實際問題的函數建模第1頁，課件共30頁，創作于2023年2月

在現實世界里，事物之間存在著廣泛的聯系，許多聯系可以用函數刻畫。第2頁，課件共30頁，創作于2023年2月1.了解數學建模，掌握根據已知條件建立函數關系式的方法.(重點)2.增強應用數學的意識以及分析問題、解決問題的能力.(難點)第3頁，課件共30頁，創作于2023年2月問題1

當人的生活環境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化，表中給出了實驗的一組數據，這些數據能說明什么？環境溫度/（oC）410203038代謝率/[4185J/（h·m2）]60444040.554第4頁，課件共30頁，創作于2023年2月解析：在這個實際問題中出現了兩個變量：一個是環境溫度；另一個是人體的代謝率。不難看出，對于每一個環境溫度都有唯一的人體代謝率與之對應，這就決定了一個函數關系。實驗數據已經給出了幾個特殊環境溫度時的人體代謝率，為了使函數關系更直觀，我們將表中的每一對實驗值在直角坐標系中表示出來。在醫學研究中，為了方便，常用折線把它們連接起來。/（℃）/[4185J/(h·m2)]3840第5頁，課件共30頁，創作于2023年2月

根據圖像，可以看出下列性質：（1）代謝率曲線在小于20oC的范圍內是下降的，在大于30oC的范圍內是上升的；（2）環境溫度在20oC～30oC時，代謝率較低，并且較穩定，即溫度變化時，代謝率變化不大；（3）環境溫度太低或太高時，它對代謝率有較大影響.

所以，臨床上做“基礎代謝率”測定時，室溫要保持在20～30oC之間，這樣可以使環境溫度的影響最小.通過圖像，更好地把握環境溫度與人體代謝關系第6頁，課件共30頁，創作于2023年2月問題2

某廠生產一種暢銷的新型工藝品，為此更新專用設備和制作模具花去了200000元，生產每件工藝品的直接成本為300元，每件工藝品的售價為500元，產量x對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L之間存在什么樣的函數關系？表示了什么實際含義？第7頁，課件共30頁，創作于2023年2月解：總成本C與產量x的關系C=200000+300x；單位成本P與產量x的關系P=300+200000/x；銷售收入R與產量x的關系R=500x；利潤L與產量x的關系

L=R-C=200x-200000。以上各式建立的是函數關系。

第8頁，課件共30頁，創作于2023年2月（1）從利潤關系式可見，希望有較大利潤應增加產量。若x<1000,則要虧損；若x=1000

，則利潤為零；若x>1000，則可盈利.

(2)從單位成本P與產量x的關系P=300+200000/x

可見，為了降低成本，應增加產量，以形成規模效益。第9頁，課件共30頁，創作于2023年2月【提升總結】解決應用題的一般程序是：①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；②建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；③解模：求解數學模型，得出數學結論；④還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原到實際問題．第10頁，課件共30頁，創作于2023年2月數學建模過程：實際問題抽象概括數學模型推理演算數學模型的解還原說明實際問題的解第11頁，課件共30頁，創作于2023年2月思考：（1）總費用由哪些部分組成？（2）每一部分費用的表達式是什么？例1某公司一年需要一種計算機元件8000個,每天需同樣多的元件用于組裝整機.該元件每年分n次進貨,每次購買元件的數量均為x,購一次貨需手續費500元.已購進而未使用的元件要付庫存費,可以認為平均庫存量為x件,每個元件的庫存費是一年2元.請核算一下,每年進貨幾次花費最小?第12頁，課件共30頁，創作于2023年2月分析：1.每次進貨量x與進貨次數n的關系：2.進貨次數為：3.全年的手續費是：4.一年的總庫存費為：5.其他費用：（C為常數）(n≥1,n∈z)第13頁，課件共30頁，創作于2023年2月即n=4時,總費用最少，故以每年進貨4次為宜.令總費用為F≥4000+C，當且僅當，第14頁，課件共30頁，創作于2023年2月例2電聲器材廠在生產揚聲器的過程中，有一道重要的工序：使用AB膠黏合揚聲器中的磁鋼與夾板.長期以來,由于對AB膠的用量沒有一個確定的標準,經常出現用膠過多,膠水外溢;或用膠過少,產生脫膠,影響了產品質量.經過實驗,已有一些恰當用膠量的具體數據如表.序號12345678910磁鋼面積/cm211.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.1443.4用膠量/g0.1640.3960.4040.6640.8120.9721.6882.864.0767.332第15頁，課件共30頁，創作于2023年2月現在需要提出一個既科學又簡便的方法來確定磁鋼面積與用膠量的關系思考如下問題：（1）磁鋼面積與用膠量之間是否具有函數關系？用什么方法可以確定他們是什么函數關系？（2）在確定函數類型后，如何求出具體的函數解析式？第16頁，課件共30頁，創作于2023年2月解：以磁鋼面積x為橫坐標、用膠量y為縱坐標,建立直角坐標系.根據上表數據描點.01234567850100150200250300350400450500x/cm2y/gy/gy/g根據點的分布特點,用y=ax+b表示其關系第17頁，課件共30頁，創作于2023年2月取點(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b,得方程組:解得：a=0.01547,b=-0.06350這條直線是

y=0.01547x-0.06350注：取不同的點代入會得到不同直線，要注意檢驗是否符合實際問題。第18頁，課件共30頁，創作于2023年2月數據擬合:

通過一些數據尋求事物規律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖像，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數基本反映了事物規律，這種方法稱為數據擬合.第19頁，課件共30頁，創作于2023年2月實際數據畫出散點圖選擇函數模型求出函數模型檢驗用函數模型解答實際問題不合乎實際合乎實際【提升總結】數據擬合過程：第20頁，課件共30頁，創作于2023年2月某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據表提供的數據,能否建立一個恰當的函數模型,使它能近似地反映這個地區未成年男性體重y㎏與身高x㎝的函數關系?試寫出這個函數模型的關系式.【變式練習】第21頁，課件共30頁，創作于2023年2月解：以身高為橫坐標、體重為縱坐標,畫出散點圖根據圖的分布特點,設y=a·bx這一函數來近似刻畫其關系;y/kgx/cm第22頁，課件共30頁，創作于2023年2月取兩點(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx

得：用計算器得：a2,b1.02這樣就得到函數模型：y=21.02x.第23頁，課件共30頁，創作于2023年2月(2)若體重超過相同身高男性體重的平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個地區一名身高為175㎝,體重為78㎏的在校男生的體重是否正常?解析:

將x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用計算器得：y63.98由于7863.981.22>1.2,所以這個男生偏胖。第24頁，課件共30頁，創作于2023年2月1.一家旅社有100間相同的客房，經過一段時間的經營實踐,旅社經理發現，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關系：每間每天房價住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達到最高，每間定價應為（）A.20元B.18元C.16元D.14元C第25頁，課件共30頁，創作于2023年2月2.將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少20個，為了取得最大利潤，每個售價應定為()A.95元B.100元C.105元D.110元A第26頁，課件共30頁，創作于2023年2月3.某廠一月份的產值為15萬元，第一季度的總產值是95萬元，設月平均增長率為x，則可列方程為（）A.95=15（1+x）2B.15（1+x）3=95C.15（1+x）+15（1+x）2=95D.15+15（1+x）+15（1+x）2=95解析：二月份的產值為：15（1+x），三月份的產值為：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，故由第一季度總產值為95，得15+15（1+x）+15（1+x）2=95．D第27頁，課件共30頁，創作于2023年2月4.某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件