山西省長治市城關鎮第二中學2022年高二數學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一位數學老師在黑板上寫了三個向量，，，其中m，n都是給定的整數.老師問三位學生這三個向量的關系，甲回答：“與平行，且與垂直”，乙回答：“與平行”，丙回答：“與不垂直也不平行”，最后老師發現只有一位學生判斷正確，由此猜測m，n的值不可能為（

）A．，

B．，

C．，

D．參考答案：D2.在一線性回歸模型中，計算其相關指數R2＝0.96，下面哪種說法不夠妥當()A.該線性回歸方程的擬合效果較好B.解釋變量對于預報變量變化的貢獻率約為96%C.隨機誤差對預報變量的影響約占4%D.有96%的樣本點在回歸直線上，但是沒有100%的把握參考答案：D【分析】根據相關系數的意義，逐一分析四個結論的正誤，可得答案．【詳解】由相關指數R2表示的意義可知A、B、C三種說法都很妥當，相關指數R2＝0.96，其值較大，說明殘差平方和較小，絕大部分樣本點分布在回歸直線附近，不一定有96%的樣本點在回歸直線上．故選：D【點睛】本題考查的知識點是相關系數，正確理解相關系數的含義是解答的關鍵3.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（

）A． 30° B．45° C．60° D．120°參考答案：C4.觀察數列中的等于ks5u

A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知直線l：（t為參數），則直線的傾斜角為（）A．110° B．70° C．20° D．160°參考答案：A【考點】直線的參數方程．【分析】直線l：（t為參數），化為普通方程即可得出．【解答】解：直線l：（t為參數），化為普通方程：y=xtan110°+2+tan110°．則直線的傾斜角為110°．故選：A．6.設拋物線y2=4x的焦點為F，過點M（﹣1，0）的直線在第一象限交拋物線于A、B，使，則直線AB的斜率k=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】直線與圓錐曲線的關系．【分析】由題意可得直線AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0，代入拋物線y2=4x化簡求得x1+x2和x1?x2，進而得到y1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點F（1，0），直線AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0．代入拋物線y2=4x化簡可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故選：B．7.關于x的不等式ax﹣b＞0的解集為（﹣∞，1），則不等式＞0的解集為（）A．（﹣1，2） B．（﹣∞，1）∪（1，2） C．（1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）參考答案：C【考點】其他不等式的解法．【分析】由題意可得a＜0，且=1，不等式＞0即＜0，由此求得不等式的解集．【解答】解：∵關于x的不等式ax﹣b＞0的解集為（﹣∞，1），∴a＜0，且=1．則不等式＞0即＜0，解得1＜x＜2，故選：C．【點評】本題主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符號，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．8.已知，則“”是“”成立的

（

）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.對于冪函數，若，則，大小關系是（

）A．

B．C．

D．無法確定參考答案：A10.曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為()．A.

B.

C.

D．1參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＞0，S4=S8，則S12=；滿足an＞0的n最大整數是

．參考答案：0，6【考點】等差數列的性質．【分析】根據等差數列{an}性質可知a5+a7+a6+a8=0，即4a5+6d=0，從而有4a1+22d=0．即可求出S12，求解通項，令通項公式等于0，即可求解n的最大整數．【解答】解：由題意，{an}是等差數列，S4=S8，可得：a5+a7+a6+a8=0，即4a5+6d=0，從而有4a1+22d=0．∴a1=﹣5.5d．那么：S12===0．通項an=a1+（n﹣1）d=﹣6.5d+nd．令an=0，可得n=6.5，∵k∈N*．∴n最大整數為6．故答案為：0，6．12.為了了解某地高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數為12．（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數在110以上為達標，試估計全體高一學生的達標率為多少？（3）通過該統計圖，可以估計該地學生跳繩次數的眾數是

，中位數是

．參考答案：【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應用；頻率分布直方圖；眾數、中位數、平均數．【分析】（1）根據從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數為12，用比值做出樣本容量．做出的樣本容量和第二小組的頻率．（2）根據上面做出的樣本容量和前兩個小長方形所占的比例，用所有的符合條件的樣本個數之和，除以樣本容量得到概率．（3）在頻率分布直方圖中最高的小長方形的底邊的中點就是這組數據的眾數，處在把頻率分布直方圖所有的小長方形的面積分成兩部分的一條垂直與橫軸的線對應的橫標就是中位數．【解答】解：（1）∵從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數為12．∴樣本容量是=150，∴第二小組的頻率是=0.08．（2）∵次數在110以上為達標，∴在這組數據中達標的個體數一共有17+15+9+3，∴全體學生的達標率估計是=0.88…6分（3）在頻率分布直方圖中最高的小長方形的底邊的中點就是這組數據的眾數，即=115，…7分處在把頻率分布直方圖所有的小長方形的面積分成兩部分的一條垂直與橫軸的線對應的橫標就是中位數121.3…8分13.將101101(2)化為十進制結果為

；再將該數化為八進制數，結果為

.參考答案：45，55（8）14.若經過坐標原點的直線與圓相交于不同的兩點，，則弦的中點的軌跡方程為____________.參考答案：15.若.則的最大值是

.參考答案：略16.頂點在原點，對稱軸為軸，且過點的拋物線的標準方程是

.參考答案：略17.已知復數與均是純虛數，則。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC的面積．參考答案：【考點】HP：正弦定理；GN：誘導公式的作用；HR：余弦定理．【分析】（I）把已知的等式變形，利用正弦定理化簡，再根據兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式進行變形，根據sinA不為0，在等式兩邊同時除以sinA，得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（II）由第一問求出的B的度數，得到sinB的值，同時利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方化簡后，把cosB，b，及a+c的值代入，求出ac的值，最后由ac及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：（I）由已知得，由正弦定理得．即2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC，即2sinAcosB+sin（B+C）=0．…3分∵B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，∴，∴；…6分（II）由（I）得．…7分將代入b2=a2+c2﹣2accosB中，得ac=3．…10分∴．…12分．19.某學校舉行聯歡會，所有參演的節目都由甲、乙、丙三名專業老師投票決定是否獲獎.甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”、“待定”、“淘汰”三類票各一張，每個節目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響.若投票結果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節目最終獲一等獎；否則，該節目不能獲一等獎.(1)求某節目的投票結果是最終獲一等獎的概率；(2)求該節目投票結果中所含“獲獎”和“待定”票票數之和X的分布列及均值和方差.參考答案：（1）；（2）的分布列為

的數學期望為．試題分析：（1）設“某節目的投票結果是最終一等獎”為事件，則事件包含該節目可以獲張“獲獎票”或該節目可以獲張“獲獎票”，由此能求出某節目的投票結果是最終一等獎的概率；（2）所含“獲獎”和“待定”票數之和的值為，，，，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列及數學期望．試題解析：（1）設某節目的投票結果是最終獲一等獎這一事件為，則事件包括：該節目可以獲張“獲獎”票，或者獲張“獲獎”票，∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，∴；6分（2）所含“獲獎”和“待定”票數之和的值為，，，，，，，，8分因此的分布列為

∴的數學期望為，12分（亦可服從二項分布同樣給分）（12分）考點：1．概率的計算；2．離散型隨機變量的分布列與期望．20.設函數,(1)當x>2時，求函數f(x)的最小值.(2)當x4時，求函數f(x)的最小值．參考答案：（1）見選修4-5P12頁例3（2）用函數單調性求解得答案：略21.某重點高中計劃面向高二年級1200名學生開設校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了180名學生對社會科學類，自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調查，其中男生有105人．在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人．

（1）分別計算抽取的樣本中男生及女生選擇社會科學類的頻率，并以統計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類學生的人數；（2）根據抽取的180名學生的調查結果，完成下列2×2列聯表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關？

選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生

女生

合計

附：，其中．P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：（Ⅰ）由條件知，抽取的男生為105人，女生為180-105=75人；

男生選擇社會科學類的頻率為，女生選擇社會科學類的頻率為；…（2分）

由題意，男生總數為人，女生總數為人，…（4分）

所以，估計選擇社會科學的人數為人；…（6分）

（Ⅱ）根據統計數據，可得列聯表如下：

選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生6045105女生304575合計9090180計算觀測值，

所以，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關．…（12分）22.設各項均為正