思考題1.寫出微分方程

y

-

4

y

+

4

y

=

6

x2

+

8e2

x的待定特解的形式.2.寫出微分方程y￠+

4

y￠=

2

cos2

(2

x)的待定特解的形式.思考題解答2.設

y

-

4

y的特解為2+

4

y

=

6

x*1y2

xy

-

4

y

+

4

y

=

8e設 的特解為*2y21則所求特解為

y*

=

y*

+

y*

r

2

-

4r

+

4

=

0=

21,2特征根r\

y*

=

Ax2

+

Bx

+

C12y*

=Dx2e2

x（重根）21y*

=

y*

+

y*=

Ax

2

+

Bx

+

C

+

Dx

2

e

2

x

.思考題解答3.原方程可化為

y

+

4

y

=

1

+

cos

4

x21則所求特解為

y*

=

y*

+

y*

r

2

+

4r

=

0特征根

r1

=

0，r2

=

－4\

y*

=

Ax1y*

=

B

cos

4

x

+

C

sin

4

x2=

Ax

+

B

cos

4

x

+

C

sin

4

x設 的特解為1y*y

+

4

y

=

1設

y

+

4

y

=

cos

4

x*的特解為

2y21\

y*

=

y*

+

y*一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系數線性差分方程解的結構四、小結第六節差分與差分方程的概念

常系數線性差分方程解的結構一、差分的概念1.差分的定義設函數y

=f

(x).當x取非負整數時，函數值可以排成一個數列:f

(0)，f

(1)，，f

(

x)，f

(

x

+

1)，將之簡記為y0，y1，y2，，y

x，yx

+1

,稱函數的改變量

yx

+1

-

yx

為函數y的差分，也稱為一階差分，記為

Δ

yx

=

yx

+1

-

yx

.函數y

=f

(x)的二階差分為函數y的一階差分的差分,即Δ2

y

=

Δ(Δ

y

)

=

Δ(

y

-

y

)x

x x

+1

x=

(

yx

+2

-

yx

+1

)

-

(

yx

+1

-

yx

)=

yx

+2

-

2

yx

+1

+

yx同樣可定義三階、四階差分：D3

y

=

D(D2

y

),

D4

y

=

D(D3

y

)x

x

x

x高階差分：二階及二階以上的差分.例1求D(x

2

),D2

(x

2

),D3

(x

2

).解設y

=x

2，則2

2

2Dyx

=

D(

x

)

=

(

x

+

1)

-

x

=

2

x

+

1D2

y

=

D2

(

x

2

)

=

D(2

x

+

1)x=

[2(

x

+

1)

+

1]-

(2

x

+

1)

=

2D3

y

=

D3

(

x

2

)

=

2

-

2

=

0x解

(1)Dyx

=

yx

+1

-

yx例2求下列函數的差分(1)

y

=

loga

x;

(2)

y

=

sinax=

loga

(

x

+

1)

-

loga

xxa=

log

(1

+

1

);.a22=

2

cos

a(

x

+

1

)

sin=

sin

a(

x

+

1)

-

sin

ax(2)Δ

yx解Dyx

=

yx

+1

-

yx=

(

x

+

1)!-

x!=

x

x!D2

y

=

D(Dy

)=

D(x

x!)x

x=

(x

+

1)

(x

+

1)!-

x

x!=

x

2

+

x

+

1)x!例3

求y

=

x!

的一階差分，二階差分

.解(

n) (

n)Dyx

=

(

x

+

1)

-

x=

(

x

+

1)

x(

x

-1)(

x

+

1

-

n

+

1)

-

x(

x

-1)(

x

-

n

+

2)(

x

-

n

+

1)=

(

x

+

1)

-(

x

-

n

+

1)]x(

x

-1)(

x

-

n

+

2)=

nx(

n-1)(

n)=

1，求Δ

yx

(即Δ(

x

)).x

(0)例4

設y

=

x

(

n)

=

x(

x

-

1)(

x

-

2)(

x

-

n

+

1),（公式）2.差分的四則運算法則D(Cyx

)=CDyx

(C為常數)D(

yx

+

zx

)

=

Dyx

+

DzxD

yx

zx

)=

yx

+1Dzx

+

zx

Dyx

=

yx

Dzx

+

zx

+1Dyxx x

+1x x

+1=zx

Dyx

-

yx

Dzx

=

x

(4)Dz

yx

z

zzx

+1Dyx

-

yx

+1Dzxz

z參照導數的四則運算法則學習D

yx

zx

)zxzx

+1

+

yx

zx

+1

-

yxzx

+1

-

yxzx

+1

-

yx=

yx

+1=

yx

+1zxyx

+1

-

yx

)zx

+1

+

yx

zx

+1

-

zx

)==

z

x

+1Δ

yx

+

yxΔ

z

x證明（3）zx

)zxzx

+1

-

yxD

yx=

yx

+1=

yx

+1zx

-

yx

zxzx

+1

-

yx

+1

zx

+

yx

+1又證明（3）zx

+1

-

zx

)+

yx

+1

-

yx

)

zx=

yx

+1=

yx

+1Δ

z

x

+

z

xΔ

yx分析設y

=

x

3，求Δ3

y

.xy

=

x

3=

x(

x

-

1)(

x

-

2)

+

3

x(

x

-

1)

+

x例5=

x(3)

+

3

x(2)

+

x(1)Dx(

n)

=

nx(

n-1)借助公式和差分的運算法則可求解D3

y

=

DD(Dy

)x

x=

DD(Dx(

3)

+

3Dx(

2)

+

Dx(1)

)=

DD[3

x(

2)

+

6

x(1)

+

x(0)

]=

D[3Dx(2)

+6Dx(1)

+D1]=

6Dx(1)

+

6Dx(0)

=

6.解設y

=

e

2

x，求Δ2

y

.xDyx

=

yx

+1

-

yx=

e2(x

+1)

-

e2

x例6e

2

-

1);=

e

2

x=

D

e

e2

-1)2

x(

)xxD2

y

=

D

Dy=

e2

-1)De2

x

=

e

2

x

(e

2

-

1)2

.二、差分方程的概念1.差分方程與差分方程的階定義1含有未知函數的差分

Δ

y

,Δ2

y

,的函數方程x

x稱為差分方程.形式：F

(

x,

y

,

Dy

,

D2

y

,,

Dn

y

)

=

0x

x

x

x定義2含有未知函數兩個或兩個以上時期的符號y

x

,y

x

+1

,的方程，稱為差分方程.形式：F

(x,yx

,yx

+1

,,yx

+n

)=0或G(

x,

yx

,

yx

-1

,,

yx

-n

)

=

0

(n

?

1)方程中未知數下標的最大值與最小值的差稱為差分方程的階.注：由差分的定義及性質可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉換。如yx

+5

-4

yx

+3

+3

yx

+2

-2

=0是三階差分方程；D3

y

+y

+1

=0，雖然含有三階差分，x

x但實際上是二階差分方程，由于該方程可以化為yx

+3

-3

yx

+2

+3

yx

+1

+1

=0因此它是二階差分方程，事實上，作變量代換t

=x

+1，即可寫成yt

+2

-

3

yt

+1

+

3

yt

+

1

=

0.例

7

下列等式是差分方程的有(

).C

.D2

y

=

y

-

2

y

+

yx x

+2

x

+1

xD.

yx

-

2

yx

-1

+

3

yx

-2

=

4解由差分方程的定義有：A,D是差分方程.B的左端

-

3Dyx

=

-3(

yx

+1

-

yx

)

=

-3

yx

+1

+

3

yx，x則等式實為-3

yx

+1

=a

，僅含一個時期的函數xB.

-

3Dyx

=

3

yx

+

aA.2Dyx

=

yx

+

x值y

，故不是差分方程

.而C的左端D2

y

=D(yx

+1

-yx

)=Dyx

+1

-Dyx

=yx

+2

-2

yx

+1

+yx，恰好等于右端，故不是差分方程.x

+1

x例8確定下列方程的階2(1)

yx+3

-

x

yx+1

+

3

yx

=

2(2)

yx-2

-

yx-4

=

yx+2解(1)

x

+

3

-

x

=

3，\(1)是三階差分方程；(2)

x

+

2

-

(

x

-

4)

=

6，\(2)是六階差分方程.2.差分方程的解如果函數y

=φ(x)代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數為該差分方程的解.差分方程的通解含有相互獨立的任意常數的個數與差分方程的階數相同的差分方程的解.為了反映某一事物在變化過程中的客觀規律性，往往根據事物在初始時刻所處狀態，對差分方程所附加的條件.差分方程的特解通解中任意常數被初始條件確定后的解.例9

yx

,Ux

,Zx分別是下列差分方程的解

yx

+1

+ayx

=f1

(x),yx

+1

+ayx

=f2

(x),yx

+1

+ayx

=f3

(x)初始條件證明

由題設知：yx+1

+

ayx

=

f1

(

x)Ux+1

+

aU

x

=

f2

(

x)Zx+1

+

aZ

x

=

f3

(

x)\

Vx+1

+

aVx

=

yx+1

+

ayx

+

Ux+1

+

aUx

+

Zx+1

+

aZ

x=

f1

(

x)

+

f2

(

x)

+

f3

(

x)\

Vx

是所給差分方程的解

.求證Vx

=

yx

+

Ux

+

Zx是差分方程yx

+1

+ayx

=f1

(x)+f2

(x)+f3

(x)的解.三、常系數線性差分方程解的結構n階常系數齊次線性差分方程的標準形式yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1yx

+1

+

an

yx

=

0n階常系數非齊次線性差分方程的標準形式yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f

(x)f

(x)?

0(1)(2)注：(1)為(2)所對應的n階常系數齊次線性差分方程.yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1yx

+1

+

an

yx

=

01.

n階常系數齊次線性差分方程解的結構(1)無法顯示該圖片。定理

1

如果函數

y1

(

x),

y2

(

x),

，y

k

(

x

)

是方程(1)的k

個解,那末

y

=

C1

y1

+

C2y2

++

Ck

yk

也是(1)的解.（

C1

,

C2，，Ck

是任意常數）問題:若k

=n，則y

=C1y1

+C2y2

++Ck

yk

一定是通解嗎？是任意常數）（

C1

,

C2，，Cn注：設y1

,y2

,

,yn

為定義在區間I

內的n個函數．如果存在n個不全為零的常數，使得當x

在該區間內有恒等式成立k1

y1

+

k2

y2

+

+

kn

yn

=

0那么稱這些函數在區間內線性相關；否則稱線性無關.定理2：如果y1

(x),y2

(x)，，yn

(x)是方程(1)的n個線性無關的特解,那么y

=C1

y1

+C2

y2

+

+Cn

yn就是方程(1)的通解.例如當x

?

(-￥

,+￥

)時，e

x，e-

x

,

e2

x線性無關1，cos2

x, sin2

x

線性相關由此可見，要求出n階常系數齊次線性差分方程（1）的通解，只需求出其n個線性無關的特解.2.

n階常系數非齊次線性差分方程解的結構*定理

3

設

yx

是n

階常系數非齊次線性差分方程*yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f

(x)(2)的一個特解,

Yx

是與(2)對應的齊次方程(1)的通解,

那么

yx=

Yx

+

yx

是n

階常系數非齊次線性差分方程(2)的通解.由此可見，要求出n階常系數非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個特解即可.定理

4

設非齊次方程(2)的右端

f

(

x)是幾個函數之和,

如yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f1

(x)+

f2

(x)而*

與1

2y

y*

分別是方程,*

*1

2y

+

y的特解,

那么

就是原方程的特解.yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f1

(x)

yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f2

(x)證明

把函數y

=

C

+

2

x代入差分方程yx

+1

-

yx

=

2，則左邊

=

[C

+

2(x

+

1)]-

(C

+

2

x)=

2

=

右邊，所以y

=

C

+

2

x是差分方程yx

+1

-

yx

=

2的解，它又含有一個任意常數，而所給差分方程又是一階的，故y

=C

+2

x是該差分方程的通解.例10驗證：y

=C

+2

x是差分方程

y

x

+1

-

y

x

=

2的通解.四、小結差分的定義差分方程與差分方程的階差分方程的解、定解條件和通解4.常系數線性差分方程解的結構練習題1.設y

=a

x，求Dy

x.2.設y

=x

2

+2

x，求D2

y.下列等式是差分方程的

有（）A、-

3

yx

=

3

yx

+

a

x

,

B、D2

yx