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文檔簡介
關于結構動力計算第1頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三§12-1概述§12-2運動方程的建立§12-3單自由度體系的自由振動§12-4阻尼對自由振動的影響§12-5簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體系的受迫振動§12-6多自由度體系的自振頻率和振型計算第十二章結構動力計算第2頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三一、動荷載及其分類
動荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間變化的荷載。由于荷載隨時間變化較快,所產生的慣性力不容忽視。因此,考慮慣性力的影響是結構動力學的最主要特征。
靜荷載只與作用位置有關,而動荷載是坐標和時間的函數。
§12-1概述第3頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三動荷載按其隨時間的變化規律進行分類:第4頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三二、結構動力計算的目的
研究結構在動荷載作用下的反應規律,找出動荷載作用下結構的最大動內力和最大動位移,為結構的動力可靠性設計提供依據。
三、動力反應的特點在動荷載作用下,結構的動力反應(動內力、動位移等)都隨時間變化,它除了與動荷載的變化規律有關外,還與結構的固有特性(自振頻率、振型和阻尼)有關。不同的結構,如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型,則在相同的荷載下具有相同的反應。可見,結構的固有特性能確定動荷載下的反應,故稱之為結構的動力特性。第5頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三強迫振動:結構在動荷載作用下產生的振動。研究強迫振動,可得到結構的動力反應。
四、自由振動和強迫振動自由振動:結構在沒有動荷載作用時,由初速度、初位移所引起的振動。研究結構的自由振動,可得到結構的自振頻率、振型和阻尼參數。結構在強迫振動時各截面的最大內力、位移都與結構的自由振動的頻率密切有關。第6頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三確定體系運動過程中任一時刻全部質點位置所需的獨立幾何參數數目,稱為體系的自由度。根據自由度的數目,結構可分為單自由度體系,多自由度體系和無限自由度體系。五、動力分析中的自由度1.自由度的定義將連續分布的結構質量按一定的力學原則集中到若干幾何點上,使結構只在這些點上有質量。從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。2.實際結構自由度的簡化方法為分析計算方便,往往將具有無限自由度體系的實際結構簡化為有限自由度。常用的簡化方法有:(1)集中質量法第7頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三不計軸向變形:W=1平面:計軸向變形:W=2第8頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三3.確定體系振動自由度的方法4個自由度2個自由度方法一:可以運用附加鏈桿法,使質量不發生線位移所施加的附加鏈桿數即為體系的計算自由度。方法二:當忽略桿件的軸向變形時,可以運用幾何構造分析中的鉸接鏈桿法——將所有質點和剛結點變為鉸結點后,使鉸接鏈桿體系成為幾何不變體系所需要增加的鏈桿數即為自由度數。第9頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三不計軸向變形:W=1W=2第10頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三W=3W=1θ第11頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三結論:①結構自由度數目與質點的個數無關②結構自由度數目與超靜定次數無關考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自由度數是多少?思考:第12頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三描述體系振動時質點動位移的數學表達式,稱為動力體系的運動方程(亦稱振動方程)。單自由度體系的動力分析能反映出振動的基本特性,是多個自由度體系分析的基礎。本章只介紹微幅振動(線性振動)。根據達朗貝爾原理建立運動方程的方法稱為動靜法(或慣性力法)。具體作法有兩種:剛度法和柔度法。§12-2運動方程的建立第13頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三剛度法:將力寫成位移的函數,按平衡條件列出外力(包括假想作用在質量上的慣性力和阻尼力)與結構抗力(彈性恢復力)的動力平衡方程(剛度方程),類似于位移法。柔度法:將位移寫成力的函數,按位移協調條件列出位移方程(柔度方程),類似于力法。第14頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三質量m所產生的水平位移,可視為由動力荷載P(t)和慣性力共同作用在懸臂梁頂端所產生的。根據疊加原理,得一、按位移協調條件建立運動方程――柔度法第15頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三δ11——柔度系數。表示在質量的運動方向施加單位力時,在該運動方向所產生的靜力位移。式(B)可改寫為:第16頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三1、單自由度體系的振動模型二、按平衡條件建立運動方程剛度法(1)動力荷載:(2)彈性恢復力:(3)慣性力:2、取質量m為隔離體,其上作用有:第17頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三3、建立運動方程根據達朗貝爾原理,由∑X=0,得代入,即得K11——剛度系數。表示在質量的運動方向產生單位位移所需施加的力。剛度系數與柔度系數互為倒數:第18頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例1:試用剛度法建立圖示剛架受動力荷載P(t)作用的運動方程。解:1)確定自由度(建模):結構的質量m分布于剛性橫梁,只能產生水平位移,屬單自由度體系。2)確定位移參數:設剛梁在任一時刻的位移為y(t),向右為正。第19頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三3)繪隔離體受力圖:取出隔離體。圖中給出了慣性力、彈性恢復力。各力均設沿坐標正向為正。4)列運動方程:按動靜法列動力平衡方程,可得第20頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三式中:代入整理,可得運動方程:式中,剛度系數k又稱為樓層剛度,系指上下樓面發生單位相對位移(?=1)時,樓層中各柱剪力之和,如圖所示)。第21頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例3:試用柔度法建立圖示靜定剛架受動力荷載作用的運動方程。解:本題為單自由度體系的振動。取質量m水平方向的位移y為坐標。運動方程為:第22頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三繪出、圖如圖所示。由圖乘法得得運動方程圖圖第23頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三也可寫作為等效動力荷載第24頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三四、建立運動方程小結1)判斷動力自由度數目,標出質量未知位移正向。2)沿所設位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復力,并冠以負號。3)根據是求柔度系數方便還是求剛度系數方便,確定是寫柔度方程還是寫剛度方程。4)剛度方程幾種寫法的選擇:①當結構給質體的反力亦即彈性恢復力FS容易求時,宜以質體為隔離體建立方程(方法二);否則以結構為對象列方程(方法一)。②當用上述方法一和方法二有困難時,則宜用添加附加約束的方法列方程(方法三)。第25頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三1、剛度法:質點在慣性力與彈簧的恢復力作用下將處于一種虛擬平衡。一、運動方程:體系在沒有外部動力荷載作用,而由初始位移y0和初始速度u0
引起的振動,叫做自由振動§12-3單自由度體系的自由振動(不計阻尼)第26頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三2、柔度法:當質點振動時,把慣性力看作是一個靜力荷載,則質點在其作用下結構在質點處的位移y(t)應等于:第27頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三二、運動方程的解:初始條件定積分常數當t=0時則運動方程為:設初始時刻有初位移y0和初速度v0第28頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三三、自由振動解的分析1.質點的運動規律—簡諧振動,質點作直線往復運動。Tyt0-AA質點離平衡位置的位移隨時間t變化的函數圖
振幅:初相位:第29頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三初相角a:標志著t=0時的位置。頻率f:每1秒間振動次數,圓頻率(簡稱頻率)ω:表示2π秒內的振動次數。振幅A:振動過程中的質點的最大的位移。周期T:Tyt0-AA第30頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三2.自由振動中速度的改變規律最大速度等于振幅A與頻率w的乘積。最大加速度等于振幅A與頻率w平方的乘積3.自振中加速度和慣性力的變化規律:慣性力幅值等于質量、振幅與頻率平方的乘積第31頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三由于阻尼的作用,自振在幾秒乃至百分之幾秒內消失。但阻尼對自振頻率的影響很小。4.自振的衰減四、求自振頻率的方法:
1.用于柔度系數好求的體系。
2.用于剛度系數好求的體系。用于單質點的單自由度體系第32頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三3.能量法求自振頻率。(用于多質點的單自由度體系、復雜體系)4.幅值方程求自振頻率。兩者按同一規律改變。由式(12-32):第33頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三在達到振幅時,慣性力Z(t)達到其幅值,慣性力與位移方向一致,位移A是慣性力幅值產生的。故:由柔度方程:由剛度方程:幅值方程求自振頻率第34頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例12-8:圖示鋼制懸臂梁,梁端部有一個質量為123kg的電機。已知梁跨為1m,彈性模量:,截面慣性矩I=78cm4。不計梁的自重,求自振頻率和周期。第35頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三解:圖示體系為單質點的單自由度體系1)畫單位力作用下的單位彎矩圖。2)圖乘法計算柔度系數。3)求自振頻率lP=1第36頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例12-9圖示排架的橫梁為剛性桿,質量為m,柱質量不計,求其自振頻率。解:第37頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三
不考慮軸向變形,故為一單自由度體系。作圖,求出剛度系數:
自振頻率
例12-9圖示排架的橫梁為剛性桿,質量為m,柱質量不計,求其自振頻率。第38頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例3:求圖示剛架的自振頻率。各桿EI為常數。10.6l0.6lMi圖解:1)作出單位力引起的彎矩圖,第39頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三10.6l0.6l1)作出單位力引起的彎矩圖,3)求自振頻率:2)按圖乘法求出柔度系數為:Mi圖第40頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例4:求圖示剛架的自振頻率。各桿EI為常數。11ll分析:圖示體系有兩個振質,均無豎向位移,僅有水平位移且相同,故是單自由度體系。由于兩個質點上的慣性力共線,列方程時可以合并,所以可按一個質點的情況考慮。解:(1)作出虛設位移方向的單位力引起的彎矩圖第41頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(1)作出單位力引起的彎矩圖,(3)求自振頻率:(2)按圖乘法求出柔度系數為:11ll0第42頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例5:求圖剛架水平振動的自振頻率,不計橫梁的變形。k11k11解:圖示體系為單自由度體系:1)在質量上沿位移方向加鏈桿,并令鏈桿沿位移方向發生單位位移,作出單位彎矩圖。第43頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三2)求鏈桿反力,即為剛度系數3)求自振頻率:k11k11EI→∞例5:求圖剛架水平振動的自振頻率,不計橫梁的變形。第44頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例6:求圖示體系的自振頻率。已知桿的剛度為無窮大,不計桿的質量,彈簧剛度系數為K。解:圖示體系為單自由度體系。由于兩個質點的慣性力不共線,所以不能將質量合并。利用幅值方程求解。第45頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三方法一:利用幅值方程。
以質點C的位移作基本位移參數,其最大位移設為A,以A點為矩心列力矩方程,有第46頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三方法二:能量法求體系的最大動能和最大勢能。振子的最大動能:彈性勢能:令第47頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三思考:圖示三種支承情況的梁,跨度、剛度相等,在中點有一集中質量m。當不考慮的自重,試比較三者的自振頻率。第48頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三P=1思考:圖示三種支承情況的梁,跨度、剛度相等,在中點有一集中質量m。當不考慮的自重,試比較三者的自振頻率。第49頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三mgP=1MP圖Mi圖△st表示重力所產生的靜位移思考:圖示三種支承情況的梁,跨度、剛度相等,在中點有一集中質量m。當不考慮梁的自重,試比較三者的自振頻率。第50頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三MP圖mgP=1Mi圖思考:圖示三種支承情況的梁,跨度、剛度相等,在中點有一集中質量m。當不考慮梁的自重,試比較三者的自振頻率。第51頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三結構的自振頻率只取決于它本身的質量、剛度,隨著結構剛度的加大,其自振頻率也相應增高。思考:圖示三種支承情況的梁,跨度、剛度相等,在中點有一集中質量m。當不考慮梁的自重,試比較三者的自振頻率。第52頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三作業:《教材》12-15、16總結:
1、質點的運動規律——簡諧振動。
2、自由振動中速度、加速度、慣性力的改變規律
3、求自振頻率的方法:
柔度法剛度法能量法幅值法單質點、單自由度體系多質點單自由度體系、復雜體系第53頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三§12-5簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體系的受迫振動強迫振動——結構在動荷載作用下的振動單自由度體系在動荷載下的振動及相應的振動模型如圖示:
彈性力慣性力
平衡方程
第54頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三不同的動荷載作用,體系的動力反應不同。常見的幾種動荷載作用下體系的動力反應:或
式中
結構的自振頻率
單自由度體系強迫振動方程
第55頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三一、簡諧荷載
—荷載幅值
—荷載的圓頻率(擾頻)1、運動方程及其解
二階線性非齊次常微分方程
通解:
齊次解:
設特解:
第56頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三運動方程的通解為:
由初始條件確定故特解為:代入方程,求得式(12-61)第三項按擾頻振動,稱為純受迫振動。前兩項消逝后,只考慮穩態,即:第57頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三式(12-62)中振幅A等于:其中:由此可得:叫靜位移。是將擾力的幅值P作為靜力加上去時產生的位移令:得振幅的表達式:動力系數第58頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三得振幅的表達式:求動位移、動內力最大值的計算步驟:1)在擾力幅值P作用下求靜位移及靜內力;2)求動力系數;3)將靜位移、靜內力乘以動力系數即得動位移、動內力的幅值;思考題:P70例題12-15第59頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三動力系數是頻率比的函數
2、算式分析它反映了干擾力對結構的動力作用。振幅算式:動力系數:當時,即動位移與干擾力指向一致;當時,即動位移與干擾力指向相反。第60頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三1)時,干擾力產生的動力作用不明顯,因此可當作靜荷載處理;極限情況,即或,則。意味著結構為剛體或荷載不隨時間變化,因此不存在振動問題。當時,為增函數。
2、算式分析振幅算式:動力系數:第61頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三2)當時,,共振,為避開共振,可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率使或。
3)當時,為減函數當時,,,體系處于靜止狀態。2、算式分析振幅算式:動力系數:第62頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例:求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.已知:第63頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三解:(1)計算動力系數梁的自振頻率:
荷載頻率:
動力系數:
例:求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.第64頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(2)動荷載幅值作為靜荷載作用時的位移和內力(3)振幅和動彎矩幅值振幅動彎矩幅值例:求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.第65頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(4)最大位移和最大彎矩
簡支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點
跨中重量G產生的靜位移
:跨中的最大位移:
跨中重量G產生的靜彎矩:跨中的最大彎矩:
例:求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩.第66頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三4.動荷載不作用在質點上時的動計算
振動方程
令
(a)
(b)
第67頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三則穩態解[同式(12-62)]
(c)
(d)
(e)
第68頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三
(1)、振幅
結論:仍是位移的動力系數.第69頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三
(2)、動內力幅值
三者同時達到幅值。、、作同頻同步運動,根據穩態振動的振幅,算出慣性力。然后,將慣性力幅值和干擾力幅值同時作用在體系上,按靜力學計算方法便可求得動內力幅值。第70頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例:求圖示簡支梁的振幅,作動彎矩幅值圖。已知:
(a)
(b)
解
(1)計算動力系數
(2)簡支梁的振幅
(c)第71頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三
(d)
(e)
(3)作動彎矩的幅值圖慣性力幅值動彎矩幅值圖(f)將動荷載幅值F和慣性力幅值I作用在梁上,按靜力學方法作出彎矩圖---動彎矩幅值圖。
例:求圖示簡支梁的振幅,作動彎矩幅值圖。已知:第72頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三結論對于單自由度體系,當干擾力作用在質量上時,位移的動力系數和內力的動力系數是相同的;當干擾力不作用在質量上時,位移和內力各自的動力系數通常是不同的。對于位移和內力動力系數相同的情況,求結構的最大動力反應時,可將干擾力幅值當作靜荷載作用計算結構的位移和內力,然后再乘以動力系數,便可得到穩態振動時結構的最大動位移和最大動內力。對于位移和內力動力系數不同的情況,則要從體系的運動方程出發,先求出穩態振動的位移幅值,再算出慣性力。最后,按靜力計算方法求出結構在干擾力幅值和慣性力幅值共同作用下的內力,此即結構的最大動內力。第73頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三●工程實例1)多層房屋的側向振動,2)不等高排架的振動,3)塊式基礎的水平回轉振動,4)高聳結構(如煙囪)在地震作用下的振動,5)橋梁的振動,6)拱壩和水閘的振動等,一般均化為多自由度體系計算?!衲康?)計算自振頻率,即,,…,。2)確定振型(振動形式),即,,…,或振型常數r1,r2(僅適用于兩個自由度體系)。并討論振型的特性——主振型的正交性?!?2-7多自由度體系的自振頻率和振型計算第74頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三●方法1)剛度法——根據力的平衡條件建立運動微分方程。2)柔度法——根據位移協調條件建立運動微分方程。對于多自由度體系自由振動分析一般不考慮阻尼。第75頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三一、兩個自由度體系的自由振動1.剛度法(1)運動方程的建立若不考慮阻尼,取質量m1和m2作隔離體,質點上作用慣性力和彈性恢復力,根據達朗伯原理,可列出平衡方程第76頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三結構所受的力、與結構的位移、之間應滿足剛度方程是結構的剛度系數第77頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三可得運動方程也可用矩陣表示為或縮寫為式中,為質量矩陣;為加速度列陣;為剛度矩陣;為位移列陣。第78頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(2)運動方程的求解設1)在振動過程中,兩個質點同頻率(w)、同相位(a)。上式所表明的運動具有以下特點:2)在振動過程中,兩個質點的位移在數值上隨時間而變化,但二者的比值始終保持不變,即常數結構位移形狀保持不變的振動形式,稱為主振型或振型。這樣的振動稱為按振型自振(單頻振動,具有不變的振動形式),而實際的多自由度體系的自由振動是多頻振動,振動形狀隨時間而變化,但可化為各個振型振動的疊加。第79頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(3)求自振頻率wi將代入運動方程得或為了要求得A1、A2不全為零的解答,應使其系數行列式為零,即由此式可確定體系的自振頻率wi,因此稱頻率方程或特征方程。第80頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三將D展開,整理后,得由此可以解出w2的兩個根,即由上式可見,w只與體系本身的剛度系數及其質量分布情形有關,而與外部荷載無關。約定w1<w2,其中w1稱第一圓頻率(最小圓頻率,基本圓頻率、基頻)w2稱第二圓頻率(高頻)。第81頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(4)求主振型第一,求第一主振型:令w
=w1,代入式(12-98),則代入振型方程(12-101)由于系數行列式D=0,此二方程是線性相關的(實際上只有一個獨立的方程),不能求出A11和A21的具體數值,而只能求得二者的比值。第一振型(相對于w1),可表示為第82頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三第二,求第二主振型:令w=w2,則代入振型方程,得同樣,也可求得第83頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三可作出兩個自由度體系的第一主振型和第二主振型,如圖所示。第一主振型第二主振型兩個自由度體系第84頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三三.舉例
例12-19:已知圖示兩層剛架,橫梁為無限剛性。該質量集中在樓層上,分別為m1,m2。層間側移剛度(層間產生單位相對側移時所需施加的力)分別為k1,k2。求剛架水平振動時自振頻率和主振型。第85頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三解:(1)求結構的剛度系數第86頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(2)求自振頻率由頻率方程當時,有解得:第87頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(3)求主振型兩個主振型圖:第一主振型第二主振型第一主振型第二主振型第88頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三在一般情況下,兩個自由度體系的自由振動可以看作是兩個頻率及其主振型的組合振動。相應于w1,有一組特解(前述甲組特解),相應于w2也有一組特解(乙組特解),它們是線性無關的。由這兩組特解加以線性組合,即得通解為甲組特解乙組特解式中,兩對待定常數A1、a1;A2、a2由初始條件(y0和v0)確定。兩個自由度體系可按第一主振型、第二主振型或二者的組合振動。體系能按某個振型自振,其條件是:y0和v0應當與此主振型相對應。要想引起按第一主振型的簡諧自振,則所給y01/y02或v01/v02必須等于r1;要想引起按第二主振型的簡諧自振,則所給y01/y02或v01/v02必須等于r2。否則,將產生組合的非簡諧的周期運動。第89頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(5)標準化(規一化)主振型為了使主振型的振幅具有確定值,需要另外補充條件,這樣得到的主振型,叫做標準化主振型。一般可規定主振型中某個元素為給定值,如規定某個元素Yji等于1,或最大元素等于1。
第一主振型第二主振型第90頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三多自由度體系自由振動的重要特性:1)多自由度自振頻率和主振型的個數均與體系自由度的個數相等;2)每個自振頻率有其相應的主振型,而這些主振型就是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式;3)多自由度體系的自振頻率和主振型是體系自身的固有動力特性,它們只取決于體系自身的剛度系數及其質量的分布情形,而與外部荷載無關。第91頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三例:圖示框架,其橫梁為無限剛性。設質量集中在樓層上,試計算其自振頻率和主振型。解:本例兩層框架為兩個自由度體系,用剛度法計算較為方便。(1)求剛度系數kij第92頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(2)求自振頻率wi將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得第93頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(3)求主振型(振型常數ri)第一主振型第二主振型(4)作振型曲線,如圖所示。第一主振型
第二主振型
第94頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三2.柔度法對于圖示體系,在自由振動中的任一時刻t,質量m1、m2的位移、應當等于體系在當時慣性力、作用下所產生的靜力位移(圖a)思路(1)運動方程的建立dij是體系的柔度系數第95頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三也可寫為或以上運動方程,也可利用剛度法所建立的運動方程間接導出:因所以,有前乘以[d],得注意:[d]與[K]雖然互為逆陣,但[d]中之dij與[K]中之kij元素一般并不互逆(僅單自由度體系例外)。第96頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(2)運動方程的求解(3)求自振頻率wi設特解代入運動方程,并消去公因子表明,主振型的位移幅值(Y1及Y2),就是體系在此主振型慣性力幅值作用下引起的靜力位移,如圖所示。慣性力為:第97頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三將式通除以稱為振型方程或特征向量方程。為了求得Y1、Y2不全為0的解,應使該系數行列式等于零,即稱為頻率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。第98頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三令l
=,代入式(a),得關于l
的二次方程展開,得(a)可解出l的兩個根,即約定l1>l2(從而滿足w1<w2),于是求得第99頁,講稿共114頁,2023年5月2日,星期三(4)求主振型
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