淮安市2021—2022學年度高二第二學期期末調研測試

數學試題

注意事項：

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及答題要求

1.本試卷共4頁，包括單項選擇題（第1題一第8題）、多項選擇題（第9題一第12題）、

填空題（第13題一第16題）、解答題（第17題一第22題）四部分.本試卷滿分為150

分，考試時間為120分鐘.

2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答

題卡的規定位置上.

3.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，必須用0.5毫米黑色墨水的

簽字筆將答案寫在答題卡的指定位置上，寫在本試卷上無效，

4.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等加黑、加粗.考試結束后，請將試卷

與答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（一一彳門的展開式中含爐項的系數為（）

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】由二項展開式的通項求解即可.

52r

（詳解】（--x）的展開式的通項為7；+1=C；'（x廠（—X）'=（T）'C；?x'°-,

令10-「=5,解得廠=5,則（=—R故含爐項的系數為T.

故選：A.

2.己知集合N均為R的子集，且（QM）CN=0,則MN=（）

A.0B.MC.ND.R

【答案】C

【解析】

【分析】根據給定條件，結合韋恩圖可得NqM,再利用交集的定義求解作答.

且第一組數據的線性相關性較第四組強，則乙>〃>0,

第二組數據的線性相關性較第三組強，貝！I同>同且與<0，4<0,則弓<4<0.

因此:，r2<r3<0<^<^.

故選：C.

5.某班50名同學參加體能測試，經統計成績c近似服從N（90,o-2）,若P（9（）Wc495）=0.3,則可

估計該班體能測試成績低于85分的人數為（）

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得正態分布曲線的對稱軸，再由已知條件結合對稱性求得P（C<85）,即可求得該班體

能測試成績低于85分的人數.

【詳解】由c近似服從N（90,cr2）,可知正態分布曲線的對稱軸為〃=90,

則P（85<c<90）=P（90<c<95）=0.3,

所以P（c<85）=g□-2尸（90<c<95）］=0.2,

則可估計該班體能測試成績低于85分的人數為50x0.2=10人，

故選：B.

6.已知隨機變量X滿足E（2—2X）=4,0（2—2X）=4,下列說法正確的是（）

A.E（X）=-1,Z）（X）=-1B.E（X）=1,Z）（X）=1

C.E（X）=-1,D（X）=4D.E（X）=-1,Z）（X）=1

【答案】D

【解析】

【分析】根據方差和期望的性質即可求解.

【詳解】根據方差和期望的性質可得：￡（2—2X）=-2E（X）+2=4n￡（X）=-l,

0（2-2X）=4O（X）=4nO（X）=l,

故選：D

7.已知函數y(x)=,卜曰,函數/(x)=/(x)—z?有四個不同的零點小演，七，/，且

IXrI1,,VZ

滿足：須＜々＜工3＜%，則下列結論中不正確的是()

A.O<Z?<1B.1<x<1

3C.西+%2=-4D.忍?14

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數/(x)圖象，根據函數圖象得出4個零點的關系及范圍，進而得出結論.

【詳解】函數F(x)=/(x)-。的四個不同的零點均，4，￡，&，就是函數y=/(x)與y=b兩個圖

象四個交點的橫坐標，

作出函數y=/(x)的圖象，

由圖象可知0＜匕41,故A正確；

由|1083才=1,可得x=g或x=3,結合圖象可知：4七＜1，故B錯誤；

根據二次函數的性質和圖象得出七玉=一2,所以西+々=—4,故C正確；

又|隆3'=|log3x/,Klog3x3＜0,log3x4＞0,

所以-log?X3=log3%,即log3x,+log3x4=log3(x,?%)=0,

所以七?％4=1,故D正確.

故選：B.

8.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為正方形，B4_L平面43cdPA=AB^M為PC上一動

點，PM=tPC,若為鈍角，則實數f可能為（）

Dl

【答案】D

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用即可求解.

【詳解】分別以AB、AD>/止為x軸，>軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示,

人

設PA=1，M(x,y,z),故P(O,O,1),C(l,l,O),PM=(x,y,z—l),FC=(1,1,-1),

x-t

由PM=，PC可知，，y=，，即

z-1=T

又因為NBA/。為鈍角，所以

由8。,0,0),。(0,1,0),可知加8=(1—,-"-1),=

M5MD=-r(l-f)-r(l-r)+(r-l)2<0,整理得3/一4r+l<0,

解得—<r<1,

3

故選：D.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是（）

A.某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X

B.測量一個年級所有學生的體重，在60依~70奴之間的體重記為X

C.測量全校所有同學的身高，在170c,"~175c機之間的人數記為X

D.一個數軸上隨機運動的質點在數軸上的位置記為X

【答案】AC

【解析】

【分析】根據離散型隨機變量的定義知，離散型隨機變量是可以列舉的；連續型隨機變量

不能一一列舉。

【詳解】電話1小時內使用的次數是可以列舉的，是離散型隨機變量，選項A正確；

體重無法一一列舉，選項B不正確；

人數可以列舉，選項C正確；

數軸上的點有無數個，點的位置是連續型隨機變量；選項D不正確；

故選AC.

10.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A,B,C,D,E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只

能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（）

A.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學甲必須選擇社區A,則不同的安排方法有25種

C.如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種

【答案】ABC

【解析】

【分析】求得社區A必須有同學選擇的方法數判斷選項A；求得同學甲必須選擇社區A的方法數判斷選

項B；求得三名同學選擇的社區各不相同的安排方法數判斷選項C；求得甲、乙兩名同學必須在同一個社

區的安排方法數判斷選項D.

詳解】安排甲、乙、丙三位同學到A,B,C,D,E五個社區進行暑期社會實踐活動，

選項A：如果社區A必須有同學選擇，

則不同的安排方法有5,-43=61（種）.判斷正確;

選項B：如果同學甲必須選擇社區A,則不同的安排方法有5z=25（種）.判斷正確；

選項C：如果三名同學選擇的社區各不相同，

則不同的安排方法共有5x4x3=60（種）.判斷正確；

選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，

再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，

則不同的安排方法共有5+5?425（種）.判斷錯誤.

故選：ABC

11.對于函數〃x）=F。，下列說法正確的有（）

2Txi

A./（x）在其定義域上偶函數

B./（x）在2,0）上單調遞減，在（0,2）。（2,+8）上單調遞增

C./（X）值域為（-00,-1）50,+8）

D./（x）W1有解集為（F,—2）u[-l,l]u（2,+8）

【答案】AD

【解析】

【分析】分段函數需要考慮定義域的范圍，對于含有絕對值的簡單的分段函數，可以先判斷奇偶性再畫

圖像更容易.

【詳解】畫出函數=圖像，如圖，

2-x

/(-x)=±±=7+=/(x)，為偶函數,關于y軸對稱,所以A正確；

/(X)在x>0時的函數圖像不是連續遞增，所以B不正確；

當x=0時，代入函數得/(0)=0,所以C不正確；

當/(x)=l時，代入得尤=-1或x=l,結合圖像可知，選項D正確.

故選：AD.

12.將邊長為近的正方形ABCQ沿8。折成如圖所示的直二面角4一3。一。，對角線8。的中點為0,

下列說法正確的有()

A.AC=V2B.AB1CD

n

C.二面角A—BC—O的正切值為血D.點B到平面AC。的距離為三

【答案】AC

【解析】

【分析】由面面垂直可得線面垂直，進而得線線垂直，根據勾股定理即可求解A,假設AB_LCD,進而

得到矛盾，即可判斷B,根據二面角的幾何求法即可求解C,根據等體積法即可判斷D.

【詳解】因為平面平面BC。,其交線為3。，且故。。_L平面所以

。。_1_49,由。。=40=(6。=1,所以4。=&，故人正確，

假若又因為則ABJ_平面AC。,進而ABJ.AC,而48=4。=3。=0這與

ABJ_CD矛盾，故ABJ_C￡>不可能成立，故B錯誤，

取8c中點為E,連接。區AE,因為OE_L5C,AO，平面詼,故可得AO±3C,進而可得，平

面AOE,因此BC_LAE,故NAEO為二面角A—3C—。的平面角,

=色」=應

tanZAEO=—:

EO1C￡)&，故C正確.

2T

@An-BCCDAOoG

>sACD%=S--------二*，故D錯誤.

^B-ACD=匕一BCD=

dACD-CD-ADsin60

2

故選：AC

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.甲、乙、丙三名同學競選班長、團支書、學習委員三個職位，每人只競選一個職位，設事件A為“三

人競選職位都不同”，B為"甲獨自競選一個職位”，則P(A|B)=.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】先求出事件8發生的概率和事件A事件B共同發生的概率，利用條件概率公式即可求出.

【詳解】由題三名同學競選三個職位，共有3x3*3=27種情況，

其中事件8的情況有3x2x2=12種，

事件A和事件B共同發生的情況有3x2x1=6種，

所以P(B)=二=入,P(AB)----

279279

所以小加篇H.

故答案為：7.

14.甲、乙兩名同學進行乒乓球比賽，每局比賽沒有平局且相互獨立，每局比賽甲勝的概率為p,若比賽

最大的項為

【答案】①.6②.96第，(或第六項)

【解析】

【分析】根據題意得到CJ+C：+C：=22,即可求得〃的值；利用展開式的通項，設展開式的第Z+1項

的系數最大，列出不等式組，進而求得展開式中系數最大的項.

【詳解】由題意可得C：+C：+C；=l+/+4(2=22且“eN*，

解得〃=6,

(1A61

二二項式一+2尤=(-)6(1+4X)6.

12)2

則(1+4x)6展開式的通項為&]=晨(4x)，=C》中￡,

Ck.4">C*T.41

設展開式的第4+1項的系數最大，則6~L,.，

C*-4*>Cg-4A1

解得4.6WZW5.6,所以后=5,

所以展開式中系數最大的項為7；=(；)6<：?45工5=96/.

故答案為：6；96x5?

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知非空集合A={x|m-lWxW3加-2},.①函數/(x)=J12+x—f的定義域

2

為集合8②不等式——<1的解集為艮試從以上兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，并解答.

x-1

(1)當加=3時，求A|J3；

(2)若AB=Af求實數機的取值范圍.

【答案】⑴選①Au3=[—3,7]；選②Au3=(y,l)u[2,+力)；

⑵選①；，2；選②；，l)u[4,+力).

【解析】

【分析】(1)由題可求出集合A3,然后利用并集的定義運算即得；

(2)由題可得A=然后利用集合關系列出不等式組，即得.

【小問1詳解】

若選①：當/%=3時，A=[2,7],

B={X|12+X-X2>0),解得3=[_3,4],

則AD8=[-3,7]；

若選②：當加=3時，A=[2,7],

B=,解得3=(-OO,1)U[3,+8)

則AuB=(-oo,l)u[2,+<?)；

【小問2詳解】

若選①：因為AB=A,

所以A=3,

m-\<3m-2

因為Aw0,所以<m-l>-3,

3m-2<4

解得,4機42,

2

所以，"的取值范圍為；,2；

若選②：因為A3=A,

所以A=

m-\<3m-2m-\<3m-2

因為A*0,所以《，、或，

m-l>33m-2<1

解得加G；』[u[4,+e),

所以，”的取值范圍為(,l]u[4,+e).

18.已知函數/(x)為定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=10g2x-l.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解不等式獷(工)20.

log2x-l,x>0

【答案】(1)〃X)=?O,X=O

l-log2(-%),%<0

(2)(-OO,-2]u{o}u[2,+OO)

【解析】

【分析1(1)設尤<0,則一x>0,帶入解析式，再利用奇函數的性質，即可求解.

(2)根據(1)的解析式，分段求解，即可.

【小問1詳解】

設x<0,則一x>0,/(-x)=log2(-x)-1=-/(%),貝U/(x)=l-log2(-x)

因為/'(x)為定義在R上的奇函數，所以x=0時/(x)=0

log2x-l,x>0

綜上/(x)=<O,X=O

l-log2(-x),x<0

【小問2詳解】

當x>0時，M"(x)2()即/(x)20,1(唱2》一120,解得xw[2,+00).

當x=0時，4(力=0符合題意；

當x<0時，V(x)20即/(x)K0，l-log2(-x)W0,解得xw(-°°，-2]

綜上，不等式4(x)2。的解集為(一?,—2]。{0}32,小).

19.(1)用二項式定理求3僧除以5的余數；

(2)某小組有8人，從中選擇4人參加活動，有兩種選法：第一種：直接選4人，有C：種選法.第二

利-如果該組的組長參加活動，則從剩余的7人中選3人，有C；種選法；如果該組的組長不參加活動,

則從剩余的7人中選4人，有C；種選法.因為這兩種選法的效果是一致的，所以我們可以得到一個等

式：C：=C；+C；.試將這種情形推廣：從“+1個元素中選擇膽個元素的不同選法得到的等式

是,并以此求解：C；+C；+C；++C；.(用數字作答).

【答案】(1)4；(2)C3=C；+C：T,84.

【解析】

【分析】(1)利用二項式定理展開式即可求解整除問題；

(2)利用類比推理及組合數的性質即可求解.

【詳解】(1)因為3i°=95=(10—1)5=XIO3X(-1)°+C；X104X(-1)'++C^xl()x(-1)4

+C；xlO°x(-l)5.在展開式中，前5項均可以被5整除，最后一項為-1,因此除以5的余數為4.

⑵類比引例方法可得C?.=C：+c?-'.

所以C；+C；+C；++C；=C；+C；+C；++C；=C：+C：++C；

=C；=84.

20.某校成立了生物興趣小組，該興趣小組為了探究一定范圍內的溫度x與就豆種子發芽數y之間的關

聯，在5月份進行了為期一周的實驗，實驗數據如下表：

日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

溫度20212315251719

發芽數y個25273019312122

該興趣小組確定的研究方案是：先從這7組數據中任選5組數據建立y關于x的線性回歸方程，并用該方

程對剩下的2組數據進行檢驗.

(1)若選取的是星期一、二、三、六、日這5天的數據，則求出y關于x的線性回歸方程；

(2)若由線性回歸方程得到的估計數據與選出的檢驗數據的誤差均不超過2個，則認為得到的線性回歸

方程是可靠的，試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為3=上七------------,a=y-b-x.

ta--元了

/=!

Q

【答案】(1)y=-x-7

(2)可靠

【解析】

【分析】(1)根據題中給出的數據，結合回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式計算即可求解；

(2)將星期四、五兩天的數據代入線性回歸方程，驗證誤差是否不超過2,即可得出結論.

【小問1詳解】

解：由數據得±=2(),亨=25.

55

因為E(x二君(V-2=32,Za一元尸=20，

/=1/=1

5

E(%—初力一刃8

所以------------=!.

￡(—)2

i=l

QQ

所以3=9一1H=25—2x20=—7.

Q

所以y關于x的線性回歸方程為》=^^一7.

【小問2詳解】

Q

解：由(1)知，y關于x的線性回歸方程為5=gX-7.

Q

當x=15時，^=|xl5-7=17,|19-17|<2.

Q

當x=25時，5>=]x25—7=33,|33-31|<2.

Q

所以，所得到的線性回歸方程》=1X-7是可靠的.

21.疫情過后，百業復蘇，某餐飲店推出了“三紅免單”系列促銷活動，為了增加活動的趣味性與挑戰

性，顧客可以從裝有3個紅球、7個白球的袋子中摸球參與活動，商家提供A、8兩種活動規則：規則

A：顧客一次性從袋子中摸出3個球，如果3個球都是紅球，則本次消費免單；如果摸出的3個球中有2

個紅球，則獲得價值200元的優惠券；如果摸出的3個球中有1個紅球，則獲得價值100元的優惠券；如

果摸出的3個球中沒有紅球，則不享受優惠.規則8：顧客分3次從袋子中摸球，每次摸出1只球記下顏

色后放回，按照3次摸出的球的顏色計算中獎，中獎優惠方案和規則A相同.

(1)某顧客計劃消費300元，若選擇規則A參與活動，求該顧客參加活動后的消費期望；

(2)若顧客計劃消費300元，則選擇哪種規則參與活動更加劃算？試說明理由.

【答案】(1)200元

(2)A、8都一樣，理由見解析

【解析】

【分析】(1)記顧客按照規則A參加活動后消費金額為X,則X可取0、100、200、300,計算出隨

機變量X在不同取值下的概率，進而可求得E(X)的值；

(2)記顧客按照規則8參加活動后消費金額為y,則y可取o、100、200、300,計算出隨機變量x

在不同取值下的概率，求出￡(丫)的值，比較E(X)、E(y)的大小，可得出結論.

小問1詳解】

解：記顧客按照規則A參加活動后消費金額為X，則X可取0、10（）、200、300,

C31C2C]?1

P（X=O）=W=-!-,尸（x=ioo）=*=3,

\）Co1201'Co120

P（X=200）=^-=—,P（X=300）=-^=—.

17C：。1201）C：。120

1r\i/2QC

則該顧客消費期望E（X）=Ox志+100x^+200x^+300x^=210.

答：該顧客參加活動后消費期望為210元.

【小問2詳解】

解：記顧客按照規則8參加活動后消費金額為y,則y可取0、100、200、300,

p（y=0）=0.33=0.027,P（r=100）=Cj-0.32-0.7=0.189,

P（Y=200）=C；-0.3-0.72=0.441,P[Y=300）=0.73=0.343.

該顧客消費期望￡（丫）=0x0.027+100x0.189+200x0.441+300x0.343=210.

按照規則B參加活動的期望與按照規則A的期望一致.

因此選擇規則A、5都一樣.