生活中的優化問題舉例石首一中〔1〕對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？規格（L）21.250.6價格（元）6.54.82.8下面是某品牌飲料的三種規格不同的產品，假設它們的價格如下表所示.

生活中經常會遇到求什么條件下可使利潤最大,用料最省，效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題.這往往可以歸結為求函數的最大值或最小值問題.其中不少問題可以運用導數這一有力工具加以解決.復習：如何用導數來求函數的最值？一般地，假設函數y=f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，那么求f(x)的最值的步驟是：〔1〕求y=f(x)在[a，b]內的極值(極大值與極小值)；〔2〕將函數的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.特別地，如果函數在給定區間內只有一個極值點，那么這個極值一定是最值。解：設每瓶飲料的利潤為y，那么r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數↘增函數↗∵f(r)在(0，6]上只有一個極值點∴由上表可知，f(2)=-1.07p為利潤的最小值-1.07p例1、某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？利潤=收入-本錢解：設每瓶飲料的利潤為y，那么∵當r∈(0，2)時，而f(6)=28.8p，故f(6)是最大值答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料的利潤最大，當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小.例1、某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？f(2)=

-1.07，為利潤的最小值問題情景二：海報版心設計例2．學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳.現讓你設計一張如下圖的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm．左、右兩邊各空1dm．如何設計海報的尺寸，才能使四周空白的面積最小？21

解：設版心的高為xdm，版心的寬為128/xdm,此時四周空白面積為:

求導數，得于是寬為

因此，x=16是函數S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。x2128/x1例3．某賓館有５０個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為１８０元時，房間會全部住滿；房間的單價每增加１０元，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館每天每間需花費２０元的各種維修費．房間定價多少時，賓館的利潤最大？房價應定為多少？解:設房間定價為(180＋10x)元時，賓館的利潤Ｗ最大

問題情景三：解決優化問題的根本思路：通過搜集大量的統計數據，建立與其相應的數學模型，再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數往往是一個有力的工具，其根本思路如以下流程圖所示優化問題用函數表示的數學問題用導數解決數學問題優化問題的答案四．知識應用高考鏈接〔２００9年江蘇卷〕請你設計一個帳篷，它的下部的形狀是高為１m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為３m的正六棱錐，試問：當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？OO1帳篷的體積為V〔x〕=解:設OO1為xm，那么1＜x＜4

由題設可得正六棱錐底面邊長為

于是底面正六形的面積為OO1O2求導數令V`〔x〕=0解得x=-2(不合題意,舍去),x=2當1＜x＜2時V`〔x〕＞0，V〔x〕為增函數當2＜x＜4時V`〔x〕＜0，V〔x〕為減函數所以當x=2時V〔x〕最大答：當OO1為2m時帳篷的體積最大五．課后小結：

在日常生活中，我們經常會遇到求在什么條件下可使利潤最大，面積最小，體積最大，用料最省，效率最高等問題，這