第六章離散系統(tǒng)的z域分析離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)也可以采用變換域的方法進(jìn)行分析離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的變換域分析方法主要有傅里葉變換和z變換兩種(離散時(shí)間信號(hào)不能進(jìn)行拉普拉斯變換〕離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換問(wèn)題將在數(shù)字信號(hào)處理課程中介紹，本章討論離散時(shí)間系統(tǒng)的z變換分析§6.1z變換z變換的導(dǎo)出z變換的定義z變換的收斂域常用離散信號(hào)的z變換一.z變換的導(dǎo)出抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換→離散信號(hào)的z變換對(duì)取拉氏變換二.z變換的定義對(duì)z變換式的直觀理解三.z變換的收斂域收斂的所有z值之集合為收斂域〔ROC〕。對(duì)于任意給定的序列f(k)，能使冪級(jí)數(shù)

注意：不同的f(k)可能具有相同的z變換表達(dá)式，只是其收斂域不同。因此給出一個(gè)z變換時(shí)，必須同時(shí)指明收斂域，該z變換才與某個(gè)時(shí)域序列唯一對(duì)應(yīng)。收斂域有限長(zhǎng)序列的收斂域所以，收斂域?yàn)榈膠平面。例6-1-1ROC：因果序列的收斂域例6-1-2假設(shè)該序列收斂，那么要求即收斂域?yàn)椋篟OC:反因果序列的收斂域例6-1-3收斂域?yàn)椋?2k說(shuō)明雙邊序列的收斂域例6-1-4ROC:總結(jié)f(k)的收斂域〔ROC〕為z平面以原點(diǎn)為圓心的圓環(huán)區(qū)域有限長(zhǎng)序列的ROC為整個(gè)z平面〔可能除去z=0和z=〕右邊序列的ROC為的圓外左邊序列的ROC為的圓內(nèi)

雙邊序列的ROC為的圓環(huán)〔假設(shè)z變換存在〕四.常用離散信號(hào)的z變換單位樣本序列單位階躍序列右邊〔因果〕指數(shù)序列左邊〔反因果〕指數(shù)序列§6.2z變換的性質(zhì)線性 移位特性z域尺度變換 時(shí)域卷積定理z域微分 z域積分k域反轉(zhuǎn) 局部和初值定理和終值定理一．線性ROC：一般情況下，取二者的重疊局部如果線性組合是兩個(gè)序列相減，那么收斂域可能擴(kuò)大例6-2-1

解：并且同理可得例6-2-2收斂域擴(kuò)大為整個(gè)z平面。原序列不變，只改變?cè)跁r(shí)間軸上的位置。雙邊z變換的位移性質(zhì)二．移位〔時(shí)移〕特性說(shuō)明單邊z變換的位移性質(zhì)假設(shè)f(k)為雙邊序列，其單邊z變換為左移位性質(zhì)右移位性質(zhì)與右移位序列的雙邊z變換形式相同例6-2-3

解:方程兩邊取z變換帶入邊界條件整理為三．z域尺度變換證明：同理例6-2-4，教材例6.2-6解：同理：

四．時(shí)域卷積定理ROC：至少為二者的重疊局部，即描述：兩序列在時(shí)域中的卷積的z變換等效于在z域中兩序列z變換的乘積。注意：如果在某些線性組合中產(chǎn)生零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，那么收斂域可能擴(kuò)大〔根據(jù)卷積結(jié)果分析ROC〕證明時(shí)域卷積定理例6-2-5解：五．序列乘k〔z域微分〕共求導(dǎo)m次例6-2-6

解：六．序列除k+m〔z域積分〕證明：七.k域反轉(zhuǎn)證明：例6-2-7，教材例6.2-11

八.局部和證明：例如：九．初值定理和終值定理〔適用于右邊序列〕初值定理

證明初值定理例6-2-8解：另外，用長(zhǎng)除法也可以求因果序列的初始值，即終值定理

無(wú)無(wú)有，1有，0例題1，-1，1，-1，1§6.3逆z變換冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法局部分式展開(kāi)法圍線積分法——留數(shù)法〔自學(xué)〕一．冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法〔長(zhǎng)除法〕對(duì)于有理函數(shù)形式的z變換式：直接用長(zhǎng)除法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法右邊〔因果〕序列的逆z變換左邊〔反因果〕序列的逆z變換例6-3-1例6-3-2雙邊序列的逆z變換故通常只需分別考察右邊〔因果〕和左邊〔反因果〕序列的逆z變換二．局部分式展開(kāi)法z變換式的一般形式

局部分式法求逆z變換的步驟便于局部分式展開(kāi)以及求局部分式的逆變換F(z)的極點(diǎn)為互不相等的實(shí)數(shù)這里指ROC是在極點(diǎn)圓外還是極點(diǎn)圓內(nèi)例6-3-3同理：K2＝2

右右右左左左F(z)有共軛單極點(diǎn)F(z)有r重極點(diǎn)例6-3-4三．圍線積分法求z逆變換(略〕§6.4離散LTI系統(tǒng)的z域分析用z變換求解差分方程系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的z域框圖s域與z域的關(guān)系一．用z變換求解差分方程用z變換求解差分方程的一般步驟(1)對(duì)差分方程進(jìn)行單邊z變換；(2)由z變換方程求出響應(yīng)Y(z)；(3)求Y(z)的逆變換，得到y(tǒng)(k)〔右邊序列〕。離散LTI系統(tǒng)差分方程的單邊z變換z域的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域全響應(yīng)例6-4-1解：方程兩端取z變換零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)或小結(jié)二．系統(tǒng)函數(shù)教材例6.4-8三．系統(tǒng)的z域框圖某LTI系統(tǒng)的k域框圖如圖(a)所示，輸入。〔1〕求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)?！?〕假設(shè)y(-1)=0，y(-2)=1/2，求零輸入響應(yīng)。教材例6.4-7四．