+．（1）當(dāng)a=2時(shí)，證明對(duì)任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求證：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）令h（x）=lnx+﹣1，求導(dǎo)數(shù)，可得h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即可得證；（2）由（1）知x∈（1，+∞），lnx＞，令x=，則，利用累加，即可得出結(jié)論；（3）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】（1）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+，令h（x）=lnx+﹣1，則＞0∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（1）=0，∴對(duì)任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）證明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+＞1，即lnx＞，令x=，則，∴，∴l(xiāng)n（n+1）=＞；（3）解：f′（x）=．令f′（x）=0，則x2﹣（a﹣2）x+1=0，△=（a﹣2）2﹣4=a（a﹣4）．①0≤a≤4時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上遞增，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②a＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上遞增，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)a＞4時(shí)，△＞0，設(shè)f'（x）=0的兩根分別為x1與x2，則x1+x2=a﹣2＞0，x1?x2=1＞0，不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2當(dāng)x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞減，而∴x∈（x1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，且f（x1）＞0因此函數(shù)f（x）在（0，x1）有一個(gè)零點(diǎn)，而在（x1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；此時(shí)函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為R．…22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是線段PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求證：AQ∥平面PCD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC，PA⊥AB，進(jìn)而利用PB⊥AC，推斷出AC⊥平面PAB，利用線面垂直性質(zhì)可知AC⊥AB，再根據(jù)PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，ED，推斷出QE為中位線，判讀出QE∥BC，BC=2AD，進(jìn)而可知QE∥AD，QE=AD，判斷出四邊形AQED是平行四邊形，進(jìn)而可推斷出AQ∥DE，最后根據(jù)線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD．【解答】