復變函數的積分第1頁，課件共56頁，創作于2023年2月對應于每段作乘積，其中是以及為端點的那小段弧上的任意一點再作出和式

圖3.1

令為所有小段的弧長的最大值，當分點無限增多而時如果不論對的分法及的取法如何，有唯一極限，那么稱函數在上可積，而稱這極限值為函數沿曲線的積分，記作

第2頁，課件共56頁，創作于2023年2月2．積分的性質由復變函數積分的定義，不難看出，這個積分具有曲線積分的一切基本性質，不待多述.特別，如果在曲線上連續，，而的長為，則

事實上，我們有兩端取極限，得這里表示連續函數（非負的）沿所取的曲線積分（第一型），因此便得不等式的第一部分.又因

第3頁，課件共56頁，創作于2023年2月所以，這是不等式的第二部分.

3．積分的存在條件與計算設按段光滑曲線由參數方程：給出.

若在上連續.則及在上都連續.

記，由于

第4頁，課件共56頁，創作于2023年2月根據線積分存在定理，上式取極限時，右端的實部與虛部兩個和式的極限都存在，因而有

因此，當是連續函數，而是光滑曲線時，積分是一定存在的.

根據線積分的計算方法，我們有上式右端可以寫成

所以

第5頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例1計算的值，其中為1）沿從到的線段：2）沿從到的線段：與從到的線段：所接成的折線.

解：1）2）

例2

計算，其中為以為中心，為半徑的正向圓周，為整數

解：的方程可寫作所以第6頁，課件共56頁，創作于2023年2月（a）上半圓周（b）下半圓周其中設表示平方根的主值.

例3沿從到的如下路徑求.圖3.2

解：（a）在積分路徑上，主值（b）在積分路徑上，的主值，第7頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例4

計算

是單位正方形的周線

圖3.3

解：因此第8頁，課件共56頁，創作于2023年2月§2柯西積分定理

1．柯西積分定理

以上的積分定義是對一般連續函數給出的，我們所最關心的當然不是一般連續函數的積分，而是解析函數的積分.下面的定理是解析函數理論中的基本定理，以后的許多結果都是建立在這個定理的基礎之上的.為簡單計，稱簡單光滑閉曲線為閉路.沿閉路的積分按逆時針方向取.

第9頁，課件共56頁，創作于2023年2月

定理3.2.1（Cauchy積分定理）如果函數在閉路上及由所圍成的單連域上是解析的，則證：這個定理本來不作進一步假設就可證明.但為節省時間起見，假設在所圍成的域內是連續的，這時可以利用Green公式但依C-R方程

故得第10頁，課件共56頁，創作于2023年2月其實Cauchy積分定理的條件還可以放寬一些，不必要求在上也解析.可以證明：只要函數在所圍成的區域上（包含邊界在內）連續而在區域的內部解析，仍然有定理3.2.2如果函數在單連域內處處解析，那么函數沿內的任何一條閉路的積分.第11頁，課件共56頁，創作于2023年2月2．不定積分

由柯西積分定理出發，還可以推出以下的定理：

定理3.2.3

設是單連域內的一個解析函數，而和是在內連接和的任意兩條按段光滑曲線，則

圖2.3

證：

本定理說明單連域上的解析函數的積分完全由它的上、下限決定，而與所沿路徑無關.

第12頁，課件共56頁，創作于2023年2月

若點固定而點在內變動，則積分

與所沿路徑無關，是的一個單值函數.關于有如下定理：

定理3.2.4

若函數在單連域內解析，則也在內解析，且

證：這里，第13頁，課件共56頁，創作于2023年2月圖2.4這兩個線積分是與路線無關的，因此：同理，于是得

由此可知，函數是內一個解析函數，而且

下面，再來討論解析函數積分的計算.首先，引入原函數的概念：如果函數的導數等于即那么稱為的原函數.因此，為的一個原函數.

第14頁，課件共56頁，創作于2023年2月利用原函數的這個關系，可以推得與牛頓-萊布尼茨公式類似的解析函數的積分計算公式：

定理3.2.5如果在單連域內處處解析，為的一個原函數，那么

這里，為域內的兩點.

證：也是的原函數，所以當時，根據柯西定理，得，因此第15頁，課件共56頁，創作于2023年2月例如，由于為的一個原函數，所以

例1

計算

從到的直線段，利用上定理較簡單

解1

第16頁，課件共56頁，創作于2023年2月

解2

3．復合閉路定理

為了把柯西積分定理推廣到多連域，先建立復合閉路：在的內部作閉路，使其把不屬于的部分包圍起來，且它們之間互不相交，互不包含.這樣以為邊界的區域全含于.取的方向為正向，的方向為負向，組成復合閉路第17頁，課件共56頁，創作于2023年2月

定理3.2.6

（復合閉路定理）設函數在以復合閉路為邊界的區域內解析，則

（1）

（2）

圖3.5

證：

如圖將區域分成兩個單連域以表其邊界，則有在相加時，輔助線上的積分兩次且方向相反，所以有第18頁，課件共56頁，創作于2023年2月特別地如果是由內、外兩條閉路、所圍成的環行域，而在內及其邊界上是解析的，則說明在區域內的一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值.這一重要事實，稱為閉路變形原理.

例如，當為以為中心的正向圓周時，.所以，根據閉路變形原理，對于包含的任何一條閉路都有第19頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例1

計算的值，為包含圓周在內的任何正向閉路.

解：設與是內的兩個互不包含也互不相交的正向圓周，而且對被積函數的兩個奇點與來說，只包圍原點，只包圍，那么圖3.6

第20頁，課件共56頁，創作于2023年2月§3柯西積分公式

1．柯西積分公式設是一個單連域，邊界是任意一條逐段光滑閉曲線(閉路)，又是閉區域上的一個解析函數.則函數在點不解析，所以積分一般不為零.又根據閉路變形原理，這積分的值，沿任何一圍繞的閉路都是相同的.因此，我們就取以為中心，半徑為的很小圓周上的函數值，它與在圓心的函數值相差很小，這使我們想到積分的值隨的縮小而逐漸接近于第21頁，課件共56頁，創作于2023年2月其實兩者是相等的，即

定理3.3.1（柯西積分公式）設函數在閉路上及其內部內是解析的，而是內的任意一點，則圖3.7

證：在內解析.在連續，由連續的定義，使當時，成立，在內以為中心，為半徑作圓：.則

第22頁，課件共56頁，創作于2023年2月由積分性質有因此，稱為柯西積分公式.

它反映了解析函數值之間很強的內在聯系，在內點的值可以由在邊界上的值通過積分來表示，它不但提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法，而且給出了解析函數的一個積分表達式

它也是研究解析函數的有力工具.

第23頁，課件共56頁，創作于2023年2月

如果是圓周，則

這就是說，一個解析函數在圓心的值等于它在圓周上的平均值，叫做平均值公式.

柯西積分公式擴充到復合閉路的情況：在前段中我們假定區域是單連的，不難證明，在前段中所建立的柯西公式可以擴充到多連域.現在就來考慮一個多連域，它的邊界是一條復合閉路，由有限條逐段光滑的閉曲線所組成.

假定是閉區域上的一個解析函數，我們來建立柯西積分公式

這里是區域的任一點，而積分是沿復合閉路的正方向取的.為了證明這個公式，我們環繞點取這樣小的一條閉路.第24頁，課件共56頁，創作于2023年2月圖3.8

使得在這條閉路上與它內部的一切點都在區域內，考慮復合閉路，這條復合閉路是在原來的閉路上添上取反方向的曲線構成的.用表示以為邊界的區域.于是很明顯，函數在閉區域上是解析的，因而根據柯西定理，有：

或即

于是

這里積分是沿閉路與的正方向取的.因為函數在閉路的內部與上的每一點都是解析的，所以根據前段中的結果，

第25頁，課件共56頁，創作于2023年2月即

思考題：若，則柯西積分公式之值為何？

例1

解：被積函數有兩個奇點和

奇點為

第26頁，課件共56頁，創作于2023年2月無奇點，故奇點奇點，，用復合閉路定理

課堂練習

1．第27頁，課件共56頁，創作于2023年2月2．中心為半徑為的圓周

3．

第28頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例2沿下列各點為中心，半徑為1的正向圓周求積分.（1）（2）（3）（4）

解：（1）設則因為在邊界上及其內部解析，所以第29頁，課件共56頁，創作于2023年2月（2），是的內部的點，因在邊界上及其內部解析，所以

（3），是的內部的點，在邊界上及其內部解析故

（4），在邊界上及其內部解析，故第30頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例3.

求積分

圖2.9

解：

第31頁，課件共56頁，創作于2023年2月2．解析函數的高階導數直到目前為止，我們說復變數的一個單值函數在一個區域內是解析的，是指它在這個區域的每一點都有有限導數.在實變函數的情形，從有限導函數的存在性推不出這個導函數的連續性，但是在復變函數的情形，卻有下面這個異常重要的定理成立：假如復變數的單值函數在區域內到處都有一級導數，那么它在這個區域內就有一切高階的導函數.

附注：很明顯，這個定理不僅肯定了區域內的解析函數的一切階的導函數的存在，而且也肯定了這些導函數的連續性.在上可微，但其導函數在點不連續，因此不可微.

但是實函數是不行的，例如第32頁，課件共56頁，創作于2023年2月

定理3.3.2如果函數在閉路上及其所圍成的單連域內是解析的，則在內任意一點，函數有任意階導數，且在內下列公式成立.證：情形，即要證根據定義從柯西積分公式得第33頁，課件共56頁，創作于2023年2月從而有讓趨向于零，如果在積分符號下取極限，從上式可以得到：

剩下來只要證明：在這里，這種形式地取極限的確是可以的，為此作差.設

第34頁，課件共56頁，創作于2023年2月則因為在上解析，所以在上連續，故有界，即存在一個正數，使得，在上成立.

設為從到曲線上各點的最短距離，并取適當小，使滿足圖2.10于是我們有注意此處

第35頁，課件共56頁，創作于2023年2月所以，，其中為長，若，則，從而得再利用上述同樣的方法，求便可得到這里我們已經證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數，依次類推，用數學歸納法可以證明第36頁，課件共56頁，創作于2023年2月公式指出，要得到函數的導函數，只要在積分號下對形式地求導就行了.

例1（柯西不等式）設在區域內解析，，為圓周，且及其內部全含于，則有其中

證：

故

第37頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例2求下列積分的值，其中為正向圓周.1）2）3）

解：1）函數

在內的處不解析.但在上及其內部卻是處處解析的.根據公式，有2）函數在內的處不解析，在內以為中心作一個正向圓周，以為中心作一個正向圓周那么函數在由，和所圍成的區域中是解析的.

第38頁，課件共56頁，創作于2023年2月根據復合閉路定理圖3.11同樣可得

第39頁，課件共56頁，創作于2023年2月所以3）被積函數在積分路線的內部有兩個奇點，故首先要應用復合閉路定理，然后再應用高階導數公式，在內作圓周，，則

圖3.12

第40頁，課件共56頁，創作于2023年2月而

所以第41頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例4在單位圓上及內部解析，證明

證：

例3在圓上及內部解析，證明

在內

證：右左第42頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例5設函數在復平面上處處解析，且有，為兩個任意相異復數，為證明：，并推出.

證：由柯西不等式，有當時，上式右端，故.

又由，從而得

第43頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例6設在區域內解析，為內的任意一條正向簡單閉曲線，證明：對在內但不在上的任意一點，等式成立.

證：若點在的外部，左、右兩端全為0，等式顯然成立.另一方面，由高階導數公式

否則由柯西積分公式第44頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例7在區域內解析，，證明若是一個充分小的，以為心的圓，那么

證：設，，那么第45頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例8若在單位圓內解析，且則

證：取為圓，由假設知在上及其內解析，故于是得第46頁，課件共56頁，創作于2023年2月

例9設函數在上解析，且，計算積分

解：原式

例10設，求

解：設則第47頁，課件共56頁，創作于2023年2月例11.設，求，.解：由柯西積分公式這樣，

故，

第48頁，課件共56頁，創作于2023年2月§3.4解析函數與調和函數

如果二元實函數在區域內有二階連續偏導數，且滿足二維拉普拉斯（Laplace）方程

則稱為區域內的調和函數，或說在內調和.

由定理3.3.2可知解析函數的實部和虛部有任意階偏導數.在C-R方程中兩端分別對與求偏導數，得第49頁，課件共56頁，創作于2023年2月