2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若，則與在同一坐標系中的圖象大致是（）A. B.C. D.2．現在人們的環保意識越來越強，對綠色建筑材料的需求也越來越高．某甲醛檢測機構對某種綠色建筑材料進行檢測，一定量的該種材料在密閉的檢測房間內釋放的甲醛濃度（單位：）隨室溫（單位：℃）變化的函數關系式為（為常數）．若室溫為20℃時該房間的甲醛濃度為，則室溫為30℃時該房間的甲醛濃度約為（取）（）A. B.C. D.3．在北京召開的國際數學家大會的會標如圖所示，它是由個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是，小正方形的面積是，則A. B.C. D.4．某校早上6：30開始跑操，假設該校學生小張與小王在早上6：00~6：30之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張與小王至少相差5分鐘到校的概率為（）A. B.C. D.5．已知函數f(x)是偶函數，且f(x)在上是增函數，若，則不等式的解集為（）A.{x|x>2} B.C.{或x>2} D.{或x>2}6．關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．集合{0，1，2}的所有真子集的個數是A.5 B.6C.7 D.88．已知集合，，則中元素的個數是（）A. B.C. D.9．函數的單調遞減區間是A. B.C. D.10．已知點M與兩個定點O（0,0），A(6，0)的距離之比為，則點M的軌跡所包圍的圖形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值是___________.12．正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為1，E，F，G，H分別是PA，AC，BC，PB的中點，四邊形EFGH的面積為S，則S的取值范圍是__13．聲強級L（單位：dB）由公式給出，其中I為聲強（單位：W/m2）.聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的______倍.14．命題“”的否定為___________.15．已知函數，其所有的零點依次記為，則_________.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．對于函數（1）判斷的單調性，并用定義法證明；（2）是否存在實數a使函數為奇函數？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由17．某廠商計劃投資生產甲、乙兩種商品，經市場調研發現，如圖所示，甲、乙商品的投資x與利潤y（單位：萬元）分別滿足函數關系與（1）求，與，的值；（2）該廠商現籌集到資金20萬元，如何分配生產甲、乙商品的投資，可使總利潤最大？并求出總利潤的最大值18．已知二次函數的圖象與軸、軸共有三個交點.（1）求經過這三個交點的圓的標準方程；（2）當直線與圓相切時，求實數的值；（3）若直線與圓交于兩點，且，求此時實數的值.19．已知函數，，.若不等式的解集為（1）求的值及；（2）判斷函數在區間上的單調性，并利用定義證明你的結論（3）已知且，若.試證：.20．已知函數.（1）若函數的圖象關于直線x＝對稱，且，求函數的單調遞增區間.（2）在（1）的條件下，當時，函數有且只有一個零點，求實數b的取值范圍.21．甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，（1）若從甲校和乙校報名的教師中各選1名，求選出的兩名教師性別相同的概率（2）若從報名的6名教師中任選2名，求選出的兩名教師來自同一學校的概率

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】根據指數函數與對數函數的圖象判斷【詳解】因為，，是減函數，是增函數，只有D滿足故選：D2、D【解析】由題可知，，求出，在由題中的函數關系式即可求解.【詳解】由題意可知，，解得，所以函數的解析式為，所以室溫為30℃時該房間的甲醛濃度約為.故選：D.3、C【解析】根據題意即可算出每個直角三角形面積，再根據勾股定理和面積關系即可算出三角形的兩條直角邊．從而算出【詳解】由題意得直角三角形的面積,設三角形的邊長分別為，則有，所以，所以，選C.【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計算，屬于基礎題4、A【解析】設小張與小王的到校時間分別為6：00后第分鐘，第分鐘，由題意可畫出圖形，利用幾何概型中面積比即可求解.【詳解】設小張與小王的到校時間分別為6：00后第分鐘，第分鐘，可以看成平面中的點試驗的全部結果所構成的區域為是一個正方形區域，對應的面積，則小張與小王至少相差5分鐘到校事件(如陰影部分)則符合題意的區域，由幾何概型可知小張與小王至少相差5分鐘到校的概率為.故選：A【點睛】本題考查了幾何概率模型，解題的關鍵是畫出滿足條件的區域，屬于基礎題.5、C【解析】利用函數的奇偶性和單調性將不等式等價為，進而可求得結果.詳解】依題意，不等式，又在上是增函數，所以，即或，解得或.故選：C.6、D【解析】把方程的根轉化為二次函數的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應的二次函數設為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數剛好經過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數與x軸只有一個交點，橫坐標屬于，，解得，當時，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實數m的取值范圍為故選：D7、C【解析】集合{0，1，2}中有三個元素，因此其真子集個數為.故選：C.8、B【解析】根據并集的定義進行求解即可.【詳解】由題意得，，顯然中元素的個數是5.故選：B9、B【解析】是增函數，只要求在定義域內的減區間即可【詳解】解：令，可得，故函數的定義域為，則本題即求在上的減區間，再利用二次函數的性質可得，在上的減區間為，故選B【點睛】本題考查復合函數的單調性，解題關鍵是掌握復合函數單調性的性質10、B【解析】設M（x，y），由點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，得：，整理得：（x+2）2+y2=16∴點M的軌跡方程是圓（x+2）2+y2=16．圓的半徑為：4，所求軌跡的面積為：16π故答案為B.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】根據一元二次不等式解集的性質，結合基本不等式、對鉤函數的單調性進行求解即可.【詳解】因為關于的不等式的解集為，所以是方程的兩個不相等的實根，因此有，因為，所以，當且僅當時取等號，即時取等號，，設，因為函數在上單調遞增，所以當時，函數單調遞增，所以，故答案為：12、（，+∞）【解析】由正三棱錐可得四邊形EFGH為矩形，并可得其邊長與三棱錐棱長關系，從而可得面積S的范圍.【詳解】∵棱錐P﹣ABC為底面邊長為1的正三棱錐∴AB⊥PC又∵E，F，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點，∴EH//FG//AB且EH＝FGAB，EF//HG//PC且EF＝HGPC則四邊形EFGH為一個矩形又∵PC，∴EF，∴S=EFEH，∴四邊形EFGH的面積S的取值范圍是（，+∞），故答案為:（，+∞）三、13、1000【解析】根據已知公式，應用指對數的關系及運算性質求60dB、30dB對應的聲強，即可得結果.【詳解】由題設，，可得，，可得，∴聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的倍.故答案為：1000.14、【解析】根據特稱命題的否定為全稱命題求解.【詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，所以“”的否定為“”，故答案：.15、16【解析】由零點定義,可得關于的方程.去絕對值分類討論化簡.將對數式化為指數式,再去絕對值可得四個方程.結合韋達定理,求得各自方程兩根的乘積,即可得所有根的積.【詳解】函數的零點即所以去絕對值可得或即或去絕對值可得或,或當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得當,兩邊同時乘以,化簡可得,設方程的根為.由韋達定理可得綜上可得所有零點的乘積為故答案為:【點睛】本題考查了函數零點定義,含絕對值方程的解法,分類討論思想的應用,由韋達定理研究方程根的關系,屬于難題.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）在R上單調遞增；（2）存在使得為奇函數.【解析】(1)利用函數單調性的定義證明；(2)利用函數奇偶性的定義求參數【小問1詳解】證明：任取且，則又且，即在R上單調遞增【小問2詳解】若為R上為奇函數，則對任意的都有17、（1），，，（2）分配生產乙商品的投資為1萬元，甲商品的投資為萬元，此時總利潤的最大值為31.5萬元.【解析】（1）代入點的坐標，求出，與，的值；（2）在第一問的基礎上，表達出總利潤的關系式，利用配方求出最大值.【小問1詳解】將代入中，，解得：，將代入中，，解得：，所以，，，.【小問2詳解】設分配生產乙商品的投資為m（0≤m≤20）萬元、甲商品的投資為萬元，此時的總利潤為w，則，因為0≤m≤20，所以當，即時，w取得最大值，即分配生產乙商品的投資為1萬元，甲商品的投資為萬元，此時總利潤的最大值為31.5萬元.18、（1）；（2）或；（3）【解析】（1）先求出二次函數的圖象與坐標軸的三個交點的坐標，然后根據待定系數法求解可得圓的標準方程；（2）根據圓心到直線的距離等于半徑可得實數的值；（3）結合弦長公式可得所求實數的值【詳解】（1）在中，令，可得；令，可得或所以三個交點分別為，，，設圓的方程為，將三個點的坐標代入上式得，解得，所以圓的方程為，化為標準方程為：（2）由（1）知圓心，因為直線與圓相切，所以，解得或，所以實數的值為或（3）由題意得圓心到直線的距離，又，所以，則，解得所以實數的值為或【點睛】（1）求圓的方程時常用的方法有兩種：一是幾何法，即求出圓的圓心和半徑即可得到圓的方程；二是用待定系數法，即通過代數法求出圓的方程（2）解決圓的有關問題時，要注意圓的幾何性質的應用，合理利用圓的有關性質進行求解，可以簡化運算、提高解題的效率19、（1）；（2）函數在區間上的單調遞增，證明見解析（3）見解析【解析】（1）根據二次不等式的解集可以得到二次函數的零點，回代即可求出參數的值（2）定義法證明單調性，假設，若，則單調遞增，若，則單調遞減（3）單調性的逆應用，可以通過證明函數值的大小，反推變量的大小，難度較大【小問1詳解】，即，因不等式解集為，所以，解得：，所以【小問2詳解】函數在區間上的單調遞增，證明如下：假設，則，因為，所以，所以，即當時，，所以函數在區間上的單調遞增【小問3詳解】由（2）可得：函數在區間上的單調遞增，在區間上的單調遞減，因為，且，，所以，，證明，即證明，即證明，因為，所以即證明，代入解析式得：，即，令，因為在區間上的單調遞增，根據復合函數同增異減的性質可知，在區間上的單調遞減，所以單調遞增，即，所以在區間上恒成立，即，得證：【點睛】小問1求解析式，較易；小問2考察定義法證明單調性，按照常規方法求解即可；小問3難度較大，解題過程中應用到以下知識點：（1）可以通過證明函數值的大小，結合函數的單調性，反推出變量的大小，即若，且單減，則；解題過程（2）單調性的性質，復合函數同增異減以