2022屆江西省豐城市高三上學期期末聯考數學（理）試題一、單選題1．集合的真子集的個數是（

）A．15 B．8 C．7 D．63【答案】C【分析】根據條件求解的范圍，結合，得到集合為，寫出其真子集即得解.【詳解】由于，，又，，，即集合，該集合的所有真子集為，該集合的真子集個數為，故選：C.2．已知（i是虛數單位），則（

）A． B．1 C．0 D．i【答案】B【分析】根據復數的乘方運算結合虛數單位i的性質，即可求得答案.【詳解】由題意,故選：B3．已知，，條件，條件，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用“1”的妙用探討命題“若p則q”的真假，取特值計算說明“若q則p”的真假即可判斷作答.【詳解】因，，由得：，則，當且僅當，即，時取等號，因此，，因，，由，取，則，，即，，所以是的充分不必要條件.故選：A4．函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】分析函數的奇偶性及其在上的函數值符號、以及函數的零點，結合排除法可得出合適的選項.【分析】由，可得且，故函數的定義域為，，即函數為奇函數，排除D選項；當時，，，則，則，排除C選項；由可得，排除B選項.故選：A.5．某平臺設有“人物”“視聽學習”等多個欄目．假設在這些欄目中，某時段“人物”更新了2篇文章，“視聽學習”更新了4個視頻．一位學習者準備從更新的這6項內容中隨機選取2個視頻和2篇文章進行學習，則這2篇文章學習順序相鄰的學法有（

）A．36種 B．48種 C．72種 D．144種【答案】C【分析】先從4個視頻中選2個，再全選2篇文章，然后將2篇文章捆綁與三個學習內容全排列，最后利用分步計數原理求解.【詳解】根據題意，從4個視頻中選2個有種方法，2篇文章全選有種方法，2篇文章要相鄰則可以先捆綁看成1個元素，三個學習內容全排列有種方法，最后需要對捆綁元素進行松綁全排列有種方法，故滿足題意的學法有（種）．故選：C6．某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價(元)456789銷量(件)908483807568由表中數據，求得線性回歸方程=-4x+a，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得樣本點，進而得到回歸直線方程，再得到在回歸直線右上方的點的個數，代入古典概型概率公式求解.【詳解】因為，，所以，即滿足的點有，共3個所以在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為，故選：C7．某中學高三（1）班有50名學生，在一次高三模擬考試中，經統計得：數學成績，則估計該班數學得分大于120分的學生人數為（

）（參考數據：）A．16 B．10 C．8 D．2【答案】C【分析】根據正態分布的性質，結合題中所給的公式進行求解即可.【詳解】因為數學成績，所以，因此由所以有，估計該班數學得分大于120分的學生人數為，故選：C8．已知定義在R上的函數為偶函數，當時，，則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】D【分析】在上為增函數，再利用的圖像關于直線對稱可得，解這個不等式可得的取值范圍.【詳解】當時，為增函數，也是增函數，故為增函數.又因為函數為偶函數，所以的圖像關于直線對稱.因為，故即，兩邊平方后得到即，故選D．【點睛】本題考查函數的單調性和函數圖像的對稱性，函數單調性的判斷一方面要熟悉基本初等函數的單調性，另一方面也要知道復合函數及函數的四則運算后函數單調性的判斷方法（一般地，增函數與增函數的和為增函數，增函數與減函數的差為增函數，復合函數的單調性的判斷方法是同增異減）.另外，如果函數的解析式滿足，那么函數的圖像關于直線對稱.9．已知圓O的方程為，過圓O外一點作圓O的一條切線，切點為A，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量數量積公式得到，由勾股定理得到，設，，利用三角恒等變換求出最大值.【詳解】因為為圓O的一條切線，故，則，解得，由勾股定理得，即，可設，，則，其中，故的最大值為.故選：A10．在中，內角A，B，C的對邊分別a，b，c，若，，則，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正弦定理邊角互化可得，進而可得，根據向量的模長公式，由余弦定理結合基本不等式即可求解.【詳解】由題意知，由正弦定理知，，又，，故在中,．，，又由余弦定理可得：，，由，當且僅當時取等號，，的最大值為．又，故的取值范圍是，11．由1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的五位數，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數字保持遞減，后3個數字保持遞增”（如五位數“43125”，前3個數字“431”保持遞減，后3個數字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據已知條件“定位”中間數字，其次在剩余的四個數字中任取兩個數字，放置在首或末位，則其余數字排列方式唯一確定.最后由古典概型計算公式即可得解【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的五位數共個，前3個數字保持遞減，后3個數字保持遞增，說明中間數字為1；在剩余的四個數字中任取兩個數字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個數字保持遞減，后3個數字保持遞增”的五位數有個，所以所求的概率．故選：A．12．設，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構造函數,證明；構造函數，證明，即得解.【詳解】解：設所以所以所以單調遞增，單調遞減，所以當時，，所以在上恒成立，所以函數在單調遞增，所以，所以.所以.設，所以，設，所以在上單調遞減，所以，所以，所以函數在上單調遞減，所以，所以.故.故選：B二、填空題13．已知函數，則_____【答案】【分析】先判斷得，代入分段函數解析式計算得，再計算.【詳解】因為，所以，從而得.故答案為：.14．若，在展開式中，各項系數和與二項式系數和之和為65，則展開式常數項為______．【答案】60【分析】根據定積分可得，進而由二項式的通項特征即可求解通項為，令即可代入求值.【詳解】，，令，故得系數之和為1，而二項式系數和為由二項式系數和以及項之和可得，由于二項式展開式的通項為，令，所以常數項為，故答案為：6015．設Sn是等差數列｛an｝的前n項和，若，則＝【答案】【詳解】試題分析：若Sn是等差數列｛an｝的前n項和，則也是等差數列；所以也是等差數列，由可設，則，于是可得相鄰三項和依次為，即，所以.16．若函數圖像上有且僅有兩對點關于軸對稱，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】利用對稱性，將問題轉化成與有兩個不同的交點，從而得到有兩個解，再通過分離常量得到，構造函數，利用單調性求出的取值范圍，進而求出結果.【詳解】當時，，其關于軸對稱的函數為，因為函數圖像上有且僅有兩對點關于軸對稱，所以，由，得到，所以有兩個不同的交點，令，則，所以，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，又當時，，當時，，故的圖象如圖，所以，故答案為：.三、解答題17．已知函數，為奇函數，其圖像相鄰的對稱軸之間的距離為．(1)求函數的解析式及其減區間；(2)在中，角A、B、C對應的邊為a、b、c，若，，，求．【答案】(1)，的減區間為；(2).【分析】（1）由輔助角公式化簡函數解析式，然后由對稱軸間距離求得周期得，由奇函數性質得，從而得解析式，然后利用正弦函數的單調性得減區間；（2）由（1）求得，利用正弦定理求，由內角和公式求，由三角形面積公式求．【詳解】（1），由函數相鄰的對稱軸之間的距離為，，所以，又，故∴，又∵為奇函數，∴，即，得，即，而，故，因為函數的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以為奇函數，滿足要求，令，得，∴的減區間為；（2）由（1）可知，又，所以，即，∵，∴，∴，即，由正弦定理可得，又，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以.18．根據11月份中國某信息網發布的我國A市2021年上半年新銳品牌人群用戶（新銳品牌人群，指在指定周期內瀏覽新銳品牌相關內容以及商品詳情頁的人群）性別分析數據，得到男性、女性用戶比例為．A市對購買家電類新銳品牌人群中隨機調查了100位男性顧客和100位女性顧客，統計出每位顧客購買家電消費金額，根據這些數據得到如下的頻數分布表：消費金（元）女性顧客人數50301064男性顧客人數204024106(1)若以我國A市2021年上半年新銳品牌人群用戶性別分析數據作為A市抽取新銳品牌人群中性別概率，從A市新銳品牌人群中隨機抽取4人，X為4人中男性的人數，求X的數學期望．(2)根據A市統計購買家電消費金額數據頻數分布表，完成下列列聯表，并根據列聯表，判斷是否有的把握認為購買家電類新銳品牌人群消費金額千元以上與性別有關？不超千元千元以上合計女性顧客男性顧客合計附：，0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】(1)3(2)列聯表見解析；有的把握.【分析】（1）計算出從A市新銳品牌人群中隨機抽取1人為男性的概率為，判斷，即可求得答案；（2）由題意得出列聯表，計算的值，與臨界值表比較，即可得結論.【詳解】（1）由題意知以我國A市2021年上半年新銳品牌人群用戶性別分析數據作為A市抽取新銳品牌人群中性別概率，男性、女性用戶比例為，故從A市新銳品牌人群中隨機抽取1人為男性的概率為，則隨機抽取4人，X為4人中男性的人數，則,故X的數學期望為.（2）由題意可得列聯表：不超千元千元以上合計女性顧客8020100男性顧客6040100合計14060200故，故有的把握認為購買家電類新銳品牌人群消費金額千元以上與性別有關.19．已知數列滿足，且.(1)證明：是等比數列，并求的通項公式；(2)在①；②；③這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并加以解答.已知數列滿足__________，求的前項和.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)證明見解析，(2)答案見解析【分析】（1）利用遞推公式，結合等比數列的定義和通項公式進行求解即可；（2）若選①：利用錯位相減法進行求解即可；若選②：根據對數的運算性質，結合等差數列前項和公式進行求解即可；若選③：根據裂項相消法進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以，又，于是，所以是以4為首項2為公比的等比數列.所以，兩邊除以得，.又，所以是以2為首項1為公差的等差數列.所以，即.（2）若選①：，即.因為，所以.兩式相減得，，所以.若選②：，即.所以若選③：，即.所以20．甲、乙兩支女子排球隊進行排球比賽，每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束），假設在每局比賽中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為，各局比賽的結果相互獨立．(1)求乙隊獲勝的概率；(2)設比賽結束時甲隊和乙隊共進行了局比賽，求隨機變量的分布列及數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據題意，結合五局三勝制規則，分別求得比賽三、四和五局且乙隊獲勝的概率進而求得乙隊獲勝的概率；（2）隨機變量的取值為3，4，5，求得相應的概率，得出分布列，利用公式求得期望.【詳解】（1）由題意知，比賽三局且乙隊獲勝的概率，比賽四局且乙隊獲勝的概率為，比賽五局且乙隊獲勝的概率為，所以乙隊獲勝的概率為．（2）依題意隨機變量的可能取值為，，，則，，，所以隨機變量的分布列為345所以．21．已知函數．(1)當，時，討論函數的單調性；(2)若，且，若，求實數的m最大值．【答案】(1)答案見解析；(2)m最大值為．【分析】（1）首先求出函數的導函數，再對分類討論，分別求出函數的單調區間；（2）首先求出函數的導函數，依題意方程有兩個正根，利用韋達定理得到不等式組，即可求出參數的取值范圍，從而得到，再令，利用導數求其范圍，由此可得m最大值．【詳解】（1）因為當，時，可得，令，解得或2，當時，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增；當時，，當且僅當時取等號，故函數在上單調遞增；當時，當時，函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞減，當時，函數在上單調遞增，（2）當時，．所以方程有兩個正根，且，解得，由題意得，令．則在上單調遞椷，，，因為恒成立，所以，所以m最大值為．【點睛】關鍵點點睛：用導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面：（1）在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域；（2）不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區間寫成并集形式；（3）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.22．已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：和：，曲線分別交，于，兩點.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)求的面積.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）先求出曲線的普通方程，再求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）設，所以，設，可得，再求解.【詳解】（1）解：由參數方程（為參數），可得消去可得的普通方程為.又代入，可得，即的極坐標方程為；由極坐標方程，可得，所以的直角坐標方程為.（2）解：設，將代入，可得