一、初一數學幾何模型部分解答題壓軸題精選（難）1．問題情境1:如圖1,AB∥CD,P是ABCD內部一點,P在BD的右側,探究∠B,∠P,∠D之間的關系?小明的思路是:如圖2,過P作PE∥AB,通過平行線性質,可得∠B,∠P,∠D之間滿足____關系。(直接寫出結論)問題情境2如圖3,AB∥CD,P是AB,CD內部一點,P在BD的左側,可得∠B,∠P,∠D之間滿足____關系。(直接寫出結論)問題遷移:請合理的利用上面的結論解決以下問題:已知AB∥CD,∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F

（1）如圖4,若∠E=80°,求∠BFD的度數；（2）如圖5中,∠ABM=13∠ABF,∠CDM=1（3）若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1【答案】（1）解：根據問題情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF∵,∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F

∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE∴∠FBE+∠FDE=∠BFD∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°∴80°+∠BFD+∠BFD=360°∴∠BFD=140°（2）結論為：6∠M+∠E=360°證明：∵∠ABM=13∠ABF,∠CDM=1∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM∵∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°∵∠M=∠ABM+∠CDM∴6∠M+∠E=360°（3）證明：根據（2）的結論可知2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°∵∠M=∠ABM+∠CDM∴2n∠M+m°=360°∴∠M=【解析】問題情境1:

圖1中∠B,∠P,∠D之間關系是：∠P+∠B+∠D=360°，問題情境2：圖3中∠B,∠P,∠D之間關系是：∠P=∠B+∠D；【分析】問題情境1和2

過點P作EP∥AB，利用平行線的性質，可證得結論。（1）利用問題情境2的結論，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根據角平分線的定義得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再證明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度數即可。（2）根據已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根據角平分線的定義得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根據問題情境1的結論∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，變形即可證得結論。（3）根據已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根據∠M=∠ABM+∠CDM，代入變形即可得出結論。2．如圖，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度數；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β為銳角），其他條件不變，求∠MON的度數；（4）從（1）、（2）、（3）的結果中，你能看出什么規律？【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30=120°．由角平分線的性質可知：∠MOC=12∠AOC=60°，∠CON=1∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=60°﹣15°=45°（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°．由角平分線的性質可知：∠MOC=12∠AOC=12α+15°，∠CON=∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=12α+15°﹣15°=1（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．由角平分線的性質可知：∠MOC=12∠AOC=12β+45°，∠CON=12∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=12β+45°﹣1（4）解：根據（1）、（2）、（3）可知∠MON=12【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度數，然后由角平分線的定義可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根據∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分線的定義可知∠MOC=12α+15°，∠CON=15°，最后根據∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分線的定義可知∠MOC=12β+15°，∠CON=3．

綜合題（1）如圖，已知點C在線段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長度．（2）對于（1）問，如果我們這樣敘述：“已知點C在直線AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點M、N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度．”結果會有變化嗎？如果有，求出結果；如果沒有，說明理由．【答案】（1）解：∵AC=6cm，且M是AC的中點，∴MC=12AC=1同理：CN=2cm，∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，∴線段MN的長度是5m（2）解：分兩種情況：當點C在線段AB上，由（1）得MN=5cm，當C在線段AB的延長線上時，∵AC=6cm，且M是AC的中點∴MC=12AC=1同理：CN=2cm，∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，∴當C在直線AB上時，線段MN的長度是5cm或1cm．【解析】【分析】（1）根據線段的中點定義，由M是AC的中點，求出MC、CN的值，得到MN=MC+CN的值；（2）當點C在線段AB上，由（1）得MN的值；當C在線段AB的延長線上時，再由M是AC的中點，求出MC、CN的值，得到MN=MC﹣CN的值.4．根據下圖回答問題：（1）如圖1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，請判斷AB與CD的位置關系并說明理由；（2）如圖2，當∠M=90°且AB與CD的位置關系保持（1）中的不變，當直角頂點M移動時，問∠BAM與∠MCD是否存在確定的數量關系？并說明理由；（3）如圖3，G為線段AC上一定點，點H為直線CD上一動點且AB與CD的位置關系保持（1）中的不變，當點H在射線CD上運動時（點C除外）∠CGH+∠CHG與∠BAC有何數量關系？猜想結論并說明理由．【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，∵∠MAC+∠ACM=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，理由：如圖，過M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，∵∠M=90°，∴∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．理由：過點G作GP∥AB，∵AB∥CD∴GP∥CD，∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根據角平分線的定義可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根據同旁內角互補，兩直線平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，過M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根據平行線的性質可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，過點G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根據平行線的性質可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．5．如圖，已知點B(a,b)，且a，b滿足|2a+b-13|+a-3b+4=0.過點（1）求出點B的坐標；（2）點M是邊OA上的一個動點（不與點A重合），∠CMA的角平分線交射線CB于點N，在點M運動過程中，∠（3）在四邊形OABC的邊上是否存在點P，使得BP將四邊形OABC分成面積比為1：4的兩部分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）解：由|2a+b-{2a+b-∴點B的坐標為(5,3)（2）解：不變化∵BC⊥∴BC∥x軸∴∠∵MN平分∠∴∠∴∠∴∠（3）解：點P可能在OC,OA邊上，如下圖所示，由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形OABC的面積為15若點P在OC邊上，可設P點坐標為(0,a)，則CP=3三角形BCP的面積為12剩余部分面積為15-所以15-5a2P點坐標為(0,9若點P在OA邊上，可設P點坐標為(a,0)，則AP=5三角形BAP的面積為12剩余部分面積為15-所以15-3a2P點坐標為(3,0).綜上,點P的坐標為(3,0)，(0,9【解析】【分析】（1）由絕對值和算術平方根的非負性可知由兩個非負數的和為0，則這兩個數都為0，由此可列出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出B點坐標；（2）根據平行線和角平分線的性質可證明∠CMN=（3）點P只能在OC,OA邊上，表示出兩部分的面積，依比值求解即可.6．探究與發現：（1）探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數量關系.（2）探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系.（3）探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A+∠B的數量關系.（4）探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系：▲

.【答案】（1）解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；（2）探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-1=180°-12=180°-12=90°+12（3）探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-1=180°-12=180°-12=12（4）探究四：六邊形ABCDEF的內角和為：（6-2）?180°=720°，∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=1∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-12∠EDC-1=180°-12=180°-12=12即∠P=12【解析】【分析】探究一：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據三角形內角和定理整理即可得解；探究二：根據角平分線的定義可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；探究三：根據四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根據六邊形的內角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可.7．如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連結QE并延長交射線（1）如圖1，當BP=BA時，∠EBF=________°，猜想∠QFC=________（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC【答案】（1）30；60（2）解：結論：∠QFC=60如圖：∵∠BAP=∠BAE+∴∠BAP=在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∴△ABP∴∠AEQ=∴∠BEF=180∴∠QFC=【解析】【解答】證明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，∴∠ABE=60°，∴∠EBF=30°；猜想：∠QFC=60理由如下：如圖，∵∠BAP=∠BAE∴∠BAP=∵AB=AE，AP=AQ，∴△ABP∴∠AEQ=∴∠BEF=180∴∠QFC=故答案為：30；60；【分析】（1）∠EBF與∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度數；先證明∠BAP=∠EAQ，進而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；（2）先證明∠BAP=∠EAQ，進而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.8．如圖，∠AOB＝40°，點C在OA上，點P為OB上一動點，∠CPB的角平分線PD交射線OA于D。設∠OCP的度數為x°，∠CDP的度數為y°。小明對x與y之間滿足的等量關系進行了探究，下面是小明的探究過程，請補充完整；（1）x的取值范圍是________；（2）按照下表中x的值進行取點、畫圖、計算，分別得到了y與x的幾組對應值，補全表格；（3）在平面直角坐標系xOy中，①描出表中各組數值所對應的點(x，y)；②描出當x＝120°時，y的值；（4）若∠AOB＝a°，題目中的其它條件不變，用含a、x的代數式表示y為________。【答案】（1）40°<x<140°（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+y°，∠DPB=12∴40°+y°=12（40°+x°），即y=1x=60時，y=12x-20=1x=70時，y=12x-20=1x=80時，y=12x-20=1x=90時，y=12x-20=1補全表格如下：；（3）解：①②如圖：

x=120時，y=12x-20=1（4）y=12【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，∴∠CPB=40°+x°，∠CPB一定小于180°，即40°+x°<180°，x<140°，∵PD平分∠CPB，∴∠DPB=12∠CPB=1∵當∠DPB=40°時，DP∥OA，即∠CPB的角平分線與OA無交點，所以∠DPB一定大于40°，即12∴x的取值范圍是40°<x<140°；（4）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP，∠AOB＝a°，∠CDP的度數為y°，∴∠DPB=a°+y°，∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝a°，∠OCP的度數為x°，∴∠CPB=a°+x°，∵PD平分∠CPB，∴∠DPB=12∠CPB=12（∴a°+y°=12（a°+x°），即y=1【分析】（1）根據角平分線和三角形外角的性質，可得∠CPB=40°+x°，∠DPB=12（2）根據角平分線和三角形外角的性質列出y與x的關系式，分別計算求值即可；（3）在平面直角坐標系xOy中描出各點即可；（4）根據角平分線和三角形外角的性質即可求解.9．如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于點A1，（1）分別計算：當∠A分別為700、800時，求∠A1的度數.（2）根據（1）中的計算結果，寫出∠A與∠A1之間的數量關系________.（3）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于點A2，∠A2BC的角平分線與∠A2CD的角平分線交于點A3，如此繼續下去可得A4，…，∠An，請寫出∠A5與∠A的數量關系________.（4）如圖2，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時，有下面兩個結論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠D-∠A1的值為定值.其中有且只有一個是正確，請寫出正確結論，并求出其值.【答案】（1）解：∵A1C、A1B分別是∠ACD、∠ABC的角平分線∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=1由三角形的外角性質知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：∠A1=12（∠ACD-∠ABC）=1當∠A=70°時，∠A1=35°；當∠A=80°，∠A1=40°（2）∠A=2∠A1（3）∠A5=132（4）解：△ABC中，由三角形的外角性質知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1=2（180°-∠Q），化簡得：∠A1+∠Q=180°故①的結論是正確，且這個定值為180°【解析】【解答】解：（2）由（1）可知∠A1==12即∠A=2∠A1（3）同（1）可求得：∠A2=12∠A1=1∠A3=12∠A2=1…依此類推，∠An=12當n=5時，∠A5=125∠A=【分析】（1）由三角形的外角性質易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1，可得∠A1=12（∠ACD-∠ABC）=12∠A（2）根據（1）可得到∠A=2∠A1（3）根據（1）可得到∠A2=12∠A1=122∠A，∠A3=12∠A2=123∠A，…依此類推，∠A10．如圖，已知CD∥EF，A，B分別是CD和EF上一點，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF（1）證明：BD⊥BC;（2）如圖，若G是BF上一點，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分線交BD于點P，求∠APD的度數：（3）如圖，過A作AN⊥EF于點N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接寫出∠PAQ=________.【答案】（1）證明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF∴∠ABC=12∠ABE，∠ABD=1∴∠ABC+∠ABD=12（∠ABE+∠ABF）=1∴BD⊥BC（2）解：∵CD∥EFBD平分∠ABF∴∠ADP=∠DBF=12又AP平分∠DAG，∠BAG=50°∴∠DAP=12∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP=180°－12∠DAG－1=180°－12(∠DAB－∠BAG)－1=180°－12∠DAB+12×50°－=180°－12=180°－12=115°（3）45°【解析】【解答】（3）解：如圖，∵AQ∥BC∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，∵BC平分∠ABE，∴∠1=∠2=∠4，∴12又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN∴∠PAN=12∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ=12=45°-12=135°-（12=135°-90°=45°.【分析】（1）根據角平分線和平角的定義可得∠CBD=90°，即可得出結論；（2）根據平行線的性質以及角平分線的定義可得∠ADP=∠DBF=12∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP=12∠DAG，然后根據出三角形內角和即可求出∠APD的度數；（3）根據平行線的性質以及角平分線的定義可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即12∠3+∠4=90°，根據垂直和平行線的性質以及角平分線的定義可得∠PAN=111．如圖1，已知直線CD∥EF，點A、B分別在直線CD與EF上．P為兩平行線間一點．（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，則∠APB=________．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之間有什么關系？并說明理由．（3）利用(2)的結論解答：①如圖2，AP1、BP1分別平分∠DAP、∠FBP，請你寫出∠P與∠P1的數量關系，并說明理由．②如圖3，AP2、BP2分別平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代數式表示)．【答案】（1）110（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之間的關系為：∠APB=（3）