專題1.25平行線拓展與探究（基礎篇）（專項練習）1．學習完平行線的性質與判定之后，我們發現借助構造平行線的方法可以幫我們解決許多問題．（1）小明遇到了下面的問題：如圖，點P在、內部，探究，，的關系．小明過點P作的平行線，可得到，，之間的數量關系是：________________.（2）如圖2，若，點P在AC、BD外部，，，的數量關系如何？為此，小明進行了下面不完整的推理證明.請將這個證明過程補充完整，并在括號內填上依據．過點P作．∴（________________________________）∵，∴（________________________________）∴，∵，∴________________.（________________）（3）隨著以后的學習你還會發現平行線的許多用途．如圖3，在小學中我們已知道，三角形ABC中，．試構造平行線說明理由.2．探索：小明和小亮在研究一個數學問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經過點P，探索∠P與∠A、∠的數量關系．發現：在圖1中，小明和小亮都發現：∠APC＝∠A+∠C；小明是這樣證明的：過點P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A()∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD()∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C小亮是這樣證明的：過點作PQ∥AB∥CD．∴∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C請在上面證明過程的過程的橫線上，填寫依據；兩人的證明過程中，完全正確的是．應用：在圖2中，若∠A＝120°，∠C＝140°，則∠P的度數為；在圖3中，若∠A＝30°，∠C＝70°，則∠P的度數為；拓展：在圖4中，探索∠P與∠A，∠C的數量關系，并說明理由．3．如圖1，AB∥CD，點E是直線AB、CD之間的一點，連接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，則∠AEC＝．②若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝．③猜想圖1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的關系，并證明你的結論（提示：作EF∥AB）．（2）拓展應用：如圖2，AB∥CD，線段MN把ABCD這個封閉區域分為I、Ⅱ兩部分（不含邊界），點E是位于這兩個區域內的任意一點，請直接寫出∠EMB、∠END、∠MEN的關系．4．（1）問題發現：如圖，直線，E是AB與CD之間的一點，連接BE，CE，可以發現．請把下面的證明過程補充完整：證明：過點E作，已知，輔助線的作法．____________，同理．______等量代換即．（2）拓展探究：如果點E運動到圖所示的位置，其他條件不變，進一步探究發現：，請說明理由．（3）解決問題：如圖，，，，請直接寫出的度數．5．已知，點為平面內一點，連接.（1）探究：如圖1：，，則的度數是___________；如圖2：，，則的度數是___________.（2）在圖2中試探究，，之間的數量關系，并說明理由.（3）拓展探究：當點在直線，外，如圖3、4所示的位置時，請分別直接寫出，，之間的數量關系.6．（1）問題發現：如圖①，直線AB∥CD，E是AB與CD之間的一點，連接BE，CE，可以發現∠B+∠C=∠BEC．請把下面的證明過程補充完整：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（）∴∠C=∠CEF．（）∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=（等式性質）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，試寫出∠A、∠C、∠AEC的數量關系．（直接寫出結論，不用寫計算過程）7．已知：如圖，M、N分別為兩平行線AB、CD上兩點，點E位于兩平行線之間，試探究：∠MEN與∠AME和∠CNE之間有何關系？并說明理由．8．如圖，，點是直線，之間的一點，連接、.（1）問題發現：①若，，則．②猜想圖中、、的數量關系，并證明你的結論.（2）拓展應用:如圖，，線段把這個封閉區域分為、兩部分（不含邊界），點是位于這兩個區域內的任意一點（不在邊界上），請直接寫出、、的數量關系.9．如圖已知直線直線和直線交于點C和D，在C、D之間有一點P.(1)圖中∠PAC、∠APB、∠PBD之間有什么關系，并說明理由；(2)如果P點在C、D之間運動時，∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系是否發生變化?(3)若點P在直線上C、D兩點的外側運動時(點P與點C、D不重合)，試探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系又是如何？分別畫出圖形并說明理由．10．完成下列各題.（1）探究：如圖，，試說明.（2）拓展：如圖，，與交于點，與交于點.若，，利用探究結論求的度數.（3）應用：如圖，，點在上，點在上，點、在與之間，于點.若，，則的大小為______度.11．課題學習：平行線的“等角轉化”功能．閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連結AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度數．（1）閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，所以∠B=_____，∠C=_____．又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．所以∠B+∠BAC+∠C=180°．解題反思：從上面的推理過程中，我們發現平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．方法運用：（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數．深化拓展：（3）已知AB∥CD，點C在點D的右側，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與CD兩條平行線之間．請從下面的A，B兩題中任選一題解答，我選擇_____題．A．如圖3，點B在點A的左側，若∠ABC=60°，則∠BED的度數為_____°．B．如圖4，點B在點A的右側，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，則∠BED度數為_____°．（用含n的代數式表示）12．如圖已知AB//CD，試探究∠A，∠APC，∠C的數量關系．13．如圖1，E是直線AB，CD內部一點，AB∥CD，連接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=35°，∠D=30°，則∠AED等于多少度；②若∠A=48°，∠D=32°，則∠AED等于多少度；③猜想圖1中∠AED，∠EAB，∠EDC的關系并證明你的結論．（2）拓展應用：如圖2，射線EF與長方形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個區域（不含邊界，其中區域③、④位于直線AB上方，P是位于以上四個區域上的點，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關系（不要求寫出證明過程）14．【探究】如圖①，，點E在直線，之間．求證：．【應用】如圖②，，點E在直線，之間．若，，，平分，平分，則的大小為_________．15．已知，是直線上一點，，平分．（1）如圖1，若，則的度數為______；若，則的度數為______（用含有的式子表示）．（2）將圖1中的繞頂點按順時針方向旋轉至圖2的位置，試探究與的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．（3）將圖1中的繞頂點按逆時針方向旋轉至圖3的位置，其他條件不變，若，則的度數為______（用含有的式子表示），并說明理由．16．如圖，AD∥BC，∠DAC＝60°，∠ACF＝25°，∠EFC＝145°，請你探究直線EF與BC的位置關系．17．探究規律：我們有可以直接應用的結論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點，無論這點在直線的什么位置，這點到另一條直線的距離均相等．例如：如圖1，兩直線，兩點、在上，于，于，則．如圖2，已知直線，、為直線上的兩點，、為直線上的兩點．（1）請寫出圖中面積相等的各對三角形：__________．（2）如果、、為三個定點，點在上移動，那么無論點移動到任何位置總有：_______與的面積相等；理由是：___________．18．三角形ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于點D，E，點F在直線BC上，作直線EF，過點D作直線DG∥AC交直線EF于點G．（1）如圖1，若點F在線段BC上，求證：∠EDG=∠C；（2）若點F在線段BC的反向延長線上，請在圖2中作出相應的圖形，并探究∠DGF與∠CEF的數量關系；（3）若點F在線段BC的延長線上，請在圖3中作出相應的圖形，此時（2）中的結論是否仍然成立，并說明理由．19．（1）如圖甲，ABCD，CBDE，求證：∠B+∠D=180°；（2）如圖乙，當點A在點B的右側時，其他條件不變，∠B+∠D=180°是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，探究∠B與∠D的數量關系，并說明理由．20．探究：（1）如圖1，直線、、兩兩相交，交點分別為點、、，點在線段上，過點作交于點，過點作交于點，若，求的度數．（寫出解答過程，并注明理由）應用：（2）如圖2，直線，，兩兩相交，交點分別為、、，點在線段的延長線上，過點作交于點，過點作交于點，若，則__________．（寫出過程，并注明理由）21．探究：如圖1，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C，點D在線段AB上，過點D作DE∥BC交AC于點E，過點E作EF∥AB交BC于點F，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度數．請將下面的解答過程補充完整，并填空解：∵DE∥BC∴∠DEF＝．（）∵EF∥AB，∴＝∠ABC．（）∴∠DEF＝∠ABC．（等量代換）∵∠ABC＝50°，∴∠DEF＝_______

．應用：如圖2，直線AB，BC，AC兩兩相交，交點分別為A、B、C，點D在線段AB的延長線上，過點D作DE∥BC交AC于點E，過點E作EF∥AB交BC于點F，若∠ABC＝65°，則∠DEF＝．22．問題探究：（1）如果一個角的兩條邊與另一個角的兩條邊分別平行，那么這兩個角的大小有何關系？舉例說明．（2）如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角的大小有何關系？舉例說明．23．探究題：（1）已知：三角形，求證：；小明同學經過認真思考，他過點C作，利用添加輔助線的方法成功解決了這個問題．你能說出小明是怎么解決這個問題的嗎？寫出論證過程．（2）利用以上結論或方法，解決如下問題：已知：六邊形，滿足，求證：．24．已知，畫一個角，使，，且交于點．探究與的數量關系．（1）我們發現與存在某種數量關系，如圖所示，那么圖中與有什么數量關系？請說明理由．（2）你認為與還有其他數量關系嗎？若有，請寫出這個數量關系并在圖中畫出一個滿足這個數量關系的，若沒有，請說明理由．（3）若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的倍少，請求出這兩個角的度數．25．探究：如圖，直線、、兩兩相交，交點分別為點、、，點在線段上，過點作交于點，過點作交于點．若，求的度數．請將下面的解答過程補充完整，并填空（理由或數學式）解：∵，∴______．（

）∵，∴______．（

）∴．（等量代換）∵，∴______°．26．探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使DEAB，EFBC，且DE交BC于點P，∠ABC與∠DEF有怎樣的數量關系？（1）我們發現∠ABC與∠DEF有兩種位置關系，如圖1與圖2所示．①圖1中∠ABC與∠DEF數量關系為；圖2中∠ABC與∠DEF數量關系為；②由①得出一個真命題（用文字敘述）．（2）應用②中的真命題，解決以下問題：若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，請求出這兩個角的度數．27．已知：如圖①，AB∥CD，點F在直線AB、CD之間，點E在直線AB上，點G在直線CD上，∠EFG＝90°．（1）如圖①，若∠BEF＝130°，則∠FGC＝度；（2）小明同學發現：如圖②，無論∠BEF度數如何變化，∠FEB﹣∠FGC的值始終為定值，并給出了一種證明該發現的輔助線作法：過點E作EM∥FG，交CD于點M．請你根據小明同學提供的輔助線方法，補全下面的證明過程；（3）拓展應用：如圖③，如果把題干中的“∠EFG＝90°”條件改為“∠EFG＝110°”，其它條件不變，則∠FEB﹣∠FGC＝度．解：如圖②，過點E作EM∥FG，交CD于點M．∵AB∥CD（已知）∴∠BEM＝∠EMC（）又∵EM∥FG∴∠FGC＝∠EMC（）∠EFG+∠FEM＝180°（）即∠FGC＝（）（等量代換）∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（）又∵∠EFG＝90°∴∠FEM＝90°∴∠FEB﹣∠FGC＝即：無論∠BEF度數如何變化，∠FEB﹣∠FGC的值始終為定值．28．探究：如圖1直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C，點D在線段AB上過點D作交AC于點E，過點E作交BC于點F．若，求∠DEF的度數．請將下面的解答過程補充完整，并填空（理由或數學式）解：，_____________．（_____________），∴_________．（_______________）．（等量代換），___________．應用：如圖2，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C，點D在線段AB的延長線上，過點D作交AC于點E，過點E作交BC于點F．若，求的度數并說明理由29．探究：如圖①，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C，點D在線段AB上，過點D作交AC于點E，過點E作交BC于點F．若，求的度數．請將下面的解答過程補充完整，并填空（理由或數學式）解：∵，∴________．（

）∵，∴_________．（

）∴．（

）∵，∴_________°．應用：如圖②，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C，點D在線段AB的延長線上，過點D作交AC于點E，過點E作交BC于點F．若，則________．參考答案1．（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）由兩直線平行內錯角相等可得，，之間的數量關系；（2）過點P作，易知，根據兩直線平行內錯角相等可得，等量代換可得結論；（3）過點A作直線，由兩直線平行內錯角相等可得，，由平角的定義知，等量代換即可.【詳解】解：（1）如圖，過點P作．∴∵∴∴∵，∴所以，，之間的數量關系是：（2）過點P作．∴（兩直線平行，內錯角相等）∵，∴（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條件直線也平行）∴，∵，∴．（等量代換）（3）過點A作直線，∵.∴，（兩直線平行，內錯角相等）∵，∴（等量代換）【點撥】本題考查了平行線的判定和性質，通過構造平行線將角進行拆分或合并是解題的關鍵.2．兩直線平行，內錯角相等；平行于同一直線的兩直線平行；小明的證法；100°；40°；∠APC=∠A﹣∠C【解析】【詳解】試題分析：過點P作AB的平行線，用相似的證明方法運用平行線的性質進行證明即可試題解析：如圖1，過點P作PQ∥AB，∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內錯角相等）∵PQ∥AB，AB∥CD.∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）

∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C，故兩人的證明過程中，完全正確的是小明的證法；如圖2，過點P作PE∥AB，

∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，∴∠APE=60°，∵PE∥AB，AB∥CD.∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，∴∠CPE=40°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=100°；如圖3，過點P作PF∥AB，

∴∠APF=∠A，

∵PF∥AB，AB∥CD.∴PF∥CD，∴∠CPF=∠C

∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A

即∠APC=∠C﹣∠A=40°；如圖4，過點P作PG∥AB，

∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°﹣∠A∵PG∥AB，AB∥CD，

∴PG∥CD，（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°﹣∠C

∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．考點：平行線的判定與性質3．（1）70°；65°；猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．（2）當點E位于區域Ⅰ時，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；當點E位于區域Ⅱ時，∠EMB+∠END＝∠MEN.【解析】【分析】（1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質即可得出結論；②、③根據①的過程可得出結論；（2）根據題意畫出圖形，再根據平行線的性質即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的關系．本題考查的是平行線的性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．【詳解】解：（1）①如圖1，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A＝20°，∠C＝50°，∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；故答案為70°；②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；故答案為65°；③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．理由：如圖1，過點E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（兩直線平行，內錯角相等），∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代換）．（2）當點E位于區域Ⅰ時，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，理由：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；當點E位于區域Ⅱ時，∠EMB+∠END＝∠MEN，理由：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．【點撥】本題考查的是平行線的性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．4．（1）見解析；（2）見解析；（3）20°．【解析】【分析】（1）根據平行公理，平行線的性質即可求證出答案；（2）類比（1），過點E作EF//AB，然后根據平行公理、平行線的性質即可求證出答案；（3）根據（2）的結論即可求出∠A的度數．【詳解】解：（1）平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等，；（2）過點E作，，，，，，，；（3）連接BE，由（2）可知：；，，，．【點撥】本題考查了平行線，解題的關鍵是靈活運用平行公理以及平行線的性質．5．（1）；.（2）理由見解析；（3）圖3.，圖4..【解析】【分析】（1）①過點P作PQ∥AB，再根據兩直線平行，同旁內角互補進行求解；②過點作，根據兩直線平行，內錯角相等進行求解；（2）過點作，方法同②，把角度換成字母即可求解證明；（3）根據平行線的性質及三角形的外角定理即可求解.【詳解】解：（1）①過點P作PQ∥AB，則PQ∥AB∥CD，∵，，∴∠APQ=180°-=35°，∠CPQ=180°-=45°，∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=80°②過點作，則PE∥AB∥CD，∵，，∴∠APE=，∠CPE=，∴=105°（2）.理由：如圖2.，過點作，，，，，，；3.圖3：∵AB∥CD∴∠=∠PEB-∠PAB=即，圖4.∵AB∥CD∴∠=∠PFD-∠PCD=即.【點撥】此題主要考查平行線的性質，解題的關鍵是根據題意作出輔助線、及熟知三角形的外角定理進行求解.6．（1）見解析；（2）見解析；（3）∠C+∠AEC-∠A=180．【解析】【分析】（1）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；（2）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；（3）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可．【詳解】（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）即∠B+∠C=∠BEC；（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠AEC=360°，∴∠B+∠C=360°-∠BEC；（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，∴∠CEF=∠ACE－∠AEF，∴∠C+∠AEC-∠A=180°．【點撥】考查了平行線的性質和判定的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，注意：①兩直線平行，內錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內角互補．7．（1）當點E在MN上時，∠MEN＝∠CNE＋∠AME＝180°.證明見解析；（2）當點E在MN左側時，∠MEN＝∠AME＋∠CNE．證明見解析；（3）當點E在MN右側時，∠MEN＝360°－（∠AME＋∠CNE）．證明見解析；【解析】【分析】連結MN，根據平行線的性質，分三種情況討論：（1）當點E在MN上時，∠MEN＝∠CNE＋∠AME＝180°.（2）當點E在MN左側時，∠MEN＝∠AME＋∠CNE．（3）當點E在MN右側時，∠MEN＝360°－（∠AME＋∠CNE）．【詳解】連結MN，分三種情況：點E在MN上；⑵點E在MN左側；⑶點E在MN右側．如圖所示：（1）當點E在MN上時，∠MEN＝∠CNE＋∠AME＝180°.證明：∵AB∥CD,∴∠CNE＋∠AME＝180°．又∵∠MEN是平角，∴∠∠MEN＝180°，∴∠MEN＝∠AME+∠CNE＝180°．（2）當點E在MN左側時，∠MEN＝∠AME＋∠CNE．證明：過點E作∥∴，∵∴∠MEN＝∠AME＋∠CNE．（3）當點E在MN右側時，∠MEN＝360°－（∠AME＋∠CNE）．證明：過點E作EG∥AB∴，∵∴∠MEN＝360°－（∠AME＋∠CNE）【點撥】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是分三種情況討論問題.8．（1）①，②，見解析；（2）當點位于區域時，，當點位于區域時，.【解析】【分析】（1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質即可得出結論；②、根據①的過程可得出結論；（2）根據題意畫出圖形，再根據平行線的性質即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的關系．【詳解】解：（1）①如圖1，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=45°，∠C=30°，∴∠1=∠A=45°，∠2=∠C=30°，∴∠AEC=∠1+∠2=75°；②猜想：．理由：如圖，過點作，∵∴（平行于同一條直線的兩直線平行），∴，（兩直線平行，內錯角相等），∴（等量代換）；（2）當點位于區域時，，理由：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BME+∠MEF=180°，∠DNE+∠NEF=180°，∴∠EMB+∠END+∠MEN=360°；當點位于區域時，.理由：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BMN=∠FEM，∠DNE=∠FEN，∴∠EMB+∠END=∠MEF+∠NEF=∠MEN．故答案為（1）①，②，見解析；（2）當點位于區域時，，當點位于區域時，.【點撥】本題考查平行線的性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解題的關鍵．9．（1）∠APB=∠CAP+∠DBP；（2）不發生變化；（3）當P點在DC延長線上時：∠APB=∠DBP-∠CAP；當P點在CD延長線上時：∠APB=∠CAP-∠DBP【解析】【分析】（1）過點P作EP∥a,根據平行線的性質即可求解；（2）根據平行線的性質可知不會發生變化；（3）根據題意作出圖形，根據平行線的性質即可求解.【詳解】（1）如圖，過點P作EP∥a,∵∴EP∥a∥b,∴∠CAP=∠1，∠DBP=∠2，∵∠APB=∠1+∠2，∴∠APB=∠CAP+∠DBP（2）當P點在C、D之間運動時，∠APB=∠CAP+∠DBP，不會發生變化；（3）如圖②，當P點在DC延長線上時：∠APB=∠DBP-∠CAP.理由如下：∵a∥b，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠CAP+∠APB∴∠PBD=∠CAP+∠APB即∠APB=∠DBP-∠CAP.如圖③當P點在CD延長線上時：∠APB=∠CAP-∠DBP理由如下：∵a∥b，∴∠CAP=∠DEP，∵∠DEP=∠DBP+∠APB∴∠CAP=∠DBP+∠APB即∠APB=∠CAP-∠DBP【點撥】此題主要考查平行線的性質，解題的關鍵是熟知平行線的性質及三角形的外角定理.10．（1）證明見解析；（2）；（3）105【解析】【分析】（1）根據兩直線平行同位角相等即可證明；（2）利用探究結論結合對頂角相等即可求解；（3）過點H作，根據探究結論結合兩直線平行內錯角相等即可求解.【詳解】（1）探究：∵AB∥CD，∴∠B=∠1．（兩直線平行內錯角相等）同理可證，∠F=∠2．∵∠BCF=∠1+∠2，∴∠BCF=∠B+∠F；（2）拓展：∵AB∥CD，根據探究的結論知：∠EFG=∠AMF+∠CNF，∵，，∴，∴；故答案為：；（3）應用：過點H作，∵AB∥CD，∴AB∥HQ，根據探究的結論知：∠EGH=∠1+∠2，∵，，∴∠，∠，∴∠，∵HQ∥CD，∴∠，∵，∴∠，∴∠，故答案為.【點撥】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．11．（1）∠EAB，∠DAC；（2）見詳解；（3）65，【解析】【分析】（1）根據平行線的性質即可得到結論；（2）過C作CF∥AB根據平行線的性質得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根據已知條件即可得到結論；（3）A、過點E作EF∥AB，然后根據兩直線平行內錯角相等，即可求∠BED的度數；B、∠BED的度數改變．過點E作EF∥AB，先由角平分線的定義可得：∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，然后根據兩直線平行內錯角相等及同旁內角互補可得：∠BEF＝180°?∠ABE＝180°?n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，進而可求∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°?n°＋35°＝215°?n°．【詳解】解：(1)∠EAB；∠DAC（2）如圖，過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=∠FCD，∵CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°．（3）A．如圖3，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=，∠CDE=∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；故答案為：65．B．如圖4，過點E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°∴∠ABE，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF180∠ABE180，∠CDE=∠DEF=35°，∴∠BED∠BEF∠DEF180故答案為：【點撥】本題考查平行線的判定與性質，解題的關鍵是：正確添加輔助線，及作出（3）中的圖形．12．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）作，根據平行線的性質進行求解即可；（2）延長CP交AB于點N，根據平行線的性質判斷即可；【詳解】（1）作，如圖所示，，，∴，∴．（2）延長CP交AB于點N，，，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，準確做好輔助線是解題的關鍵．13．（1）①65°；②80°；③∠AED=∠EAB+∠EDC；（2）點P在區域①時，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；點P在區域②時，∠EPF=∠PEB+∠PFC；點P在區域③時，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；點P在區域④時，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．【解析】【分析】（1）①過點E作EFAB，根據平行線的性質及角的和即可得出答案；②過點E作EFAB，根據平行線的性質及角的和即可得出答案；③過點E作EFAB，根據平行線的性質及角的和即可得出答案；（2）分四個區域，分別分情況討論即可．【詳解】解：（1）①如圖①，過點E作EFAB，∵ABCD，∴ABCDEF，∵∠A=35°，∠D=30°，∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=30°，∴∠AED=∠1+∠2=65°；②過點E作EFAB，∵ABCD，∴ABCDEF，∵∠A=48°，∠D=32°，∴∠1=∠A=48°，∠2=∠D=32°，∴∠AED=∠1+∠2=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．理由：過點E作EFCD，∵ABDC∴EFAB（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內錯角相等），∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）．（2）根據題意得：a.點P在區域①時，，．，，∴∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；b.點P在區域②時，過點Ｐ作PQAB，，．；c.點P在區域③時，過點Ｐ作PQAB，，．；d.點P在區域④時，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．過點Ｐ作PQAB，，，．【點撥】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．14．探究：見解析；應用：【解析】【分析】探究：過點E作得，由，推出．得即可；應用：，作HP∥AB，得∠BAH=∠AHP由，推出．得∠PHF=∠HFD，由平分，平分，得∠BAH=∠BAE，∠HFD=∠GFD，由（1）知∠BAE+∠ECD=∠AEC=90o得∠BAE+∠GFD=90o，∠AHF=∠AHP+∠PHF=∠BAH+∠HFD=（∠BAE+∠GFD）即可．【詳解】探究：過點E作∴，∵，∴．∴，∵，∴．∴．應用：，作HP∥AB，∠BAH=∠AHP，∵，∴．∴∠PHF=∠HFD，∵平分，平分，∴∠BAH=∠BAE，∠HFD=∠GFD，∵GF∥CE，∴∠ECD=∠GFD，由（1）知∠BAE+∠ECD=∠AEC=90o，∴∠BAE+∠GFD=90o，∴∠AHF=∠AHP+∠PHF=∠BAH+∠HFD=∠BAE+∠GFD=，∠AHF=．故答案為：45o．【點撥】本題考查平行線的性質與判定，角平分線，掌握平行線的判定與性質，和角平分線定義，會用平行線的性質進行角的計算是解題關鍵．15．（1）20°，；（2），理由見解析；（3），理由見解析【解析】【分析】（1）根據鄰補角定義先求出的度數，再由OE平分求出，最后由求得結果；【詳解】解：（1）當時，∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．當時，∵，，∴．∴平分，∴．∵，∴，∴．故答案為：20°，．（2）結論：．理由：∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．（3）理由：∵，，平分，∴，∴．【點撥】本題考查了角的和差運算，鄰補角定義，角平分線定義，兩角的互余關系，正確理解兩角互余互補以及角的和差運算是解本題的關鍵．16．EF∥BC，見解析【解析】【分析】由平行可得到∠DAC=∠ACB，結合條件可求得∠FCB=35°，可得∠EFC+∠FCB=180°，可判定EF∥BC．【詳解】解：EF∥BC．理由：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=60°，∵∠ACF=25°，∴∠FCB=35°，∴∠EFC+∠FCB=145°+35°=180°，∴EF∥BC．【點撥】本題主要考查了平行線的性質和判定，掌握兩直線平行的性質和判定是解題的關鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內錯角相等?兩直線平行，③同旁內角互補?兩直線平行．17．（1）和，和，和；（2），同底等高的兩個三角形的面積相等【解析】【分析】（1）寫出面積相等的各對三角形，我們拿與為例：兩個三角形用公共邊為底，再由圖1的結論知道高相等，由三角形面積公式知兩個三角形面積相等，其它對分析類似；（2）根據同底等高的兩個三角形的面積相等，可以得出結論．【詳解】解：（1）有三對分別是：和，和，和，分析如下：和，兩個三角形用公共邊為底，再由圖1的結論知道高相等，由三角形面積公式知兩個三角形面積相等；和，兩個三角形以為底，高相等，即面積相等；和，根據和面積相等，兩個三角形同時減去，得和面積相等．故答案為：和，和，和，（2）如果、、為三個定點，點在上移動，那么無論點移動到任何位置總有：與的面積相等，分析如下：與同底，點在上移動，那么無論點移動到任何位置，點到另一條直線的距離相等，使得這兩個三角形是：同底等高的兩個三角形，即面積相等．故答案為：同底等高的兩個三角形的面積相等【點撥】本題考查了兩條平行直線間的距離和兩個三角形面積相等問題，解題的關鍵是：理解兩直線平行距離為定值及同底等高的兩個三角形面積相等．18．（1）見解析；（2）作圖見解析，∠DGF+∠CEF=180°；（3）作圖見解析，（2）中結論不成立，∠DGF=∠CEF，理由見解析．【解析】【分析】（1）由DE∥BC，DG∥AC，即可得結論；（2）利用兩直線平行同位角相等及鄰補角即可得到兩角的數量關系；（3）根據兩直線平行同位角相等即可得結論．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，∵DG∥AC，∴∠AED=∠EDG，∴EDG=∠C；（2）如圖2，若點F在線段BC的反向延長線上，∠DGF+∠CEF=180°，理由如下：∵DG∥AC，∴∠AEG=∠DGF，∵∠AEG+∠CEF=180°，∴∠DGF+∠CEF=180°；（3）如圖3，若點F在線段BC的延長線上，（2）中結論不成立，∠DGF=∠CEF，理由如下：∵DG∥AC，∴∠DGF=∠CEF．【點撥】本題考查了平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．19．（1）證明見解析；（2）∠B+∠D=180°不成立，∠B=∠D．理由見解析．【解析】【分析】（1）利用平行線的性質即可證明結論；（2）利用平行線的性質即可求解．【詳解】證明：（1）∵AB//CD，∴∠B=∠C，∵CB//DE，∴∠C+∠D=180°，∴∠B+∠D=180°；（2）∠B+∠D=180°不成立，應該是∠B=∠D．理由如下：∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，∵CB//DE，∴∠C+∠D=180°，∴∠B=∠D．【點撥】本題考查了平行線的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．注意：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．20．（1）50°；（2）120°【解析】【分析】（1）根據平行線的性質求解即可得到答案；（2）根據平行線的性質求解即可得到答案；【詳解】解：（1）探究：∵，∴．（兩直線平行，內錯角相等）∵，∴．（兩直線平行，同位角相等）∴．（等量代換）∵，∴．（2）應用：∵，∴．（兩直線平行，同位角相等）∵，∴．（兩直線平行，同旁內角互補）∴．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質.21．探究：∠EFC，兩直線平行，內錯角相等，∠EFC，兩直線平行，同位角相等，50°；應用：115°【解析】【分析】探究：依據兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同位角相等，即可得到∠DEF＝50°．應用：依據兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補，即可得到∠DEF＝180°﹣65°＝115°．【詳解】解：探究：∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC．（兩直線平行，內錯角相等）∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC．（兩直線平行，同位角相等）∴∠DEF＝∠ABC．（等量代換）∵∠ABC＝50°，∴∠DEF＝50°．故答案為：∠EFC，兩直線平行，內錯角相等，∠EFC，兩直線平行，同位角相等，50°；應用：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝60°．（兩直線平行，同位角相等）∵EF∥AB，∴∠ADE+∠DEF＝180°．（兩直線平行，同旁內角互補）∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115°．【點撥】本題考查了平行線的性質，題目相對簡單，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．22．（1）相等或互補，舉例見解析；（2）相等或互補，舉例見解析【解析】【分析】（1）分情況作圖，然后結合平行線的性質分析求解；（2）分情況作圖，然后結合垂直的定義，對頂角相等及四邊形內角和分析求解．【詳解】解：（1）①如圖1，AB∥EF，BC∥DE，則∠1與∠2的數量關系是：相等．理由是：∵BC∥DE，∴∠1=∠AGD．∵AB∥EF，∴∠2=∠AGD，∴∠1=∠2；②如圖2，AB∥EF，BC∥DE，則∠1與∠2的數量關系是：互補．理由是：∵BC∥DE，∴∠1=∠EGB．∵AB∥EF，∴∠2+∠EGB=180°，∴∠1+∠2=180°，即∠1與∠2互補．綜上所述，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．（2）如圖：圖3中，根據兩直線垂直其夾角等于90°，對頂角相等，所以∠1=∠2，圖4中，同樣根據兩直線垂直其夾角等于90°，根據四邊形的內角和等于360°，所以∠1+∠2=360°-90°-90°=180°．所以如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角的關系是相等或互補，【點撥】此題考查平行線的性質，垂直的定義，對頂角相等的性質，對圖形準確分析利用分類討論思想解題是關鍵．23．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據平行線的性質及平角的性質即可求解；（2）連結，利用三角形內角和將轉化為，從而得出．【詳解】（1）∵∴，∵B、C、D在同一直線上∴∠ACB+∠1+∠2=180°∴；（2）如圖，連結，得到△ABC、△ACF、△CDF、△DEF∴∠B+∠BAC+∠ACB=∠ACF+∠AFC+∠CAF=∠FCD+∠CDF+∠CFD=∠E+∠EDF+∠DFE=180°∵∴=化解得360°-∠AFC+∠FCD=360°-∠FCD+∠AFC∴2∠FCD=2∠AFC則∠FCD=∠AFC∴．【點撥】此題主要考查平行線的判斷與性質，解題的關鍵是熟知三角形的內角和為180°．24．（1）=，證明見解析（2）+=180°，證明見解析（3）15°，15°或65°和115°．【解析】【分析】（1）根據平行線的性質證明=；（2）根據題意作圖，根據平行線的性質證明+=180°；（3）設兩個角分別為x和2x?15°，由題意x＝2x?15°或x＋2x?15°＝180°，解方程即可解決問題．【詳解】（1）=，證明如下：如圖1中，∵，∴∠DPC＝∠DEF，∵，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．（2）+=180°，證明如下：如圖，∵，∴∠DPB＝∠DEF，∵，∴∠ABC＋∠DPB＝180°，∴∠ABC＋∠DEF＝180°．（3）設兩個角分別為x和2x?15°，由題意x＝2x?15°或x＋2x?15°＝180°，解得x＝15°或x＝65°，∴這兩個角的度數為15°，15°或65°和115°．【點撥】本題考查平行線的判定和性質，一元一次方程的應用等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．25．見解析【解析】【分析】根據平行線的性質解決本題．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠DEF=∠E