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湖北省黃岡市2023年中考數學試卷

一、單選題

1．（2023七上·武漢月考）的相反數是（）

A．B．C．D．

2．（2023·黃岡）2023年全國普通高校畢業生規模預計達到1158萬人，數11580000用科學記數法表示為（）

A．B．C．D．

3．（2023·黃岡）下列幾何體中，三視圖都是圓的是（）

A．長方體B．圖柱C．圓錐D．球

4．（2023·黃岡）不等式的解集為（）

A．B．C．D．無解

5．（2023·黃岡）如圖，的直角頂點A在直線a上，斜邊在直線b上，若，則（）

A．B．C．D．

6．（2023·黃岡）如圖，在中，直徑與弦相交于點P，連接，若，，則（）

A．B．C．D．

7．（2023·黃岡）如圖，矩形中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P，作射線，過點C作的垂線分別交于點M，N，則的長為（）

A．B．C．D．4

8．（2023·黃岡）已知二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中：①；②若點均在該二次函數圖象上，則；③若m為任意實數，則；④方程的兩實數根為，且，則．正確結論的序號為（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①④

二、填空題

9．（2023·黃岡）計算；．

10．（2023·黃岡）請寫出一個正整數m的值使得是整數；．

11．（2023·黃岡）若正n邊形的一個外角為，則．

12．（2023·黃岡）已知一元二次方程的兩個實數根為，若，則實數．

13．（2023·黃岡）眼睛是心靈的窗戶為保護學生視力，啟航中學每學期給學生檢查視力，下表是該校某班39名學生右眼視力的檢查結果，這組視力數據中，中位數是．

視力4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.950

人數12633412575

14．（2023·黃岡）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結果保留根號）

15．（2023·黃岡）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中，，連接，若與的面積相等，則．

16．（2023·黃岡）如圖，已知點，點B在y軸正半軸上，將線段繞點A順時針旋轉到線段，若點C的坐標為，則．

三、解答題

17．（2023·黃岡）化簡：．

18．（2023·黃岡）創建文明城市，構建美好家園．為提高垃圾分類意識，幸福社區決定采購A，B兩種型號的新型垃圾桶．若購買3個A型垃圾桶和4個B型垃圾桶共需要580元，購買6個A型垃圾桶和5個B型垃圾桶共需要860元．

（1）求兩種型號垃圾桶的單價；

（2）若需購買A，B兩種型號的垃圾桶共200個，總費用不超過15000元，至少需購買A型垃圾桶多少個？

19．（2023·黃岡）打造書香文化，培養閱讀習慣，崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡閱讀的書篇”為主題的調查活動，學生根據自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術類，E：其他類）．張老師組織數學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調查，根據收集到的數據，繪制了兩幅不完整的統計圖（如圖所示）．

根據圖中信息，請回答下列問題；

（1）條形圖中的，，文學類書籍對應扇形圓心角等于度；

（2）若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數；

（3）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．

20．（2023·黃岡）如圖，中，以為直徑的交于點，是的切線，且，垂足為，延長交于點．

（1）求證：；

（2）若，求的長．

21．（2023·黃岡）如圖，一次函數與函數為的圖象交于兩點．

（1）求這兩個函數的解析式；

（2）根據圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；

（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標．

22．（2023·黃岡）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地.2023年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數關系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．

（1）當時，元/；

（2）設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？

（3）學校計劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2025年的總種植成本為元？

23．（2023·黃岡）【問題呈現】

和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

（1）如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：；

（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

（3）【拓展應用】

當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．

24．（2023·黃岡）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

（1）直接寫出結果；，，點A的坐標為，；

（2）如圖1，當時，求點P的坐標；

（3）如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．

①求m的值；

②設的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】相反數及有理數的相反數

【解析】【解答】解：－2的相反數是2．故答案為：B．

【分析】根據相反數的定義只有符號不同的兩個數互為相反數（0的相反數是0），得到正確選項.

2．【答案】A

【知識點】科學記數法—記絕對值大于1的數

【解析】【解答】解：11580000=1.158×107.

故答案為：A.

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值大于10時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數.

3．【答案】D

【知識點】簡單幾何體的三視圖

【解析】【解答】解：長方體的主視圖、左視圖、俯視圖均為長方形，故不符合題意；

B、圓柱的主視圖、左視圖均為矩形，俯視圖為圓，故不符合題意；

C、圓錐的主視圖、左視圖均為三角形，俯視圖為圓，故不符合題意；

D、球的主視圖、左視圖、俯視圖均為圓，故符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據三視圖的概念，分別確定出長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，然后進行判斷.

4．【答案】C

【知識點】解一元一次不等式組

【解析】【解答】解：解不等式x-10，得x>-1，

∴不等式組的解集為-13，故④正確.

故答案為：B.

【分析】將點（-1，0）代入即可判斷①；由a0，得x>-1，

∴不等式組的解集為-13，故④正確.

故答案為：B.

【分析】將點（-1，0）代入即可判斷①；由a<0可得開口向下，然后根據距離對稱軸越近的點對應的函數值越大即可判斷②；由對稱軸為直線x=1可得b=-2a，結合a-b+c=0可得c=b-a=-3a，由開口向下以及對稱軸為直線x=1可得拋物線的最大值為a+b+c=-4a，進而判斷③；由對稱性可得與x軸的另一個交點為（3，0），然后根據拋物線與直線y=-1的交點的橫坐標分別為x1、x2可判斷④.

二、填空題

9．（2023·黃岡）計算；．

【答案】2

【知識點】實數的運算

【解析】【解答】解：原式=1+1=2.

故答案為：2.

【分析】根據有理數的乘方法則、0指數冪的運算性質可得原式=1+1，然后根據有理數的加法法則進行計算.

10．（2023·黃岡）請寫出一個正整數m的值使得是整數；．

【答案】8

【知識點】二次根式的性質與化簡

【解析】【解答】解：∵是整數，

∴正整數m的值可能為8.

故答案為：8.

【分析】根據二次根式的性質進行解答.

11．（2023·黃岡）若正n邊形的一個外角為，則．

【答案】5

【知識點】多邊形內角與外角

【解析】【解答】解：∵正n邊形的一個外角為72°，

∴n=360°÷72°=5.

故答案為：5.

【分析】利用外角和360°除以外角的度數就可求出多邊形的邊數.

12．（2023·黃岡）已知一元二次方程的兩個實數根為，若，則實數．

【答案】

【知識點】一元二次方程的根與系數的關系

【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的兩個實數根為x1、x2，

∴x1+x2=3，x1x2=k.

∵x1x2+2x1+2x2=1，

∴k+6=1，

∴k=-5.

故答案為：-5.

【分析】根據根與系數的關系可得x1+x2=3，x1x2=k.，然后代入x1x2+2x1+2x2=1中進行計算就可求出k的值.

13．（2023·黃岡）眼睛是心靈的窗戶為保護學生視力，啟航中學每學期給學生檢查視力，下表是該校某班39名學生右眼視力的檢查結果，這組視力數據中，中位數是．

視力4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.950

人數12633412575

【答案】4.6

【知識點】中位數

【解析】【解答】解：根據表格可得第20個數據為4.6，故中位數為4.6.

故答案為：4.6.

【分析】表格第20個數據即為中位數.

14．（2023·黃岡）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結果保留根號）

【答案】

【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：過E作EM⊥過點B的水平線于點M，過F作FN⊥過點B的水平線于點N，

由題意可知CM=DN=AB=30，CE=15，

∴EM=CM-BC=15.

∵∠ECM=45°，

∴BM=EM=15.

∵A為CD的中點，

∴BN=AD=AC=BM=15.

∵tan∠FBN=，

∴，

∴FN=，

∴DF=30-.

故答案為：30-.

【分析】過E作EM⊥過點B的水平線于點M，過F作FN⊥過點B的水平線于點N，由題意可知CM=DN=AB=30，CE=15，則EM=CM-BC=15，根據三角函數的概念可得EM、FN，然后根據DF=DN-FN進行計算.

15．（2023·黃岡）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中，，連接，若與的面積相等，則．

【答案】

【知識點】公式法解一元二次方程；三角形的面積；三角形全等及其性質

【解析】【解答】解：∵AF=a，DF=b，

∴ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a.

∵△ADE與△BEH的面積相等，

∴DE·AF=EH·BH，

∴a2=(b-a)b，

∴a2=b2-ab，

∴1=()2-，

∴=，

∴=3.

故答案為：3.

【分析】由題意可得ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a，根據三角形的面積公式可得a2=(b-a)b，化簡可得的值，然后根據進行計算.

16．（2023·黃岡）如圖，已知點，點B在y軸正半軸上，將線段繞點A順時針旋轉到線段，若點C的坐標為，則．

【答案】

【知識點】坐標與圖形性質；銳角三角函數的定義；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：在x軸上取點D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，過C作CF⊥x軸于點F，

∵C（7，h），

∴OF=7，CH=h.

∵∠CEF=180°-∠AEC=60°，CF=h，

∴EF=h，CE==h，∠BAC=120°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=120°，

∴∠CAE=∠ABD.

∵AB=CA，

∴△CAE≌△ABD（AAS），

∴AD=CE=h，AE=BD.

∵A（3，0），

∴OD=OA-AD=3-h.

∵∠BDO=180°-∠ADB=60°，

∴BD==6-h，

∴AE=BD=6-h.

∵OA+AE+EF=OF，

∴3+6-h+h=7，

解得h=.

故答案為：.

【分析】在x軸上取點D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，過C作CF⊥x軸于點F，根據點C的坐標可得OF=7，CH=h，由三角函數的概念可得EF、CE，利用AAS證明△CAE≌△ABD，得到AD=CE=h，AE=BD，則OD=OA-AD=3-h，由三角函數的概念可得BD，即為AE，然后根據OA+AE+EF=OF就可求出h的值.

三、解答題

17．（2023·黃岡）化簡：．

【答案】解：

【知識點】分式的加減法

【解析】【分析】利用同分母分式減法法則可得原式=，然后利用完全平方公式對分子進行分解，再約分即可.

18．（2023·黃岡）創建文明城市，構建美好家園．為提高垃圾分類意識，幸福社區決定采購A，B兩種型號的新型垃圾桶．若購買3個A型垃圾桶和4個B型垃圾桶共需要580元，購買6個A型垃圾桶和5個B型垃圾桶共需要860元．

（1）求兩種型號垃圾桶的單價；

（2）若需購買A，B兩種型號的垃圾桶共200個，總費用不超過15000元，至少需購買A型垃圾桶多少個？

【答案】（1）解：設A，B兩種型號的單價分別為元和元，

由題意：，

解得：，

∴A，B兩種型號的單價分別為60元和100元；

（2）解：設購買A型垃圾桶個，則購買B型垃圾桶個，

由題意：，

解得：，

∴至少需購買A型垃圾桶125個．

【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題

【解析】【分析】（1）設A，B兩種型號的單價分別為x元和y元，根據購買3個A型垃圾桶和4個B型垃圾桶共需要580元可得3x+4y=580；根據購買6個A型垃圾桶和5個B型垃圾桶共需要860元可得6x+5y=860，聯立求解即可；

（2）設購買A型垃圾桶a個，則購買B型垃圾桶(200-a)個，根據A的單價×個數+B的單價×個數=總費用結合題意可得關于a的不等式，求解即可.

19．（2023·黃岡）打造書香文化，培養閱讀習慣，崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡閱讀的書篇”為主題的調查活動，學生根據自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術類，E：其他類）．張老師組織數學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調查，根據收集到的數據，繪制了兩幅不完整的統計圖（如圖所示）．

根據圖中信息，請回答下列問題；

（1）條形圖中的，，文學類書籍對應扇形圓心角等于度；

（2）若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數；

（3）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．

【答案】（1）18；6；

（2）解：（人），

因此估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數為480人；

（3）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的情況有2種，

因此甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為：．

【知識點】用樣本估計總體；扇形統計圖；條形統計圖；列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】解：（1）樣本容量為4÷8%=50，則m=50×36%=18，n=50-18-10-12-4=6，文學類書籍對應扇形圓心角等于10÷50×360°=72°.

故答案為：18，6，72°.

【分析】（1）利用E的人數除以所占的比例可得總人數，然后乘以A所占的比例可得m的值，進而可求出n的值，利用B的人數除以總人數，然后乘以360°即可得到所占扇形圓心角的度數；

（2）利用C的人數除以總人數，然后乘以2000即可；

（3）畫出樹狀圖，找出總情況數以及甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的情況數，然后利用概率公式進行計算.

20．（2023·黃岡）如圖，中，以為直徑的交于點，是的切線，且，垂足為，延長交于點．

（1）求證：；

（2）若，求的長．

【答案】（1）證明：如圖所示，連接，

∵以為直徑的交于點，是的切線，

∴，

∵，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

∴；

（2）解：連接，如圖，

則，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

又∵是直徑，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知識點】等腰三角形的判定與性質；切線的性質；平行線分線段成比例；銳角三角函數的定義

【解析】【分析】（1）連接AD，由切線的性質可得OD⊥DE，由已知條件可知DE⊥AC，則OD∥AC，根據平行線的性質可得∠C=∠ODB，由等腰三角形的性質可得∠B=∠ODB，則∠B=∠C，據此證明；

（2）連接BF、AD，由同角的余角相等可得∠ADE=∠C，結合三角函數的概念可得EC=2DE=12，易得DE∥BF，根據平行線分線段成比例的性質可得EF=EC=12，求出tanC的值，進而得到BF，然后根據AF=EF-AE進行計算.

21．（2023·黃岡）如圖，一次函數與函數為的圖象交于兩點．

（1）求這兩個函數的解析式；

（2）根據圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；

（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標．

【答案】（1）解：將代入，可得，

解得，

反比例函數解析式為；

在圖象上，

，

，

將，代入，得：

，

解得，

一次函數解析式為；

（2）解：，理由如下：

由（1）可知，

當時，，

此時直線在反比例函數圖象上方，此部分對應的x的取值范圍為，

即滿足時，x的取值范圍為；

（3）解：設點P的橫坐標為，

將代入，可得，

．

將代入，可得，

．

，

，

整理得，

解得，，

當時，，

當時，，

點P的坐標為或．

【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積

【解析】【分析】（1）將A（4，1）代入y2=中求出m的值，然后將B（，a）代入求出a的值，得到點B的坐標，將A、B的坐標代入y1=kx+b中求出k、b的值，據此可得反比例函數、一次函數的解析式；

（2）根據圖象，找出一次函數圖象在反比例函數圖象上方部分所對應的x的范圍即可；

（3）設點P的橫坐標為p，則P（p，-2p+9），Q（p，），表示出PQ，根據三角形的面積公式可得p的值，進而可得點P的坐標.

22．（2023·黃岡）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地.2023年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數關系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．

（1）當時，元/；

（2）設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？

（3）學校計劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2025年的總種植成本為元？

【答案】（1）

（2）解：當時，，

∵，

∴拋物線開口向上，

∴當時，有最小值，最小值為，

當時，，

∵，

∴隨著x的增大而減小，

∴當時，有最小值，最小值為，

綜上可知，當甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，W最小；

（3）由題意可得，

解得（不合題意，舍去），

∴當a為時，2025年的總種植成本為元．

【知識點】一次函數與一元一次方程的綜合應用；一次函數的實際應用；一元二次方程的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題

【解析】【解答】解：（1）當200≤x≤600時，設y=kx+b，將（200，20）、（600，40）代入可得

解得，

∴y=x+10.

令y=35，得35=x+10，

解得x=500.

故答案為：500.

【分析】（1）當200≤x≤600時，設y=kx+b，將（200，20）、（600，40）代入求出k、b的值，得到對應的函數關系式，然后令y=35，求出x的值即可；

（2）當200≤x≤600時，根據甲種蔬菜種植成本×種植面積+乙的種植成本×面積=總種植成本可得W與x的關系式，然后利用二次函數的性質進行解答；當600<x≤700時，同理可得W與x的關系式，然后利用一次函數的性質進行解答；

（3）根據甲的種植面積×(成本+10)×(1-10%)2+乙的種植面積×成本×(1-a%)2=總種植成本可得關于a的方程，求解即可.

23．（2023·黃岡）【問題呈現】

和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

（1）如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：；

（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

（3）【拓展應用】

當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．

【答案】（1）

（2）解：成立；理由如下：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

∴；

（3）解：當點E在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，

根據解析（2）可知，，

∴，

∴，

根據解析（2）可知，，

∴，

根據勾股定理得：，

即，

解得：或（舍去），

∴此時；

當點D在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，

根據解析（2）可知，，

∴，

∴，

根據解析（2）可知，，

∴，

根據勾股定理得：，

即，

解得：或（舍去），

∴此時；

綜上分析可知，或．

【知識點】勾股定理；相似三角形的判定與性質；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：（1）延長BE交AC于點E，交AD于點N，

當m=1時，DC=CE，CB=CA，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠DAC=∠CBE.

∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AD⊥BE.

【分析】（1）延長BE交AC于點E，交AD于點N，當m=1時，DC=CE，CB=CA，利用SAS證明△ACD≌△BCE，得到∠DAC=∠CBE，結合∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°可得∠ANB=90°，據此解答；

（2）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，由已知條件可得，根據對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得△DCA∽△ECB，得到∠DAC=∠CBE，進而推出∠GAB+∠ABG=90°，則∠AGB=90°，據此解答；

（3）當點E在線段AD上時，連接BE，設AE=x，則AD=x+4，根據相似三角形的性質可得BE=AD=x+，根據解析（2）可知∠AEB=90°，利用勾股定理就可求出x的值，進而可得BE；當點D在線段AE上時，連接BE，同理進行求解.

24．（2023·黃岡）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

（1）直接寫出結果；，，點A的坐標為，；

（2）如圖1，當時，求點P的坐標；

（3）如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F分別為的邊上的動點