第十七章拉格朗日方程1

動力學(xué)本章在達朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進一步導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類方程（簡稱拉格朗日方程）。動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動力學(xué)問題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題時，顯得十分簡捷、規(guī)范。2§17–1動力學(xué)普遍方程§17–2拉格朗日第二類方程§17–3拉格朗日第二類方程的積分第十七章拉格朗日方程3

動力學(xué)設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，第i個質(zhì)點

若質(zhì)點系受有理想約束，將作為主動力處理，則：解析式：§17-1動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程。4動嬸力剛學(xué)例1三磁棱也柱B沿萄三窩棱辛柱A的濱光太滑暴斜展面百滑兼動齡，辨三縮慧棱男柱A置于郵光滑賓水平蹦面上婆，A和B的罪質(zhì)減量弊分境別布為M和m，斜圖面地傾丑角克為。遺試蝕求錯三挎棱歉柱A的棕加搬速炮度東。解：僑研婆究劉兩灣三姥棱迎柱妻組息成興的趴系闊統(tǒng)攔。蝦該熊系戴統(tǒng)鋤受株理野想債約日束恭，尋具忙有飄兩蜘個陪自撲由母度跌。在泰理尤想顛約肺束婚的司條售件瞧下埋，拿質(zhì)稠點獨系逗的程各陡質(zhì)刊點械在僻任張一坑瞬弱時記受跌到珍的該主顫動鳳力夫與訓(xùn)慣腥性浸力做在炎任張意惹虛蕩位竭移椒上幟所龍作寒的殲虛事功釘之抱和償為辰零志。5動旦力司學(xué)由鄰動爐力息學(xué)筑普伶遍皺方憲程餐：系統(tǒng)為二自由度，取互不相關(guān)的為獨立虛位移，且，所以解得悉：6動剝力證學(xué)§菠1待7桂-譽2拉緞格箏朗約日壘第烏二隱類店方逗程設(shè)吹質(zhì)會點刃系還有n個質(zhì)半點，品受s個完刮整約征束且漏系統(tǒng)以所受狐的約鳳束是齒理想糟約束朋，自產(chǎn)由度k=泄3n-s。下面損推導(dǎo)沖以廣沈義坐最標(biāo)表煤示的辛動力投學(xué)普胡遍方舉程的怠形式些。質(zhì)點。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為，則稱為廣義速度。7動力惕學(xué)代炎入邁質(zhì)妙點盆系面動怎力免學(xué)飾普再遍作方稠程護，折得景：8動映力欲學(xué)稱 為廣義力

廣義慣性力9動康力斗學(xué)廣義戒慣性護力可委改變?nèi)瓰橛寐奄|(zhì)點悉系的泳動能聚表示,因劑此為簡徑化計齊算,需要王用到閃以下乳兩個掌關(guān)系最式：下面來推導(dǎo)這兩個關(guān)系式：第一式只須將(b)式兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)即可得到。1胞0第二唐式可晝比較(a)式先錘對ql求騙偏浙導(dǎo)體數(shù)倍再紛對t求導(dǎo)友數(shù)與(b)式對ql求梳偏竊導(dǎo)謎數(shù)遭的握結(jié)披論泛得哨出傾。動莊力鄰學(xué)拉格傅朗日眼第二新類動蚊力學(xué)臺方程尋，簡短稱拉均格朗貸日方腰程。11動撿力皂學(xué)如暈果層作揚用脆于萬質(zhì)勤點乓系厲的燦力準(zhǔn)是對有付勢既力賽，驅(qū)則裕廣才義秩力幅可步用農(nóng)質(zhì)旨點棉系耗的雕勢洲能厲來約表陣達沿。而拉氏方程為：引刻入直拉存格定朗援日厲函孫數(shù)澤：L=T-U則：保守潔系統(tǒng)擺的拉卡格朗逆日方兔程。12動蟻力臥學(xué)應(yīng)清用慕拉古氏嫁方超程流解饒題換的誓步壯驟寒：1.判靠定佩質(zhì)摧點洗系吧的葵自傻由部度k，選取餃適宜揀的廣火義坐歪標(biāo)。逃必須換注意比：不置能遺渡漏獨促立的敲坐標(biāo)族，也訓(xùn)不能濫有多童余的扔（不謠獨立澆）坐蟻標(biāo)。2.計吃算仗質(zhì)黑點煤系凈的富動免能T，表示岸為廣沿義速仙度和擊廣義啊坐標(biāo)半的函番數(shù)。3.計演算維廣阻義稀力棚，訴計苦算箭公蒜式燃為鑰：或若主轎動力民為有勁勢力薯，須緩將勢晝能U表示摔為廣捧義坐刪標(biāo)的塵函數(shù)寧。4.建幅立陣?yán)臼厦@方累程按并薄加隔以篩整茶理條，譽得臉出k個二藍階常坊微分蠶方程債。5.求出希上述幟一組劇微分叮方程斗的積殼分。13動灶力踐學(xué)[例1蠻]水平捷面內(nèi)雜運動楊的行紡星齒泛輪機平構(gòu)。節(jié)均質(zhì)梳桿O久A：咸重P，可池繞O點轉(zhuǎn)頓動；弄均質(zhì)談小齒展輪：掠重Q，半捧徑r，沿半方徑為R的獻固巾定系大江齒膊輪眼滾顯動泳。束系鄉(xiāng)豐統(tǒng)槐初桌始柏靜窗止摟，好系穗桿O鏡A位規(guī)于影圖歇示OA0位均置膏。憐系管桿O所A受券大襯小材不激變狼力脊偶M作用房誠后，籌求系椒桿O星A的葛運盯動火方巴程周。所切受膚約宇束求皆役為吼完呼整保、跌理衫想師、挽定籠常番的消，飛可玩取OA桿痰轉(zhuǎn)驢角為礦廣絨義路坐鹿標(biāo)卵。解：圖割示機目構(gòu)只喘有一賴個自雪由度1拼4動沾力亂學(xué)1焰5動力蝕學(xué)代末入閑拉糧氏銷方案程鞋：積分醒，得壺：故：代入初始條件，t=0時，得16動力奮學(xué)[例2]與攤剛享度蘇為k的幕彈習(xí)簧仗相烘連屋的格滑縱塊A，質(zhì)量征為m1,可系在頭光貫滑蜓水濕平裳面阻上帽滑倍動桶。幸滑謹(jǐn)塊A上又?jǐn)r連一核單擺爛，擺萍長l，擺錘胡質(zhì)量源為m2，試列閱出該臨系統(tǒng)管的運裝動微敘分方廟程。解：龜將輕彈訪簧檢力轟計李入歡主忍動赤力安，鴨則喬系磚統(tǒng)犧成口為淚具灣有彩完秘整鞭、蔬理細想隸約鴉束蠅的糕二鴉自查由柴度度系袖統(tǒng)龜。遺保餅守芒系矩統(tǒng)技。隱取x,為肚廣紐奉義狐坐鐘標(biāo)粗，x軸原銅點們位峽于萍彈姥簧常自司然動長向度代位留置容，逆央時圖針紙轉(zhuǎn)該向摧為填正煌。1龜7動力鉤學(xué)系統(tǒng)動能：18動力困學(xué)系統(tǒng)釣勢能：蘇（榮以狂彈餓簧齒原筑長叮為杜彈送性驢勢榜能鈔零吸點怠，晉滑讀塊A所嗎在憲平?jīng)r面竄為和重色力棵勢敵能趨零搭點縱）拉役格納朗巡壽日澤函肺數(shù)撒：19動力紅學(xué)代入：并適當(dāng)化簡得：20動力芬學(xué)系兔統(tǒng)多的次運謝動柏微航分煉方叛程鍬。上刊式圍為帳系扶統(tǒng)榴在杏平愚衡遵位樓置(x=榜0輕,=擦0盒)附近沉微幅妖運動廈的微殖分方峰程。若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運動，此時<<1o,cos1,sin

，略去二階以上無窮小量，則2客1動力償學(xué)§薪1晨7變-毛3拉格順朗日憂第二圍類方要程的心積分對晃于莖保筋守潤系番統(tǒng)塔，蕩可忽以訪得襖到鳥拉媽格駛朗曠日菊方膨程崗的篩某詳些飛統(tǒng)用一淚形針式猴的承首仇次射積嶺分螺，催從成而訪使撲得子保畜守樸系盯統(tǒng)堂動焦力逗學(xué)盾問抖題掌的呈求唇解衰過秒程鉗進由一堡步恐簡螺化路。保再守銹系求統(tǒng)蹦拉傭格礎(chǔ)朗炭日荷方則程瘋的拜首歸次蝴積服分半包認(rèn)括鞏：妄能除量沉積映分勺、替循白環(huán)悶積伍分岔。一、判能量覺積分設(shè)朱系趁統(tǒng)俗所英受揚的特主飄動療力油是他有評勢齡力兇，異且絕拉括格廚朗覽日插函沙數(shù)L=T-U中景不注顯矩含t，則22動力認(rèn)學(xué)廣版義滲能測量蜻積戶分悠。保守膝系統(tǒng)悔的拉它格朗港日函傲數(shù)不撥顯含色時間t時健，拌保悄守表系找統(tǒng)修的廣喚義頓能企量擔(dān)守疑恒。可斃以證毒明，批當(dāng)系香統(tǒng)約誰束為墓定常隆時，放上式佛為=023系遣統(tǒng)淘的斜廣看義謝能陰量譽積情分臥式湯就拒是拉系英統(tǒng)圍的四機穴械玻能腎守陰恒聾方嘆程聞式講。動力勁學(xué)二、浴循環(huán)六積分如延果纏拉季格趴朗暖日裙函嚴(yán)數(shù)L中倚不生顯孤含江某炭一撤廣籮義瀉坐爛標(biāo)qr,則該免坐標(biāo)脈稱為辭保守兼系統(tǒng)摩的循環(huán)寫坐標(biāo)孔或可含遺坐者標(biāo)。當(dāng)為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時，必有于印是您拉屑氏壟方愈程賣成吩為2允4動力創(chuàng)學(xué)積分得：循環(huán)秧積分因L=T-U，而U中不顯含，故上式可寫成Pr稱闖為講廣茫義連動風(fēng)量儉，追因池此咸循棍環(huán)包積剩分籃也仙可框稱晌為忌系尚統(tǒng)階的易廣虧義賺動疫量釘積寫分突。保守勢系統(tǒng)抄對應(yīng)宵于循旬環(huán)坐致標(biāo)的龍廣義器動量涌守恒旦。一個頃系統(tǒng)沖的能湖量積視分只傭可能循有一開個；傍而循川環(huán)積曾分可瞧能不孤止一咬個，苦有幾掠個循苗環(huán)坐濕標(biāo)，屋便有哪幾個螺相應(yīng)錢的循跳環(huán)積脾分。能量省積分些和循姜環(huán)積茶分都桑是由娃保守音系統(tǒng)鄰拉格趟朗日餅方程裳積分復(fù)一次抬得到襲的，級它們生都是妥比拉滔格朗冶日方件程低拒一階寫的微花分方辣程。2翅5動基力戀學(xué)[例3鞠]楔形度體重P，斜面哀傾角，質(zhì)置該于治光券滑撈水半平剪面配上駱。庭均蠟質(zhì)黑圓窯柱挽體溉重Q，半徑混為r，遙在楔形鳴體的蓬斜面資上只懇滾不砍滑。暗初始川系統(tǒng)薦靜止徐，且瘡圓柱屬體位團于斜妻面最設(shè)高點清。試?yán)枨螅?婚1連)系博統(tǒng)環(huán)的嶼運喉動綿微往分器方搬程綁；(2環(huán))楔雞形析體不的錫加擇速妄度庭；(3侮)系株統(tǒng)渴的忘能獸量乖積鐘分敬與扮循垮環(huán)述積佩分要。解：研究慨楔形時體與拴圓柱諒體組應(yīng)成的隸系統(tǒng)讀。系囑統(tǒng)受焰理想失、完陪整、寸定常常約束陣，具流有兩津個自肆由度埋。取棄廣義跌坐標(biāo)師為x,s；各逃坐憤標(biāo)吸原激點修均蜘在負初靈始母位港置晨。2疊6動泥力攝學(xué)系統(tǒng)爺?shù)膭佑弈埽合到y(tǒng)繼的勢睬能：取水獨平