廣東省深圳市龍崗職業技術學校2022-2023學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是公差不為0的等差數列的前項和，且成等比數列，則等于A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C因為成等比數列，所以，即，即，所以，選C.2.在這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的共有（）A．36個

B．24個

C．18個

D．6個參考答案：B略3.某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長的一條側棱長度是（）A． B． C．5 D．參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題．【分析】由三視圖可知幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，通過三視圖的數據，求出最長的側棱長度即可．【解答】解：由題意可知幾何體是底面為直角梯形，直角邊長為：4，2，高為3的梯形，棱錐的高為2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角頂點，所以側棱最長為，底面梯形下底邊銳角頂點與棱錐頂點連線，所以長度為：=．故選D．【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，判斷出側棱的最長棱是解題的關鍵，考查計算能力．4.設函數.若從區間內隨機選取一個實數,則所選取的實數滿足的概率為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C5.△ABC中,a=1，b=，A=30°，則B等于(

)A．60°

B．60°或120°C．30°或150°

D．120°參考答案：B6.已知，且，現給出如下結論：①；②；③；④.其中正確結論個數為（

）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：D試題分析：因為，所以令得：且當或時，；當時，所以函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是，在處取得極大值，在處取得極小值；由題設知方程有三個根，所以必有，即，所以③正確；同時，因為，所以，所以①②都正確；另外，由，可設又，所以，所以，④正確；綜上，答案應選D.7.下列各對向量中，共線的是（

）A.a=（2,3），b=（3，-2）

B.a=（2,3）,b=（4，-6）C.a=（，-1），b=（1，)

D.a=(1,),b=(,2)參考答案：D略8.復數

（

）

B.

C.

D.參考答案：C略9.定義在上的函數滿足，為的導函數，已知的圖像如圖所示，若兩個正數、滿足，則的取值范圍是

(

)

參考答案：10.已知M,N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若則A.M

B.N

C.I

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓，過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，若為銳角，則的取值范圍是______．參考答案：試題分析：由于圓心到直線的距離,當時,,所以,即,注意到,故,即.考點：圓與直線的位置關系及運用．12.若連續擲兩此骰子，第一次擲得的點數為m，第二次擲得的點數為你n，則點（m,n）落在圓內的概率是_________.參考答案：2/9略13.若拋物線y=2px2（p＞0）的準線經過雙曲線y2﹣x2=1的一個焦點，則p=．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標，對于拋物線y=2px2，先將其方程變形為標準方程x2=y，用p表示其準線方程，結合題意可得﹣=﹣，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為：y2﹣x2=1，則其焦點在y軸上，且c==，則其焦點坐標為（0，±），拋物線y=2px2的標準方程為：x2=y，若p＞0，則其焦點在y軸正半軸上，則其準線方程為y=﹣，又由拋物線y=2px2（p＞0）的準線經過雙曲線y2﹣x2=1的一個焦點，則有﹣=﹣，解可得p=；故答案為：．14.（5分）如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是

▲

．參考答案：?！究键c】向量的計算，矩形的性質，三角形外角性質，和的余弦公式，銳角三角函數定義。由，得，由矩形的性質，得。

∵，∴，∴?！?。

記之間的夾角為，則。

又∵點E為BC的中點，∴。

∴。

本題也可建立以為坐標軸的直角坐標系，求出各點坐標后求解。15.某校有足球、籃球、排球三個興趣小組，共有成員120人，其中足球、籃球、排球的成員分別有40人、60人、20人．現用分層抽樣的方法從這三個興趣小組中抽取24人來調查活動開展情況，則在足球興趣小組中應抽取

人．參考答案：8試題分析：在足球興趣小組中應抽取考點：分層抽樣16.函數的單調增區間是______.參考答案：(1,+∞)【分析】求得函數的定義域為，令，利用二次函數的性質，求得函數的單調區間，結合據復合函數的單調性的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數滿足，解得或，即函數的定義域為，令，則函數在單調遞減，在區間單調遞增，再根據復合函數的單調性，可得函數的單調遞增區間為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了復合函數的單調區間的求解，其中解答中熟記對數函數的圖象與性質，以及復合函數的單調性的判定方法，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.17.已知定義在R上的函數是奇函數且滿足，，數列滿足,且(其中為的前項和),則__▲.參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（09年揚州中學2月月考）（10分）（矩陣與變換）設是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應的特征向量；（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．參考答案：解析：（Ⅰ）由條件得矩陣，它的特征值為和，對應的特征向量為及；（Ⅱ），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．19.已知關于x的不等式的解集不是空集.（I）求參數m的取值范圍的集合M；（II）設a,bM,求證：a+b<ab+1.參考答案：（Ⅰ）設函數，則，畫出其圖象，可知，要使不等式的解集不是空集，需且只需∴的取值范圍的集合；

…5分（Ⅱ）∵，∴∵∵，∴，∴.

…10分20.已知函數．（1）求函數f（x）的定義域；（2）若當x∈[0，1]時，不等式f（x）≥1恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】3R：函數恒成立問題；33：函數的定義域及其求法．【分析】（1）由根式內部的代數式大于等于0，求解絕對值的不等式，進一步分類求解含參數的不等式得答案；（2）把不等式f（x）≥1恒成立轉化為|ax﹣2|≤3，記g（x）=|ax﹣2|，可得，求解不等式組得答案．【解答】解：（1）要使原函數有意義，則|ax﹣2|≤4，即﹣4≤ax﹣2≤4，得﹣2≤ax≤6，當a＞0時，解得，函數f（x）的定義域為；當a＜0時，解得，函數f（x）的定義域為．（2）f（x）≥1?|ax﹣2|≤3，記g（x）=|ax﹣2|，∵x∈[0，1]，∴需且只需，即，解得﹣1≤a≤5，又a≠0，∴﹣1≤a≤5，且a≠0．21.已知在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比到定直線的距離少，（1）求動點的軌跡的方程；（2）過軸正半軸一動點任意做一直線交拋物線與兩點，交直線與點，試證明：參考答案：聯立方程得，代入上式得，所以22.已知函數f（x）=eax+b在（0，f（0））處的切線為y=x+1．（1）若對任意x∈R，有f（x）≥kx成立，求實數k的取值范圍．（2）證明：對任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）通過討論k的范圍，結合函數的單調性求出k的具體范圍即可；（2）法一：構造函數h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2），根據函數的單調性證明即可；法二：問題轉化為證ex＞2+lnx，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，h′（x）=ex﹣=（x＞0），根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（1）由f′（x）=eax得k=f′（0）=a=1，由切點（0，f（0））在切線y=x+1上，得f（0）=1，所以切點為（0，1），由點（0，1）在f（x）=eax+b上，得b=0，所以f（x）=ex…當k＜0時，對于x∈R，ex≥kx顯然不恒成立當k=0時，ex≥kx顯然成立…當k＞0時，若要ex﹣kx≥0恒成立，必有（ex﹣kx）min≥0設t（x）=ex﹣kx，則t′（x）=ex﹣k易知t（x）在（﹣∞，lnk）上單調遞減，在（lnk，+∞）上單調遞增，則t（x）min=k（1﹣lnk）若ex﹣kx≥0恒成立，即t（x）min=k（1﹣lnk）≥0，得0＜k≤e綜上得0≤k≤e…（2）證法1：由（1）知ex≥ex成立，構造函數h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2）h′（x）=e﹣=所以（t≤2）有ex≥lnx+t成立（當時取等號）．由（1）知ex≥ex成立（當x=1時取等號），所以有ex＞t+lnx成立，即對任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…證法2，因為t≤2，所以要證ex＞t+lnx，只須證ex＞2+lnx