第二章

隨機過程的

概念與基本類型

12.1隨機過程的一般概念設(,F,P)為概率空間，T是參數集。若對任意tT

，有隨機變量X(t,e)與之對應，則稱隨機變量族{X(t,e)，tT

}是(,F,P)上的隨機過程，簡記為

{X(t)，tT

}或{Xt，tT

}。X(t)的所有可能的取值的集合稱為狀態空間或相空間，記為I。25隨機過程的例子以X(t)表示某電話交換臺在時間段[0,t]內接到的呼叫次數，則{X(t)，t∈[0,∞)}是隨機過程；以X(t)表示某地區第t天的最高氣溫，則{X(t)，t=0,1,…}是隨機過程；以X(t)表示某固定點處在時刻t的海面相對于平均海平面的高度，則{X(t)，t∈[0,∞)}是隨機過程；X(t)=acos(ωt+Θ)，t∈（-∞,∞)，其中a，ω是常數，Θ是隨機變量。則{X(t)，t∈（-∞,∞)}是隨機過程62.1隨機過程的基本概念從數學上看，隨機過程{X(t,e)，tT

}是定義在T上的二元函數。對固定的t，X(t,e)是(,F,P)上的隨機變量；對固定的e，X(t,e)是定義在T上的普通函數，稱為隨機過程的一個樣本函數或樣本軌道。782.1隨機過程的基本概念按參數T和狀態空間I分類（1）T和I都是離散的（2）T是連續的，I是離散的（3）T是離散的，I是連續的（4）T和I都是連續的按Xt的概率特性分類正交增量過程獨立增量過程馬爾可夫過程平穩隨機過程92.2

隨機過程的分布和數字特征隨機過程{X(t)，tT

}的有限維分布函數族其中是n維隨機變量(X(t1),X(t2),,X(tn))的聯合分布函數10例：X(t)=tV,-∞<t<∞,其中V為隨機變量。P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4,求F1.5(x),F2(x),F1.5,2(x1,x2),112.2隨機過程的分布律和數字特征有限維分布函數族的性質

(1)對稱性其中是的任意排列(2)相容性

m<n122.2隨機過程的分布律和數字特征定理（柯爾莫哥洛夫，Kolmogorov)：設已給參數集T及滿足對稱、相容的有限維分布函數族F

則必存在概率空間(,F,P)及定義在其上的隨機過程{X(t)，tT

}，它的有限維分布函數族就是F有限維特征函數族132.2隨機過程的分布和數字特征定義2.3設{X(t)，tT

}是隨機過程，定義均值函數若對,EX2(t)存在，則稱該過程為二階矩過程。方差函數協方差函數142.2隨機過程的分布律和數字特征相關函數☆顯然有關系式

15隨機過程數字特征之間的關系均值函數自相關函數最主要的數字特征162.2隨機過程的分布律和數字特征例設X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),

t>0，Y,Z相互獨立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求{X(t),t>0}的均值函數和協方差函數。解172.2隨機過程的分布律和數字特征

182.2隨機過程的分布律和數字特征例設X(t)=Y+Zt,

t>0，Y,ZN(0,1)求{X(t),t>0}的一、二維概率密度族。解因Y,Z為正態隨機變量，則其線性組合X(t)也是正態隨機變量，X(t)～N(0,1+t2)192.2隨機過程的分布律和數字特征

隨機過程{X(t),t>0}的一維概率密度20212.2隨機過程的分布律和數字特征

隨機過程{X(t),t>0}的二維概率密度222.2隨機過程的分布律和數字特征設{X(t)，tT

}，{Y(t)，tT

}是兩個隨機過程，二階矩函數存在，定義二階矩過程一、二階矩函數存在定義2.4互協方差函數互相關函數

☆顯然有關系式232.2隨機過程的分布律和數字特征例設X(t)為信號過程，Y(t)為噪聲過程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函數和相關函數。解242.2隨機過程的分布律和數字特征252.3復隨機過程定義2.5設{Xt，tT

}，{Yt，tT

}是取實值的兩個隨機過程，對tT，Zt=Xt+iYt，則稱{Zt，tT

}是復隨機過程。均值函數方差函數262.3復隨機過程相關函數協方差函數

☆顯然有關系式272.3復隨機過程設{Xt，tT

}，{Yt，tT

}是兩個復隨機過程，定義互相關函數互協方差函數

☆顯然有關系式282.3復隨機過程復隨機過程的協方差函數具有性質(1)共軛對稱性

(2)非負定性292.3復隨機過程例設復隨機過程X1,X2,,Xn獨立，w1,w2,,wn為參數，求{Zt,t0}的均值函數m(t)和相關函數R(s,t)

解302.3復隨機過程

312.4幾種重要的隨機過程定義2.6設{X(t)，tT

}是隨機過程，且EX(t)=0,EX2(t)<+，若對任意的t1<t2t3<t4T,有E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=0，則稱{X(t)，tT

}為正交增量過程。不相關

t1t2t3t4定理：設T=[a,b],規定X(a)=0,若{Xt，tT

}是正交增量過程，則322.4幾種重要的隨機過程證:對于a<s<t<b

同理對于a<t<s<b,有于是332.4幾種重要的隨機過程定義2.7設{X(t)，tT

}是隨機過程，對任意正整數n和t1<t2<<tnT,隨機變量X(t2)-X(t1)，X(t3)-X(t2),,X(tn)-X(tn-1)是相互獨立的，則稱{X(t)，tT

}是獨立增量過程或可加過程。定理：若{Xt，tT

}是獨立增量過程，且EX(t)=0，EX2(t)<+，則{Xt，tT

}是正交增量過程。

342.4幾種重要的隨機過程事實上，對t1<t2t3<t4T,由獨立增量性，有E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=E[X(t2)-X(t1)]E[X(t4)-X(t3)]=0352.4幾種重要的隨機過程定義2.8設{X(t),tT}是獨立增量過程，若任意s<t,隨機變量X(t)-X(s)的分布僅依賴于t-s，則稱{X(t),tT}是平穩獨立增量過程。

☆維納過程和泊松過程是平穩獨立增量過程36定義2.9

設{X(t)，tT

}為隨機過程，若對任意正整數n及t1<t2<<tn，P{X(t1)=x1,,X(tn-1)=xn-1}>0，且條件分布P{X(tn)xn|X(t1)=x1,,X(tn-1)=xn-1}=P{X(tn)xn|X(tn-1)=xn-1}，則稱{X(t)，tT

}為馬爾可夫過程。☆若t1,t2,,tn-2表示過去，tn-1表示現在，tn表示將來，馬爾可夫過程表明：在已知現在狀態的條件下，將來所處的狀態與過去狀態無關。37定義2.12

設{X(t)，tT

}是隨機過程，對任意常數和正整數n，t1,t2,,tnT,t1+,t2+,,tn+

T，若(X(t1),

X(t2),,

X(tn))與

(X(t1+),

X(t2+),,

X(tn+))有相同的聯合分布，則稱{X(t)，tT

}為嚴平穩過程，也稱狹義平穩過程。386.1平穩隨機過程的概念定義2.13

設{X(t)，tT

}是隨機過程，并滿足：(1){X(t)，tT

}是二階矩過程；(2)對任意tT

，mX(t)=EX(t)=常數；(3)對任意s,tT

，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)，則稱{X(t)，tT

}為寬平穩過程，也稱廣義平穩過程，簡稱平穩過程。若T為離散集，稱平穩過程{Xn，nT

}為平穩序列。392.4幾種重要的隨機過程定義2.10設{X(t)，tT

}是隨機過程，對任意正整數n和t1<t2<<tnT,(X(t1),X(t2),,X(tn))是n維正態分布隨機變量，則稱{X(t)，tT

}是正態過程或高斯過程。402.4幾種重要的隨機過程定義2.11設{W(t),-<t<+}是隨機過程，如果(1)W(0)=0(2)W(t)是平穩獨立增量過程(3)對任意s,t,增量W(t)-W(s)~N(0,2|t-s|),2>0則稱{W(t),-<t<+}為維納過程，或布朗運動。412.4幾種重要的隨機過程定理：設{W(t),-<t<+}是參數為2的維納過程，則(1)對任意t(-,+),W(t)~N(0,2|t|)(2)對任意-<a<s,t<+,E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=2min(s-a,t-a)RW(s,t)=2min(s,t)證(1)由定義，顯然成立。422.4幾種重要的隨機過程(2)不妨設st，則E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(s)+W(s)-W(a))]=E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(s))]+E[(W(s)-W(a))2]=E[W(s)-W(a)]E[W(t)-W(s)]+D[W(s)-W(a)]=2(s-a)432.4幾種重要的隨機過程若t

s

，則E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=2(t-a)，所以E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]=2min(s-a,t-a)若取a=0，則RW