課標新動向(回歸教材)

勾股定理與代數(shù)推理第十七章勾股定理【概述】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》明確要求了解代數(shù)推理，養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)符號論證問題的習(xí)慣，讓學(xué)生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理能力，培養(yǎng)科學(xué)精神.1.【例1】(人教8下P34、北師8上P10)我們知道3，4，5是一組勾股數(shù)，那么3k，4k，5k(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)嗎?一般地，如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)嗎?解：∵k是正整數(shù)，∴3k，4k，5k都是正整數(shù)，∵(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，∴3k，4k，5k(k是正整數(shù))是一組勾股數(shù).∵a，b，c是一組勾股數(shù)，且k是正整數(shù)，∴ak，bk，ck是三個正整數(shù)，且a2＋b2＝c2，∵(ak)2＋(bk)2＝a2k2＋b2k2＝(a2＋b2)k2＝c2k2＝(ck)2，∴ak，bk，ck是一組勾股數(shù).4.(人教8下P39)古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c為勾股數(shù).你認為對嗎?如果對，你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎?解：正確.理由：∵m表示大于1的整數(shù)，∴a，b，c都是正整數(shù)，且c是最大邊，∵(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，∴a2＋b2＝c2，即a，b，c為勾股數(shù).當m＝2時，可得一組勾股數(shù)3，4，5.

5.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c.(1)求證：a2＋c2－2ac＜b2；(2)當a2c2－b2c2＝a4－b4時，試判斷△ABC的形狀.(1)證明：∵△ABC的三邊長分別為a，b，c，∴b＞|a－c|，∵b＞0，|a－c|≥0，∴b2＞(a－c)2，∴a2＋c2－2ac＜b2.(2)解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.3.【例3】(人教8下P24改編、北師8上P8)當四個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”推導(dǎo)出a2＋b2＝c2.請寫出推導(dǎo)過程.

【概述】近年來，廣東省中考數(shù)學(xué)命題把數(shù)學(xué)知識和國家及地區(qū)經(jīng)濟社會發(fā)展中出現(xiàn)的熱點問題有機結(jié)合起來，凝練出時代氣息濃郁的數(shù)學(xué)問題.同時，2022版新課標也加大了數(shù)學(xué)學(xué)科的跨學(xué)科融合，2022年省考的第20題就是與物理學(xué)科融合，我們需要重視這樣的新動向.1.【例1】(2022溫州改編)如圖為一塊光學(xué)直角棱鏡，其截面為直角三角形ABC，AB所在的面為不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm.現(xiàn)將一束單色光從AC邊上的O點入射，折射后到達AB邊上的D點，恰有CD⊥AB，再經(jīng)過反射后，從E點垂直于BC射出，則DE的長為

.

D2.【例2】(2022蘇州期末)“東方之門”座落于美麗的金雞湖畔，高度約為米，是蘇州的地標建筑，被評為“中國最高的空中蘇式園林”.現(xiàn)以現(xiàn)代大道所在的直線為x軸，星海街所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系(1個單位長度表示的實際距離為100米)，東方之門的坐標為A(6，－4)，小明所在位置的坐標為B(－2，2)，則小明與東方之門的實際距離為

米.

1

000

5.(2022陜西期末)為加快舊城改造步伐，增強城市功能，改善人居環(huán)境，我市對部分舊城區(qū)天然氣管道進行檢查.在檢查過程中發(fā)現(xiàn)原有管道因彎道過多帶來安全隱患，因此需要改造.某小區(qū)管道A→B改造方案如圖(實線為改造前，所有實線均互相平行或垂直，虛線為改造后).(1)改造前管道的長度是

m；

(2)改造后AB之間的距離減少了

m.

280

410

3.【例3】(2022無錫模擬)如圖，∠AOB＝90°，OA＝6m，OB＝2m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球.若小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，則機器人行走的路程BC是多少?

6.(2022佛山期末)如圖，一架秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.5m(水平距離BC＝1.5m)時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1m，秋千的繩索始終拉直，求繩索AD的長.解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四邊形BCEF是長方形，△ACB是直角三角形，∴CE＝BF＝1

m，∴CD＝CE－DE＝1－＝0.5(m)，設(shè)繩索AD的長為x