第3章控制系統的時域分析2023/7/23

§3.5線性系統的穩定性分析第3章線性系統的時域分析§3.1概述§3.2一階系統的時間響應及動態性能§3.3二階系統的時間響應及動態性能§3.4高階系統的階躍響應及動態性能§3.6線性系統的穩態誤差2023/7/23§3.1時域分析法概述(1)直觀，準確；

(2)可以提供系統時間響應的全部信息；

(3)基于求解系統輸出的解析解，比較煩瑣。控制系統設計兩個主要任務控制系統的分析控制系統的綜合計算各項性能指標，

判斷其是否滿足設計要求。尋求改進系統性能并使它滿足設計要求的方法。時域法的作用和特點：2023/7/23

時域分析法在時間域內研究系統在典型輸入信號的作用下，其輸出響應隨時間變化規律的方法。對于任何一個穩定的控制系統，輸出響應含有瞬態分量和穩態分量。

瞬態分量

由于輸入和初始條件引起的，隨時間的推移而趨向消失的響應部分，它提供了系統在過度過程中的各項動態性能的信息。

穩態分量

是過渡過程結束后,系統達到平衡狀態，其輸入輸出間的關系不再變化的響應部分，它反映了系統的穩態性能或誤差。本章主要討論控制系統在階躍函數、斜坡函數、脈沖函數等輸入信號作用下的輸出響應。2023/7/23階躍響應的性能指標1.上升時間tr:輸出響應第一次達到穩態值h(∞)所需的時間。或指由穩態值的10%上升到穩態值的90%所需的時間。2.峰值時間tp:輸出響應超過穩態值達到第一個峰值hmax所需要的時間。3.超調量:4.調節時間ts:單位階躍響應2023/7/23§3.1.2時域法常用的典型輸入信號控制系統在實際工作時，其輸入信號不是預知的。典型輸入信號用來對控制系統性能評價提供一個參考標準。典型輸入信號應具有以下特點：能夠反映控制系統在某一方面的性質，如快速性、平穩性、穩態精度；具有簡單的函數形式，并且易于產生，以便于控制系統的實驗和測試.2023/7/23§3.1.2時域法常用的典型輸入信號2023/7/23分析：Ⅰ.這些典型信號既可作為輸入信號，也可作為擾動信號，對某個確定的系統也可能是某(些)信號的疊加。Ⅱ.

脈沖、階躍、斜坡信號的運算關系：§3.1.2時域法常用的典型輸入信號微分積分2023/7/23§3.1.3

線性系統時域性能指標

準:

(穩態要求）穩態輸出與理想輸出間的誤差(穩態誤差)要小

穩：(基本要求)系統受擾動影響后能回到原來的平衡位置

快:

(動態要求)階躍響應的過渡過程要平穩，迅速2023/7/2310§3.2一階系統的時間響應及動態性能

§3.2.1一階系統Ф(s)標準形式及h(t)開環傳遞函數：閉環傳遞函數：閉環極點：單位階躍響應：2023/7/23§3.2.2一階系統動態性能指標計算§3.2一階系統的時間響應及動態性能

2023/7/23

例1系統如圖所示，現采用負反饋方式，欲將系統調節時間減小到原來的0.1倍，且保證原放大倍數不變，試確定參數Ko和KH的取值。§3.2一階系統的時間響應及動態性能

2023/7/23§3.2一階系統的時間響應及動態性能

xi(t)xi(s)xo(s)=xi(s)xo(t)一階系統典型響應11(t)t2023/7/23§3.2一階系統的時間響應及動態性能

例2已知單位反饋系統的單位階躍響應

試求

F(s),k(t),G(s)。

解．2023/7/23§3.３二階系統的時間響應及動態性能§3.３.1傳遞函數標準形式及分類2023/7/23二階系統單位階躍響應j0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0s2+2ξωns+ωn2Φ(s)=ωn2過阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼2023/7/23§3.3二階系統的時間響應及動態性能

§3.3.30

§1(欠阻尼,零阻尼)時系統動態性能指標的計算（2）單位階躍響應h(t)表達示（1）0x1時系統極點的兩種表示方法（3）動態指標計算公式2023/7/23１上升時間

欠阻尼二階系統的動態性能指標則∴§3.3二階系統的時間響應及動態性能分析：（1）一定（即一定），（2）一定（距實軸距離一定），2023/7/23峰值時間２解得：tan的最小周期為∏∴分析：（1）一定（即一定），（2）一定（距實軸距離一定），2023/7/233最大超調量超調量C(t)上升時間峰值時間誤差帶穩態誤差o1.0t10090807060504030201000.20.40.60.81.0調節時間分析：其中：2023/7/23

調節時間ts4當t=ts時,則考慮用代表§3.3二階系統的時間響應及動態性能分析:ts與極點實部成反比.2023/7/232468101200.20.40.60.811.21.41.61.82StepResponseAmplitude00.20.40.60.81.02.0§3.3二階系統的時間響應及動態性能2023/7/23各指標間有矛盾：

一定，10090807060504030201000.20.40.60.81.0要求2023/7/23[例】設二階控制系統的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定系統的傳遞函數.n=[3*1102.24];%閉環傳遞函數d=[1,21.912,1102.24];sys=tf(n,d);figure(24);step(sys)2023/7/23例設控制系統

如圖所示。其中（a）為無速度反饋系統，（b）為帶速度反饋系統，試確定是系統阻尼比為0.5時的值，并比較系統（a）和(b)階躍響應的瞬態性能指標。R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--

將此式與標準二階系統式相比較得解系統（a）的閉環傳遞函數為解得：計算上升時間：（秒）§3.3二階系統的時間響應及動態性能2023/7/23峰值時間

（秒）（秒）（秒）將上式與與標準二階系統式相比較得：由和可求得：超調量秒調節時間系統（b）的閉環傳遞函數為：（秒）將代入，解得：可見，采用速度反饋后，可以明顯地改善系統的動態性能。§3.3二階系統的時間響應及動態性能(b)R(s)E(s)C(s)--2023/7/23【例】設單位反饋系統的開環傳遞函數如下，若要求系統的階躍響應的瞬態性能指標如下，試確定參數K和a的值。解:系統的閉環傳遞函數為:由此得:由題意:即：解得：（秒）而:即：解得:

a=3所以：§3.3二階系統的時間響應及動態性能2023/7/23（1）改善二階系統動態性能的措施a.速度反饋控制--與典型二階系統的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數為由于，即等效阻尼系數加大，將使超調量δ%和調節時間ts變小。§3.3二階系統的時間響應及動態性能2023/7/23比例+微分控制b.比例+微分控制與典型二階系統的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數為由于，即等效阻尼系數加大，將使超調量δ%和調節時間ts變小。⒊閉環傳遞函數有零點，將會給系統帶來影響。其中：2023/7/23零極點分布圖具有零點的二階系統比典型的二階系統多一個零點，(和不變)。其閉環傳遞函數為：，零點為：具有零點的二階系統的單位階躍響應為：（2）附加閉環零點的影響2023/7/23由上圖可看出：使得比響應迅速且有較大超調量。具有零點的二階系統分析2023/7/23設為零點和極點實部之比分析：閉環零點俞靠近坐標原點，2023/7/23§3.4高階系統的階躍響應及動態性能

§3.4.1高階系統單位階躍響應單位階躍響應的拉氏變換為：式中：n=q+2r將上式展開成部分分式，得零初始條件下的單位階躍響應為：2023/7/23單位階躍響應為：分析：1.高階系統的時域響應是由3部分：穩態值；慣性環節及振蕩環節的瞬態響應分量所組成。2.各瞬態分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數、的值和相應項的系數、、的大小。3.如果系統所有極點都分布在S平面的左半部分，即所有極點均具有負實部，那么，當t→∞，系統的響應達到穩態值。§3.4.1高階系統單位階躍響應2023/7/234.在瞬態過程中，某衰減項的指數或的值越大，則該項衰減越快，反之亦然。而它們就是系統的極點到虛軸的距離。顯然，對系統過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點。5.如果某一對閉環極點、零點非常靠近，則稱為一對偶極子。該閉環極點對暫態過程幾乎沒有影響。如果某一閉環零點附近沒有極點，并且離虛軸較近，則相應項的系數較大，對暫態過程的影響也較大。§3.4.1高階系統單位階躍響應2023/7/236.高階系統的瞬態特性主要由系統傳遞函數中那些靠近虛軸而又遠離零點的極點來決定。離虛軸較近的閉環極點對應項的系數較大；衰減較慢；對動態過程影響較大。§3.4.1高階系統單位階躍響應2023/7/236.如果高階系統有一個極點（或一對共軛復數極點）離虛軸最近，且其附近又無零點存在，而其他所有極點與虛軸的距離都在此極點與虛軸的距離的五倍以上，這個（或這對）極點就稱為高階系統的主導極點。§3.4.1高階系統單位階躍響應2023/7/23§3.4.2閉環主導極點已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試求：（1）閉環極點的分布并判斷系統是否存在主導極點；（2）估算系統的暫態性能，并分析說明主導極點法的工程實用意義。解（1）閉環極點的分布系統的閉環傳遞函數為:于是可得閉環極點的分布p1,2=-0.743±j1.12，p3=-5.515。這些極點的實部之比為可見在三個極點中P3遠離虛軸，故P1,2可視為系統的一對閉環主導極點。2023/7/23（2）系統暫態性能的估算忽略非主導極點P3的影響，于是系統的閉環傳遞函數可簡化為根據二階規范系統的暫態性能指標表達式，則可估算系統的暫態性能如下：（取)式中，2023/7/23（3）主導極點法的工程實用意義對高階系統進行初步分析或設計時，應用主導極點法將系統簡化為與主導極點相對應的低階系統來處理，這在工程上是很有實用的價值。一般說來，主導極點的主導性越強，近似所造成的誤差就越小。以本題為例，將系統的閉環傳遞函數改寫成下列一般的形式：2023/7/232023/7/23三階系統的單位階躍響應1.