連續系統的振動機械振動理論2023年7月22日《振動力學》2－實際振動系統都是連續體，具有連續分布的質量與彈性，又稱連續系統或分布參數系統－確定連續體上無數質點的位置需要無限多個坐標，因此連續體是具有無限多自由度的系統－連續體的振動要用時間和空間坐標的函數來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程－在物理本質上，連續體系統和多自由度系統沒有什么差別，連續體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統是完全類似的2023年7月22日《振動力學》3教學內容一維波動方程梁的彎曲振動集中質量法假設模態法模態綜合法（1）有限元法模態綜合法（2）2023年7月22日《振動力學》4（1）本章討論的連續體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內服從虎克定律假設:（2）材料均勻連續；各向同性（3）振動為微振2023年7月22日《振動力學》5一維波動方程動力學方程固有頻率和模態函數主振型的正交性桿的縱向強迫振動連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》6動力學方程（1）桿的縱向振動

等截面細直桿的縱向振動桿長l假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面積S材料密度彈性模量E忽略由縱向振動引起的橫向變形：單位長度桿上分布的縱向作用力

連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》7：桿上距原點x

處截面t時刻的縱向位移微段分析微段應變：橫截面上內力：達朗貝爾原理：達朗貝爾慣性力連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》8桿上距原點x

處截面在時刻t的縱向位移橫截面上的內力：達朗貝爾原理：桿的縱向強迫振動方程等直桿ES為常數彈性縱波沿桿的縱向傳播速度

連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》9（2）弦的橫向振動弦兩端固定，以張力F

拉緊在分布力作用下作橫向振動建立坐標系：弦上x處橫截面t時刻的橫向位移

：單位長度弦上分布的作用力

：單位長度弦質量

微段受力情況達朗貝爾原理：

弦的橫向強迫振動方程令：并考慮到：彈性橫波的縱向傳播速度微振達朗貝爾慣性力弦的定義:很細長振動中認為張力不變連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》10（3）軸的扭轉振動細長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉振動假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩Ip材料密度切變模量G：單位長度桿上分布的外力偶矩

桿參數：：桿上距離原點x

處的截面在時刻t

的角位移截面處扭矩T微段dx

受力：微段繞軸線的轉動慣量達朗貝爾慣性力偶連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》11微段dx

受力達朗貝爾原理：材料力學：圓截面桿的扭轉振動強迫振動方程等直桿，抗扭轉剛度GIp為常數剪切彈性波的縱向傳播速度連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》12小結：（1）桿的縱向振動

（2）弦的橫向振動雖然它們在運動表現形式上并不相同，但它們的運動微分方程是類同的，都屬于一維波動方程（3）軸的扭轉振動連續系統的振動/一維波動方程2023年7月22日《振動力學》13固有頻率和模態函數以等直桿的縱向振動為對象自由振動假設桿的各點作同步運動：q(t)：運動規律的時間函數：桿上距原點x處的截面的縱向振動振幅

連續系統的振動/桿的縱向振動（常數）2023年7月22日《振動力學》14記：通解：（確定桿縱向振動的形態，稱為模態）由桿的邊界條件確定

與有限自由度系統不同，連續系統的模態為坐標的連續函數，表示各坐標振幅的相對比值由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個（下面講述）（桿的邊界條件確定固有頻率）連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》15第

i

階主振動：一一對應系統的自由振動是無窮多個主振動的疊加：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》16幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態函數（1）兩端固定邊界條件：不能恒為零

頻率方程固有頻率：由于零固有頻率對應的模態函數為零，因此零固有頻率除去特征：兩端位移為零模態函數：無窮多個連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》17（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零

邊界條件：零固有頻率對應的常值模態為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態函數：頻率方程連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》18（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零自由端軸向力為零

邊界條件：固有頻率：模態函數：或：頻率方程連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》19左端自由，右端固定特征：固定端位移為零自由端軸向力為零

邊界條件：固有頻率：模態函數：頻率方程連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》20邊界條件模態函數頻率方程固有頻率連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》21例：一均質桿，左端固定，右端與一彈簧連接推導系統的頻率方程連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》22解：邊界條件：頻率方程振型函數：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》23例：一均質桿，左端固定，右端與一集中質量M固結推導系統的頻率方程邊界條件：自己推導！連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》24主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性桿可以是變截面或等截面質量密度及截面積S

等都可以是x的函數

動力方程：自由振動：主振動：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》25桿的簡單邊界：固定端x=0

或l自由端x=0

或l

乘并沿桿長積分：分部積分：任一端上總有或成立

連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》26乘并沿桿長積分：同理乘并沿桿長：相減時桿的主振型關于質量的正交性桿的主振型關于剛度的正交性連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》27關于質量的正交性關于剛度的正交性當時

恒成立令：第i

階模態主質量第i

階模態主剛度第i

階固有頻率：主振型歸一化：正則振型則第i

階主剛度：合寫為：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》28桿的縱向強迫振動采用振型疊加法進行求解強迫振動方程：初始條件：假定，已經得出令：正則坐標兩邊乘并沿桿長對x

積分

利用正交性條件第j

個正則坐標的廣義力

連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》29模態初始條件的求解乘并沿桿長對x

積分，由正交性條件：

求得后可得連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》30集中力可表達成分布力形式：正則坐標廣義力：分布力連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》31例：等直桿自由端作用有：為常數求：桿的縱向穩態響應連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》32解：一端固定，一端自由邊界條件：固有頻率：模態函數：歸一化條件：模態廣義力：正則方程：穩態振動：當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發生共振現象連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》33例：一均質桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個集中力，如圖所示試問：當這些力突然移去時，桿將產生甚么樣的振動？連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》34邊界條件：兩端固定初始條件：模態函數：解：自由振動方程：固有頻率：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》35系統的自由振動是無窮多個主振動的疊加：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》36初始條件：應用位移初始條件：兩邊乘并沿桿長積分，然后利用正交性條件：應用速度初始條件：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》37連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》38系統響應：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》39例：有一根x=0端為自由,x=l端處為固定的直桿，固定端承受支撐運動為振動的幅值試求桿的穩態響應連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》40解：建立方程微段分析應變：內力：達朗貝爾原理：桿上距原點x

處截面在時刻t的縱向位移連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》41令：代入方程：即：設解為：為歸一化的正則模態代入方程，得：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》42用乘上式，并沿桿長積分：利用正交性：連續系統的振動/桿的縱向振動2023年7月22日《振動力學》43模態穩態解：連續系統的振動