巧解二元一次方程的整數解年級：七年級學科：初中數學（浙教版）溫故知新，開啟新課答：

y必須為0~9的整數，x必須為1~9的整數.答：有，如：除y=2,x=9外，還有y=4,x=6.無背景條件下二元一次方程有無數個解，二元一次方程的非負整數解這樣限定條件，解的個數就有限.問題1設一個兩位數十位上的數為x，個位上的數為y，已知十位上的數的2倍與個位上數的3倍的和為24,請你添加一個條件，使同學們能確切地得到這個兩位數的值；由題可得2x+3y=24，添加的x，y需滿足什么條件？問題1追問：

上題中方程2x+3y=24有無其它滿足要求的解？解的個數與無背景條件下方程2x+3y=24的個數有何不同？追問溫故知新，開啟新課

如何得到2x+3y=24的所有解（y必須為0~9的整數，x必須為1~9的整數）？問題2問題1：可以通過列舉x的值來求相應y的值嗎？追問y0123456789x129630答：

∵y必須為0~9的整數，x=.x123456789y642∵x必須為1~9的整數，

∴畫圈的才滿足要求.∵y必須為0~9的整數，

∴畫圈的才滿足要求.還有其它二元一次方程，如2x+3y=24的所有非負整數解的簡便解法嗎？問題3溫故知新，開啟新課答：除列表枚舉法外，還可以根據x,y的系數及常數項特征，選擇對應的方法：利用奇偶性、利用整除性、轉化討論法等.

（觀察x,y的系數及常數項的特征，并分析）溫故知新，開啟新課問題3：求2x+3y=24的所有非負整數解解：∵x,y為非負整數，∴2x為偶數，3y=24-2x也為偶數，則y必為偶數.利用奇偶性溫故知新，開啟新課∵x=,∴當y分別取0，2，4，6，8時，

x分別有12，9，6，3，0當y取10及以上的偶數，x計算得負數，不滿足題意.∴2x+3y=24的所有非負整數解只有5個：溫故知新，開啟新課溫故知新，開啟新課問題3：求7x+4y=100的所有非負整數解利用整除性解：∵x,y為非負整數，∴4y,100為4的倍數，7x=100-4y也為4的倍數，則x必為4的倍數∵y=,∴當x分別取0，4，8，12，16時，

y分別有25，18，11，4，-3當y取16及以上的4的倍數，y計算得負數，不滿足題意.∴7x+4y=100的所有非負整數解只有4個：溫故知新，開啟新課問題3：我國古代算術書《張丘建算經》中記載著著名的“百雞問題”：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買百雞，翁、母、雛各幾何？轉化討論法溫故知新，開啟新課這樣就轉化為求二元一次方程7x+4y=100的非負整數解問題，根據x,y,z的實際意義，一樣得x必為4的倍數.解：設翁、母、雛各為x,y,z只.由題意得到：，x,y,z為非負整數.三元一次方程②×3-①化簡得7x+4y=100∵y=,∴當x分別取0，4，8，12時，

z=100-x-y

y分別有25，18，11，4，此時對應z分別為75，78，81，84當y取16及以上的4的倍數，y計算得負數，不合題意.答：翁、母、雛各為0，25,75只或4，18,78只或8，11,81只或12，4,84只.溫故知新，開啟新課問題1：求，x,y,z為非負整數，可從其他角度轉化討論嗎？問題4

（觀察x,y的系數及常數項的特征，小組合作分析）∴當z分別取75，78，81，84時，x分別有0，4，8，12，此時對應y分別為25，18，11，4答：翁、母、雛各為0，25,75只或4，18,78只或8，11,81只或12，4,84只.解：設翁、母、雛各為x,y,z只.由題意得到：，x,y,z為非負整數.三元一次方程①×3-②化簡得∵x,100為整數，z必為3的倍數，又由x,y,的實際意義得溫故知新，開啟新課追問：轉化討論法的緣由和核心是什么？追問答：因為三元一次方程組涉及的未知量多，或者其他方程形式比較復雜所以必要轉化為熟悉的二元一次方程或二元一次方程組.因為二元一次方程解的不確定性，所以必要根據x,y的系數及常數項的特征分類討論.或者針對要點，對二元一次方程解的所有可能情況分類討論.例題（1）求方程的非負整數解：

（2）求方程的整數解：借題發揮，合作探究借題發揮，深化理解例題分析由積為0，推斷必有一個因式為0.對兩個因式分別討論：借題發揮，合作探究借題發揮，深化理解（1）求方程的非負整數解：例題借題發揮，合作探究借題發揮，深化理解（1）求方程的非負整數解：解：當2x+3y-10=0時，∵x,y為整數，2x,10都是偶數，∴y也是偶數，取0,2，4,…時，x=分別為5,2，-1…經檢驗，y取4及以上的偶數時，不符合題意.當x-2y+4=0時，∵x,y為整數，2y,4都是偶數，∴x也是偶數，取0,2，4,…時，y=分別為2,3，4…經檢驗，

，k為非負偶數

，均符合題意.∴原方程的解有：（k為非負偶數

），例題（2）求方程的整數解：

形式變化，需要學生對方程的結構進行分析，任意選取整數x,y嘗試代入，或和同伴討論。教師綜合學生的思路進行教學.借題發揮，合作探究借題發揮，深化理解∵x,y為整數，∴x+y+2，x-y也為整數則分析-5由哪兩個整數作為因數得到即可.結構分析四種可能：方程組整數解（-1）×5（2）求方程的整數解借題發揮，合作探究借題發揮，深化理解1×（-5）（-5）×15×（-1）二元一次方程列表枚舉法利用奇偶性利用整除性轉化討論法解決方法整數解例題小結：借題發揮，合作探究借題發揮，深化理解系數特征：偶數、倍數方程結構：單個方程、組合方程求方程的整數解：練習解：∵x,y為整數，∴y+2，x2，（y+2）2也為整數且得到10的兩個和數必須為整數的平方.置換背景，鞏固提升

小貼士：平方項≥0，唯有1+9=10，和數1,9都是整數的平方置換背景，鞏固提升方程結構分析：5+5可以嗎？4+6呢？∴原方程的解有解的條件系數特征常數特征方程結構積的組合和的組合分析推導有限個列表枚舉法利用奇偶性利用整除性轉化討論法梳理新知，小結新課問題1：

2x+3y=24

，添加一個條件，使能確切地得到這個兩位數的值？問題2：如何得到

2x+3y=24的所有解（y必須為0~9的整數，x必須為1~9的整數）？問題3：還有其它二元一次方程，如2x+3y=24的所有非負整數解的簡便解法嗎？問題4：求二元一次方程的所有非負整數解可從其他角度轉化討論嗎

？轉化討論分層單個二元一次方程的整數解二元一次方程的組合形式二元一次方程的解添加確定值、方程組限定條件：非負整數借題發揮，合作探究配套練習，助力提升A1．求二元一次方程的負整數解，敘述錯誤的是（

）2．求二元一次方程的非負整數解，敘述正確的是（

）A．解有無限多個 B．解只有唯一一個C．可用列表枚舉法求解

D．當y=3時x=2;當y=2時x=33．已知方程組有正整數解，求正整數m的值，方法錯誤的是（

）A．可把x+1=y代入上式消元

B．x,m的關系式為x+m+xm=5

C．當y=2時x=1;當y=3時x=2

D．m=1A．解有無限多個

B．3x=-8-y＜0,∴-8＜y＜0C．∵

3x=-8-y，∴-8-y為3的倍數 D．當y=-5時x=-1;當y=-5時x=-2借題發揮，合作探究配套練習，助力提升B4．已知方程組，結論中錯誤的是（

）A．a:b:c=1:(-2):3

B．關于a,b的方程組沒有正整數解C．關于a,b的方程組的非負整數解為有限個

D．關于a,b的方程組沒有負整數解5．

3x+y=30(x>y)的正整數解，錯誤的敘述是（

）A．有9個解

B．y為3的倍數

C．有2個解

D．如果是整數解，就有無限多個6．求方程的整數解，錯誤的敘述是（

）A．x，y,z具有輪換對稱性

B．有4個解

C．有兩個解

D．可分為三個-1之積和1個-1兩個1之積討論借題發揮，合作探究反思和評價

參考答案1.∵方程限定了條件“負整數解”，∴解為有限個，而其它選項均正確，∴選A，2.∵用列表枚舉法，當5x=5,10,15，只有10+9結構符合y為正整數的要求，∴選B，3.把x+1=y代入上式展開得x+m+xm=5，∵x,m為正整數且具輪換對稱性，