第1章函數

1.1函數概念

1.1.1函數的定義

同學們從入小學到高中畢業一直要學習數學，在這一階段所面對的數學對象的特點是：

所討論的量在研究問題的過程中保持不變.只是從未知到已知.例如解方程或方程組,求得的

解都是固定不變的.又如討論三角形，它的邊長也是固定不變的量.這些量叫做常量.

常量一一只取固定值的量

這門課程中討論的量在研究問題的過程中不是保持不變的.如圓的面積與半徑的關系：

S=Jir2

考慮半徑r可以變化的過程.面積和半徑叫做變量.

變量一一可取不同值的量

變域一一變量的取值范圍

我們考慮問題的過程中，不僅是一個變量,也許有幾個變量.比如兩個變量,要研究的是

兩個變量之間有什么關系，什么性質.函數就是變量之間擬定的相應關系.比如股市中的股指

曲線，就是時間與股票指數之間的相應關系.又如銀行中的利率表

存期半年—?年二年三年五年

年利率5.407.477.928.289.00

(%)

它反映的是存款存期與存款利率之間的相應關系.

這幾個例子反映的都是兩個變量之間的擬定的相應關系.函數的定義是：

定義1.1設x,y是兩個變量,x的變域為4假如存在一個相應規則f,使得對〃

內的每一個值x都有唯一的y值與*相應,則

這個相應規則f稱為定義在集合。上的一個函數，并將由相應規則f所擬定的x與y之間

的相應關系,記為：丁=/(幻，稱x為自變量,y為因變量或函數值,〃為定義域.

集合｛"y=/。)，》€。｝稱為函數的值域.

我們要研究的是如何發現和擬定變量之間的相應關系.

1

例1求函數y=—1的定義域.

解：>=■^7^7,求函數的定義域就是使表達式故意義的心由對數函數的性質得到

bi(x-l)

x—l>0,即x>l.由分式的性質得到ln(x-l)￥O,即x—lHl,即x/2.綜合起來

得出所求函數的定義域為。=(1,2)U(2,+8).

例2設國際航空信件的郵資戶與重量機的關系是

[4,0<m<10

F(m)="

4+0.3(/77-10),10</n<200

求尸(3),尸⑻，尸(20).

4,0<m<10

解：F(m)=<

[4+0.3(/n-10),10<m<200

加用3替代，由第一個關系式表達,得到尸(3)=4,同樣可以得到尸(8)=4.用20

替代，由第二個關系式表達，得到F(20)=7

1.1.2有關函數的幾點解釋

1.函數的表達法

如何表達函數關系是需要我們不斷研究和發現的.常用的方法有三種：一種是用一個數

學公式來表達，叫做解析法;一種是用坐標系中的曲線反映兩個變量之間的函數關系，叫做圖

示法；尚有一種方法是用一個表格反映兩個變量之間的函數關系，叫做表格法.一般經常使用

的就是這三種方法.

2.函數的記號

在考慮一個問題的過程中，f表達一個擬定的相應關系，在之后考慮這個問題的過程中,

f自始至終表達同樣的相應關系.比如/(幻=/+3X-5,它反映的就是這樣一種相應關

系：/()=()2+3x()-5,等式左端的函數括號中帶入一個量，表達要對其進行等

式右端的運算.如：/(1)=12+3x1—5=-1,又如：

/(/)=(》2)2+3x(/)-5=/+3/-5

無論左端帶入什么，都對它進行同樣的運算.

1.1.3函數的基本性質

下面把在中學里大家己經知道的函數的基本屬性復習一下，也就是：函數的單調性、奇

偶性、有界性、周期性.

當一個變量增長時另一個變量也跟著增長，這樣的函數就叫做單調增長的函數.從圖形

上看這條曲線，曲線上的點x在增長的時候，它所相應的縱坐標y也在增長，這樣的函數是

單調增長的.單調減少是相反的，隨著x的增長相相應的y在減少，這樣的函數是單調減

少的,正如圖形中演示的這樣.假如函數當x在增長的時候,它所相應的y不是增長,也不是

減少，這樣的函數就不具有單調性.

例1判斷函數fix)=/當x>0時的單調性.

分析:可以運用單調性的定義,證明對任意的無>檢有f(小)>『(就.

解:當x>0時，對任意的x2>0,有X；>工；

(當汨>X2〉0時，在不等式X1>X2兩端同乘以小或X2,顯然有

2

%,>xtx2,xtx2>x；,由不等式的傳遞性就得到x；>X；.)

由定義可知f(x)=*當x>0時是單調增長的.

一個函數的圖形假如關于y軸對稱，這樣的函數就稱為偶函數.從圖形上來分析，曲線

上任一點關于y軸的對稱點也在曲線上面,這條曲線所描繪的函數就是偶函數.從解析式上

看,假如有f(-x)=F(x),f(x)就叫做偶函數.

一個函數的圖形假如關于原點對稱，這樣的函數就稱為奇函數.曲線上任一點關于原點

的對稱點也在曲線上面，這條曲線所描繪的函數就是奇函數.從解析式上看，假如有f(-%)

=-fCx),Ax)就叫做奇函數.

例2判斷下列函數的奇偶性：

(1)y=x3-1(2)y=xcosx

解：(1)取x—l,—I,f(1)=0,f(-1)——2,顯然f(1)#-f(-1),

由此可知了=/-1不是奇函數.又顯然f(1)手f(-1)，由此可知y=f-l不是偶函

數.

(2)由于y=x是奇函數，y=cosx是偶函數，而奇函數和偶函數的乘積是奇函數.

所以y=xsinx是奇函數

假如自變量在定義域中變化時，函數值始終在一個有限的區間內變化,如圖形中演示的，

無論如何變化，都有-MWf{x}WM,這條曲線所反映的函數就是有界函數.

假如存在一個正數7；對任意的自變量方有式x+T)=/U),這樣的函數就叫做周

期函數.從圖形上反映，這個函數在相隔為T的任意兩點上函數值都是同樣的.也可以這

樣來看，從任意一點出發，以長度T為間隔劃分區間，在每個區間上的函數圖形都是可以完

全重合的.

1.2幾類基本初等函數

我們在中學的學習中已經結識了一些函數，這些函數是非?；镜?，有這樣幾類：

1.常數函數：y=c.這個函數在它的定義域中的取值始終是一個常數，它在直角坐標系

中的圖形就是一條水平線.

2.幕函數:y=x",(aw").以x為底，指數是一個常數.

當。=1時就是y=x,它的圖形是過原點且平分一、三象限的直

線；當。=2時就是y=它的圖形是過原點且開口向上的拋物

線;當。=3時就是y=X3,它的圖形是過原點的立方曲線.

3.指數函數：y=a',(a>0,a#1).底數是常數，指數是變量.例如y=ey=2

x,y-(-)所有指數函數的圖形都過(0,1)點，當a>1時，函數單調增長，當a

2

<1時，函數單調減少.

4.對數函數：y=log&x,(a>0,a#l).以a為底的x的對

數.例如y=lnx,y=log2x,y」°g?”.所有對數函數的圖形都過(1,0)點，當

2

a>l時，函數單調增長；當a<1時，函數單調減少.

5.三角函數:

正弦函數：y-sinx.余弦函數:y—cosx.

例1判斷下列函數中，哪些不是基本初等函數：

(1)y=;(2)y=(g)';(3)片lg(—x)；

(4)y—3^；(5)y—2x\(6)y-e2v.

分析:依據基本初等函數的表達式來判斷.

解：直接觀測可知⑵與⑷中的函數是基本初等函數，而由y=*=尸e2l=(e2)*

可知(1)與(6)中的函數是基本初等函數.(3)與(5)中的函數不是基本初等函數

1.3函數的運算

函數的運算當然有加、減、乘、除運算，這些就不需要講了.在這里我們重要將函數的

復合運算.所謂復合運算，就是指假如y是u的函數，〃是x的函數，y通過”作為中間媒介

就成為x的函數，這就是函數的復合運算.如下面這個例子表達的：

y=InwM=sinxy=lnsinx

這里y是〃的函數，〃是x的函數,y通過“作為中間媒介就成為x的函數，這就是函

數的復合運算.下面把這個復合的環節以及它們的變域聯系起來仔細地介紹一下：

y是〃的函數，這個函數用f來表達.〃是x的函數，這個函數用。來表達.。的值

域正好落在函數f的定義域里，通過"作為媒介y就成為x的函數，這個復合函數的定義域

是這樣一個(紅色)區域，它的值域就縮小成為這樣一個(綠色)區域了.這是為什么呢？由

于X在它的定義域內變化時，U僅在這樣一個(黃色)區域取到值，相應的y的取值范圍就

縮小成為這樣一個(綠色)區域.復合函數的記號就記為y=f(0(x)).這種運算就叫

做函數的復合運算.這樣我們把函數分一下類：

由基本初等函數通過有限次加、減、乘、除或復合而得到的函數稱為初等函數.

這樣的分類把函數提成了初等函數和非初等函數.我們在前面所見到的分段函數就是非

初等函數的例子.

例1已知函數y-f(x)的定義域為[0,1],求函數y—f(e1)的定義域.

分析：要使函數〃=e'的值域包含于函數y=f(x)的定義域中，由這個約束條件重新擬

定x的取值范圍.

解:設u=e；它的值域要包含于y=f(x)的定義域中，即0

由此得一8W0,由此可知復合函數y=f(e")的定義域是(-8,o].

(附：已知函數In力是單調增長的，顯然有啊M，<he*Mini,由此得-8<*W0)

/->0

例2將下列初等函數分解為基本初等函數的四則運算或復

合運算：(1)y=e"n"+2)2(2)y=2vlncos2x

分析：由定義知初等函數是基本初等函數經有限次的四則運算和復合運算得到的.具體解決

的環節是:先看函數表達式有無四則運算，如有,則對每一個運算項進行分析,看其是否為復

合函數,如是,則選擇適當的中間變量將其化為基本初等函數.依此環節反復進行.

解：(1)y=e",〃=skiu,v=w2,w=x+2

其中y,u,/分別作為中間變量〃，匕”的函數都是基本初等函數.而，/是基函數x與

常數函數2的和.

(2)y=21n“，u=v2,v=cosx

其中y是指數函數2'與對數數函Inu的乘積.而中間變量u,「分別作為v,x的

函數都是基本初等函數.

1.5經濟分析中常見的函數

1.5.1需求函數與供應函數

這一節課的內容是要把學習數學和將來搞經濟工作聯系起來，我們把經濟分析中最最

常見的5種函數介紹給大家(這節課只介紹前兩個).同時我們希望通過這一節的學習可以

使大家感受到數學工具在經濟分析中的應用.一方面我們介紹需求函數和供應函數.

大家可以想象到一個商品在市場上的需求肯定是與它的價格有關系,價格貴,需求量就

少，價格便宜,買的人就多.需求和價格之間是有關系的，它們是不是函數關系呢?我們可以

把它簡化為一種函數關系.我們先不考慮其它因素,簡樸地認為價格定了需求量就隨之擬定，

這樣需求量就是價格的函數.

供應，就是廠方可認為市場提供多少產品，當然它也是和價格有關系的，產品價格高，

廠方就增長生產,反之供應量就減少.我們也可以把它簡化為一種函數關系.需求量與價格之

間的函數就稱為需求函數，供應量與價格之間的函數就稱為供應函數.

現在我們討論一種最簡樸的情況，認為需求函數和供應函數都是線性函數(一次函數)，

在這種關系下通過討論看可以得到什么性質.

qd=ap+b(a>O,b<0)

qd表達需求量，P表達價格，a,b表達常數.

qs=aip+bt(a]<0,bt>0)

qs表達需求量，P表達價格，叫,仿表達常數.

我們容易理解需求量應隨價格的增長而減少,所以a<0,當然〃>0.而

供應量應隨著價格的增長而增長，所以q〉0,4<0,由于當價格為零時，不會有供應量.

P

我們把這兩條曲線放在同一個坐標系中，就會發現有這樣的關系,兩條直線交于一點，

這一點的含義是，在價格為時,產品的需求量與供應量是相同的，即供需達成了平衡.這

一點稱為供需平衡點.價格超過Po時，供過于求；價格低于Po時，供不應求.在經濟分析

中，供需平衡點所相應的價格，稱為市場均衡價格;它所相應的需求量或供應量稱為市場均

衡數量.

例1某種商品的供應函數和需求函數分別為：/=25〃—1(),=200—5p,

求該商品的市場均衡價格和市場均衡數量.

解：由市場均衡條件：④=4,,得到：25/?-10=200-5,解出：Po=7,%=165

1.5.2成本函數

我們再介紹經濟分析中常見的三種函數:第一種叫做成本函數，第二種叫做收入函數，第

三種叫做利潤函數.我們先介紹成本函數.

一種產品的成本可以分為兩部分：固定成本%比如，生產過程中的設備投資，或使用的

工具,不管生產產品與否,這些費用都是要有的，它是不隨產量而變化的，這種成本稱為固定

成本.變動成本G,比如每一件產品的原材料,這些費用依賴于產品的數量,這種成本稱為

變動成本.

總成本就是固定成本加上變動成本：C=G+G

成本應與產品的產量有關，這種函數表達為

C(q)=&+G(<?)

這就是成本函數.其中總成本C(q)是產量0的函數，以與產量無關,變動成本G(g)也

是產量。的函數.

我們在引入平均成本的概念3=9?,總成本除以產量°,就是產量為q時的平均成

q

本，用「來表達.

例1生產某商品的總成本是C(q)=500+2以求生產50件商品時的總成本和平均成本.

解:成本C(q)=500+2q

、C(g)500+2q5004

平均成本C(q)=-^=-------=——+2

qqq

C(50)=500+2x50=600,3(50)=煞+2=12

1.5.3收入函數

下面我們來講收入函數.一種產品銷售之后就會有銷售收入，銷售收入應當是價格乘以

產量.但價格與產量之間也有一