江蘇省揚州市2022-2023學年度上學期期末考試題

-a=-—?w/,、"一

高二數學2023.01

試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有

一項是最符合題意的.（請將所有選擇題答案填到答題卡的指定位置中.）

I.已知復數Z=i，（i為虛數單位），則±-z2的共軌復數的模是（）

Z

A.1B.GC.亞D.V7

2.已知集合A={x|ln(x+l)<2},8={ywZ|y=3sinx},則AB=()

A.{0,1,2,3}B.{0,3}C.{3}D.0

3.設q,02M3WR,則“4,42，生成等比數列”是“儲+明（*+。；）=（的2+%。3）2”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某中學全體學生參加了數學競賽，隨機抽取了400

名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50

分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的

區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，每組數據以組

中值（組中值=（區間上限+區間下限）/2）計算）,下列說

法正確的是（）

A.直方圖中x的值為0.035

B.在被抽取的學生中，成績在區間［70,80）的學生數為

30人

C.估計全校學生的平均成績為83分

D.估計全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為95分

.已知KtanJ=3cos2a,則sin2a=(

A.——B.—C.—D

363

6.在平面直角坐標系xOv中，M為雙曲線尤2-y2=4右支上的一個動點，若點M到直線

x—y+2=0的距離大于m恒成立，則實數m的最大值為（）

A.IB.y/2c.2D.2V2_

7.如圖是一個由三根細棒E4、PB、PC組成的支架，三根細棒小、

PB、PC兩兩所成的角都為60。，一個半徑為1的小球放在支架上，則?

球心。到點尸的距離是（）

A.|B.2C.GD.72

8.已知函數及其導函數7（x）的定義域均為R,且〃5x+2）是

偶函數，記g（x）=/'（x）,g（x+l）也是偶函數，則廣（2022）的值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.(請將所有選擇

題答案填到答題卡的指定位置中.)

9.如圖，在正方體ABCQ-ABCq中，E為4A的中點，則(

A.平面BEC

B.平面BEC

C.平面44用8,平面3EC

D.直線。。與平面BEC所成角的余弦值為4

10.已知函數/(x)=sin2(x+夕)(0<夕<?的一條對稱軸為x=],則()

A.“X)的最小正周期為nB./(0)=1

C.“X)在存與)上單調遞增D.

?

11.已知數列｛4｝中，4=2,a?+l=(7^+2+l)-2.則關于數列｛叫的說法正確的是()

A.生=5B.數列｛““｝為遞增數列

C.??=??2+2n-lD.數列■5—二)的前〃項和小于g

U+1J4

12.已知函數/(x)=|sinx|,g(x)=&(家>。),若“X)與g(x)圖象的公共點個數為“，且

這些公共點的橫坐標從小到大依次為不，演....4,則下列說法正確的有()

21

A.若九=1,則左>1B.若〃=3,則=—=天+一

sm2X3X3

2

C.若〃=4,則%+/<x>+￡D.若k=-----,則〃=2024

20234

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.(請將所有填空題答案填到答題卡的

指定位置中.)

13.己知(2/+?展開式中的各項系數和為243,則其展開式中含/項的系數為.

14.已知同=0,6=(-1,0),(。-匕)_La,則“與人的夾角為

>>>>

15.已知耳(-c,0),胤(c,0)為橢圓C:「+馬=1的兩個焦點，P為橢圓C上一點(P不在y

ab~

軸上)，鳥的重心為G,內心為且則橢圓C的離心率為.

16.對于函數/(x)和g(x),設ae｛于〃x)=0｝,尸e｛x|g(x)=0｝,若存在a、夕，使得

\a-p\<\,則稱f[x｝與g(x)互為“零點相鄰函數”.若函數/(x)=尸+x-2與

g(x)=x2-ar-a+3互為“零點相鄰函數”，則實數。的取值范圍為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(請

將所有解答題答案填到答題卡的指定位置中.)

17.已知數列｛a,,｝滿足，+2.(-1)".

(I)若q=l,數列｛%“｝的通項公式；

⑵若數列｛%｝為等比數列，求％.

csinA+sinC

18.記銳角一A8C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,tanB=----------

cosA4-cosC

⑴求5；

⑵求午1的取值范圍.

19.密室逃脫可以因不同的設計思路衍生出不同的主題，從古墓科考到蠻荒探險，從竊取密

電到逃脫監籠，玩家可以選擇自己喜好的主題場景在規定時間內完成任務，獲取獎勵.李華

參加了一次密室逃脫游戲，他選擇了其中一種模式，該游戲共有三關，分別記為A,B,C,

他們通過三關的概率依次為：若其中某一關不通過，則游戲停止，游戲不通過.只

有依次通過A,B,C三道關卡才能順利通關整個游戲，并拿到最終獎勵.現已知參加一次

游戲的報名費為150元，最終獎勵為400元.為了吸引更多的玩家來挑戰該游戲，商家推出

了一項補救活動，可以在闖關前付費購買通關幣.游戲中，若某關卡不通過，則自動使用一

枚通關幣通過該關卡進入下一關.購買一枚通關幣需另付100元，游戲結束后，剩余的未使

用的通關幣半價回收.

(1)若李華同學購買了一枚通關幣，求他通過該游戲的概率.

(2)若李華同學購買了兩枚通關幣，求他最終獲得的收益期望值.(收益等于所得獎勵減去報

名費與購買通關幣所需費用).

20.圖1是直角梯形4BCD,ABCD,ZD=90,AB=2,DC=3,AD=6CE=2ED，

以BE為折痕將8CE折起，使點C到達a的

位置，且AC；=#，如圖2.

(1)求點。到平面BQE的距離；

UUOIUUUT

(2)若=求二面角P-3E-A的大

小.

21.已知點。(1,2)是焦點為F的拋物線C：y2=2px(p>0)上一點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設點尸是該拋物線上一動點，點M,N是該拋物線準線上兩個不同的點，且的內

切圓方程為Y+y2=1,求PMV面積的最小值.

22.已知函數f(x)=lnx-or+a,其中awR.

(1)討論函數/(x)的單調性；

⑵若“X)在(0,1］上的最大值為0,

①求a的取值范圍；

②若f(x)<fee?_3亦+1恒成立，求正整數k的最小值.

參考答案：

29

一一z2=—+l=2i+l=l+2i

LC【詳解】因為Z=i3=—i,所以z-i,

所以二-Z?的共粗復數為l—2i,|1—2i|=6,

所以e-Z2的共貌復數的模是否.

Z

2.A【詳解】由】n（x+l）＜2,可得0＜犬+1＜/,則A={x「l＜》＜e--1}

XB={yeZ|y=3sinx}={-3,—2,-1,0,1,2,3},

所以Afi={0,l,2,3}.

3.A【詳解】①若4"外成等比數列，則w”「外,

所以儂+d）（裙+嫉）=儲+q.%）（%?生+宿）=［a］（q+《）］［（4+%間

=（4+%）201aj=（%+/J*=［（4+%）［］=（《生+a2a3丫；

②若4=a2=a3=0,

滿足（a：+嫉）（a；+a；）=（4生+42a3）一，

但是不滿足q,七,生成等比數列（因為等比數列中不能含有0）

“4M2g成等比數列”是“儲+^）3+d）=（3+。2%）2”的充分不必要條件，

4.D【詳解】對于A：根據學生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1,可得

10x（0.005+0.01+0.015+x+0.040）=1,解得x=0.03,故A錯誤；

對于B：在被抽取的學生中，成績在區間［70,80）的學生數為10x0.015x400=60人，

故B錯誤；

對于C：估計全校學生的平均成績為55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分;

故C錯誤.

02

對于D：全校學生成績的樣本數據的8。％分位數約為9。+應><1。=95分.

故D正確.

兀3兀a兀

a+—=P/?丁彳a=p—=3cos2a

5.D【詳解】設4,，則4,

即tanP=3cos3sin2/3,=6sin/7cosp,sin6工0,

cosp

故cos2/?=-,sin2a=sin

6

6.B【詳解】由點M到直線x—y+2=0的距離大于機恒成立，可得點M到直線

x—），+2=0的最近距離大于九因為雙曲線的漸近線為y=x,則y=x與x—y+2=0

的距離1=宏=發即為最近距離，則加即犯而=J5.

7.C【詳解】如圖所示，連接A8，AC,8C,作-ABC所

在外接圓圓心°|,連接A°,設PA=x，由四、心、

PC兩兩所成的角都為60。可得A8=AC=8C=x,因

,C=_A”62_后=

z~)4c/AO.AIJ?—=Al3XAr>4z_j__

為a為,ABC幾何中心，所以'2333,易知對△PAQ和POA4,

xPO

PA_=PO互=丁

NP=NP,NPO,A=NPAO=90°,所以△PAQ名△PQA,所以的A。，即可“，解得

PO=>j3

故選：C

8.C【詳解】因為〃"+2)是偶函數，所以/(—5x+2)=/(5x+2),

兩邊求導得-57'(-5x+2)=5f'(5x+2),即一尸(一5'+2)=/'(5;(:+2),

所以g(5x+2)=-g(-5x+2),即g(x)=-g(-x+4),

令x=2可得g(2)=-g(2),即g⑵=0,

因為g(x+l)為偶函數，

所以g(x+l)=g(-x+l),即g(x)=g(-x+2),

所以—g(-x+4)=g(—x+2),即g(x)=-g(x+2),

，g(x+4)=_g(x+2)=g(x),所以4是函數g(x)的一個周期,

所以廣(2022)=g(2022)=g(505x4+2)=g(2)=0,

9.ACD

10.ABD【詳解】因為函數/(x)=sin2(x+g)=?+=-gcos(2x+2⑼+g,

因為函數/(x)=sin2(x+s)(0<*<j的一條對稱軸為x=q,

jrb-rrjr

所以2x§+2^=E,(k￡Z),解得：^=~2—F,(kw&,

又因為0<夕<9，所以％=1,9=5，則/(x)=-gcos(2x+m)+1,

2o232

對于A,函數/(x)的最小正周期丁=兀，故選項A正確；

對于B,/(。)=-+g=；，故選項B正確；

對于C,因為所以兀<〃+方<曰，因為函數y=-cosf在(兀，日)上單調遞減，故

選項c錯誤；

對于D,因為/(x-m)=-!cos2x+《，令g(x)=|x|-/(x-F)=|x|+'cos2x-g，

622622

當0時，g(x)=x+gcos2x-g,則g'(x)=l-sin2xN0,所以g(x)在[0,+<?)上單調遞增，

則g(x)*g(0)=0,也即藝7T)，

6

當xvO時，g(x)=-x+gcos2x-g,貝ijg'(x)=-l-sin2x<0,所以g(x)在(一》,0)上單調遞

減，則gG)Ng(O)=O,也即—臺7T)，

O

綜上可知：國”口-高恒成立，故選項D正確，

11.BCD【詳解】由+2+1)-2,

得〃〃+1+2=(“,+2+1)2,即J〃“+]+2=J%+2+1,又q=2,再+2=2

所以｛而巧｝是以2為首項，1為公差的等差數列，

所以+2=2+(〃-1)x1=〃+1,即〃〃=〃2+2〃一1,

所以“2=7,故A錯誤，C正確;

=(“+1)2-2,所以｛%｝為遞增數列，故B正確；

1_,1_11]

a“+ln2+2n〃("+2)2(〃n+2J)

所以數列的前〃項和為11-：+卜；+卜:+--+—1-」7+!一一二1

[%+lJ2(32435〃-1〃+1nn+2J

If111131(11)3

=—1+-------------=-----------+----<—,故D正確.

2(2n+1n+2)42(〃+1n+2J4

12.BCD【詳解】對于A：當左=1時，令丫=而左一巴則產cosx-140,即函數尸sinx-x

有且僅有一個零點為0,同理易知函數y=finxr有且僅有一個零點為0,即〃x）與g（x）

也恰有一個公共點，故A錯誤；

易知在x=*3，且即€（萬,2I）,/（X）與g（x）圖象相切,由當X€（7152Tt）時,f（x）=-sinx,

k=-cosx,

則r(x)=-cosx,g'(x)=&,故-爪=也‘從而『a』所以

11l+ta"cosFO+ta/w)7

故B正確;

—+x3=tanx3+2

tanx3tanx3cosx3tanx3sin2X3

則占=0,乃<七<2萬，所以西+王<2萬，又f（x）圖象關于工=乃對稱，結合圖象有

xi-7T>7r-x2,即有X3+X2>2]+X4,故c正確；

對于D：當A=—時，由〃等9=g（Ul包]=1，f（x）與g（x）的圖象在了軸右側的

2023%2<27

前1012個周期中，每個周期均有2個公共點，共有2024個公共點，故D正確.

兀

13.8014.4

15.1【詳解】設P（M，%）&xO）,由于G是△尸耳鳥的重心，由重心坐標公式可得

6仁,康由于GM//F；鳥，所以”的縱坐標為加=年,

由于“是耳鳥的內心，所以△Pf；丹內切圓的半徑為廠=

由橢圓定義得伊可|+忸周=2以后用=2c,

SPF2t\=S“弓可+5,呻,+5用防=；|￡工|小。|=；（|耳用+|尸閭+內尸|）苧，

2cly()|=(2a+2c)=a=2c=e=；

16.2<?<3【詳解】因為〃1)=0,且函數=為單調遞增函數，所以1為函

數〃%)=61+》-2的唯一零點，

設函數8(幻=》2-依-〃+3的零點為方，

又因為函數/(x)=ex-'+x-2與g(x)=d-ar-a+3互為“零點相鄰函數”，

所以解得0<%<2,

所以函數8(%)=/-以-"+3在(0,2)上有零點，

0<-<2

-

a2

所以g(0)-g⑵<0或°<5<2或△=/_4(_〃+3)>0,

2

A=a-4(-a+3)=0g⑼>0

g(2)>0

7

即§<a<3或a=2或2<a<3,所以24a<3.

17.【詳解】(1)由題意得。e-%=2-(一1)”,

所以生”=(生”一生,1)+(出,1一生”-2)++(%-4)+4

=2-(-1)2"-1+2-(-1)2，，-2++2x(-1)'+!=-2+1=-1.

(2)設數列｛《,｝的公比為。，

因為a“+i=a?+2-(—1)，所以a?=4-2,a3=a2+2,兩式相加得見=q=q，所以q=±1,

當4=1時，%=4=4-2不成立，所以“=-1,。2=-4=4-2,解得％=1.

ic?、*八、n-1sinA+sinCsinBsinA+sinC

18.【詳解】(1)因為tanB=---即-nn-=---------

cosA+cosCcosBcosA+cosC

所以sinBoosA+sinBcosC=cosBsinA+cosBsinC,

即sinBcosA一cosBsinA=cosBsinC-sinBcosC,所以sin(8-A)=sin(C-B),

因為OVAVTC,0<8<兀，所以一兀vB-Av兀，同理得一兀VC—BVTC,

所以B—A=C—B或(8—A)+(C—3)=±兀(不成立)，

所以2B=A+C,結合A+B+C=TT得8=g.

1xy2,2_r2

(2)由余弦定理COSB=L=區二~匕得，ac=a2+c2-b2,

22ac

^ac-a2=c2-b2,則與以三三T，

b~h2b2\b)

由正弦定理得，-=^=^sinC,

bsinB3

因為8=工，A+C=—,0<A<-,0<C<—,所以二vC<工，—<sinC<1,

3322622

所嚀料竽｝寫明KJ

19.【詳解】(1)由題意可知：這一枚通關幣的使用情況有四種：

①在第一關使用；②在第二關使用；③在第三關使用；④沒有使用.

.211

而通過三關的概率依次為：

則李華通過該游戲的概率P=：1x；1x；1+2：x1；x1：+2；x1；x252+31x；1x；=：1.

3233233233232

(2)購買兩枚通關幣的費用為200元，報名費為150元，

則收益可能為：%,=400-(150+200-100)=150(未使用通關幣過關)，

x2=400-(150+200-50)=100(使用1枚通關幣且過關),

鼻=400-(150+200)=50(使用2枚通關幣且過關)，

%="(150+200)=-350(使用2枚通關幣且未過關)，

2111117

則p(x.=150)=-x-x-=-p(x,=100)=------=—

3239-2918

,91111122I27,…、1121

p(x,=50)=—x—x—+-x—x—■F—x—x—=一p(x,=-350)=—x—x—=—

?’3233233231843239

1771325

則E(x)=150x—+100x—+50x——350x-=—.

9181899

所以他最終獲得的收益期望值是于元.

20【詳解】⑴解:如圖所示：

連接AC,交BE于F,

因為NO=90,AB=2,DC=3,4￡)=6，CE=2ED.

所以AE=2,

又A8CD,

所以四邊形ABCE是菱形，

所以ACLBE,

在.AC。中，AC=^AEr+CD2=2^>

所以A尸=b=J5,又AC1=瓜,則=A尸+CF：

所以又AFcBE=F,

所以GFJ?平面ABED,

設點D到平面BC、E的距離為h,

X

因為Sc、BE=~2X>/3=石,SmF=-^X1X6=,且V.DBE=^D-QBE，

所以gx/lXSJBE=；XC/*S“BE，解得/?=弓；

(2)由(1)建立如圖所示空間直角坐標系：

則。T,-r°6(0，。，石)，8(0，1，0)以0,-1,0),4(魚0,0),

\/

uu、uiuiiLni1iiuur

所以BA=(zG,T,0),BE=(0,-2,0),因為,

uuruunuunuimiuuur(J3

所以3尸=3￡>+DP=5O+§OG二號,一2,

設平面BEP的一個法向量為m=(x,y,2),

f-2y=0

tn-BE=0)

則八，即白cGZ

mBP=0——x-2y+——z=0

I33

令x=l,得》7=(1,0,-1),易知平面BE4的一個法向量為”=(0,0,1),

U1/-

/1rr\mn\/2/ITr3冗

所以COS(〃?,〃六翱=一3，則(八〃x)=彳，

易知二面角P-3E-A的平面角是銳角，

TT

所以二面角尸-比-A的大小為7

21.【詳解】(1)因為點。(1,2)是拋物線C：V=2px(p>0)上一點,

所以4=2p,解得：p=2,

所以丁=4x.

(2)設點一伍，兒)，點M(—La),點N(T〃)，直線PM方程為：>一〃?=%詈(》+1),

化簡得(為一加)光一5+l)y+(%-m)+加(為+1)=0.

_PMN的內切圓方程為r+丁=1,.?.圓心(0,0)到直線PM的距離為1,即

|%一〃?+〃?(為+1)[二[

，(%-"?)2+伍+1)2

22

故(y0-"ip+(%+1『=(%-〃?『+2m(y0-m)(x0+l)+m(x0+1).

易知上式化簡得，(%—1)加2+2%6—(與+1)=。.

同理有(為-1)〃2+2%〃-(毛+1)=0,

.?.〃?，”是關于f的方程(改)-1)/+2卬-(毛+1)=0的兩根.

一2%—(x04-1)

/.m+n=-4-,mn=-LJl_L.

*o-1Xo-1

|MN「=(/n-rt)2=(m+/?)24)'\,+4(.%+1).尤=4方,

.-.\MN\=2、卜。+4x=l,

丫(%0-1)1=v(%-