《生活中的軸對稱》全章復習與鞏固（基礎）【學習目標】1.認識和欣賞身邊的軸對稱圖形，增進學習數學的興趣.2.了解軸對稱的概念，探索軸對稱、軸對稱圖形的基本性質及它們的簡單應用.3.探索線段的垂直平分線、角平分線和等腰三角形的性質以及判定方法.4.能按照要求，畫出一些軸對稱圖形.【知識網絡】【要點梳理】要點一、軸對稱【高清課堂：389304軸對稱復習，本章概述】1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.要求詮釋：成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系要點詮釋:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點詮釋：線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.3.角平分線角平分線性質是：角平分線上的任意一點，到角兩邊的距離相等；反過來，在角的內部到角兩邊的距離相等的點在角平分線上.要點詮釋：前者的前提條件是已經有角平分線了，即角被平分了；后者則是在結論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區別，在使用這兩個定理時不要混淆了.要點二、作軸對稱圖形1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.要點三、等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理．2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【典型例題】類型一、軸對稱的性質與應用1、如圖，由四個小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點都是小正方形的頂點．在田字格上畫與△ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【思路點撥】分別以正方形的對角線和田字格的十字線為對稱軸，來找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格圖標上字母如圖，確定對稱軸找出符合條件的三角形，再計算個數．△HEC與△ABC關于CD對稱；△FDB與△ABC關于BE對稱；△GED與△ABC關于HF對稱；關于AG對稱的是它本身．所以共3個．【總結升華】本題考查了軸對稱的性質；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三角形是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，△ABC的內部有一點P，且D，E，F是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點．若△ABC的內角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，則∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：連接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°． 2、已知∠MON＝40°，P為∠MON內一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，求∠APB的度數.【思路點撥】求周長最小，利用軸對稱的性質，找到P的對稱點來確定A、B的位置，角度的計算，可以通過三角形內角和定理和等腰三角形的性質計算.【答案與解析】解：分別作P關于OM、ON的對稱點，，連接交OM于A，ON于B.則△PAB為符合條件的三角形.∵∠MON＝40°∴∠＝140°.∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.∴(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°∵∠PAB＝∠＋∠,∠PBA＝∠＋∠∴∠＋∠＋∠＝180°∴∠APB＝100°【總結升華】將實際問題抽象或轉化為幾何模型，將周長的三條線段的和轉化為一條線段，這樣取得周長的最小值.舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（）．A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】C；提示：找A點關于BC的對稱點，關于ED的對稱點，連接，交BC于M點，ED于N點，此時△AMN周長最小.∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.類型二、線段垂直平分線性質3、如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分線，線段DE=1cm，求BD的長．【思路點撥】連接AD，根據等腰三角形的兩底角相等求出∠B=∠C=30°，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入數據進行計算即可得解．【答案與解析】解：連接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的長為4cm．故答案為：4cm．【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．舉一反三【變式】如圖，在△ABC中，∠A=50°，DE是線段AB的垂直平分線，E為垂足，交AC于點D，則∠ABD=_________．【答案】50°；類型三、角平分線性質4、已知：如圖，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于點O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC．證明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）上述解答不正確，請你寫出正確解答．【思路點撥】由角平分線的性質可得OD=OE，然后證明△DOB≌△EOC，可得證OB=OC．【答案與解析】證明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【總結升華】此題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定和性質，注意點到直線的距離是垂線段的長．舉一反三【變式】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，對于結論：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一點到AB、AC的距離相等；④AD上任一點到B、C的距離相等．其中正確的是（）A．僅①②B．僅③④C．僅①②③D．①②③④【答案】D；類型四、等腰三角形的綜合應用5、（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=______.點P到AB邊的距離PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長線上的點時，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵．6、已知，如圖，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°.求的度數．【答案與解析】ACD123ACD123B5E則，∴∠1＝∠5＝12°.∴60°∵48°∴．又∵∠2＝36°，72°，∴∴BE＝BC∴為等邊三角形.∴又垂直平分BC．∴AE平分．∴30°∴∠ADB＝30°【總結升華】直接求很難，那就想想能不能通過翻折或旋轉構造一個與全等的三角形，從而使其換個位置，看看會不會容易求．舉一反三：【變式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D為形內一點，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度數.【答案】解：作D關于BC中垂線的對稱點E，連結AE，EC，DE∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE為等邊三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°類型五、等邊三角形的綜合應用7、如圖所示，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形．(1)如圖(1)所示，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？(2)如圖(2)所示，當點M在BC上時，其他條件不變，(1)的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖(2)證明；若不